5.6.2 正余弦定理的运用—解三角形中的最值（范围）问题教学设计件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦解三角形中最值（范围）问题，整合正弦定理、余弦定理、基本不等式及三角函数等核心考点，从边与角关系、定理应用、方法选择三个维度构建知识体系。通过考点梳理、典例精讲（如面积最值、周长范围问题）、方法归纳（余弦定理+基本不等式、正弦定理+三角函数等）、真题变式训练等环节，帮助学生突破解题难点，体现复习的系统性和针对性。 教案采用问题驱动与分层教学结合的创新方法，通过师生共同分析典型例题（如已知一角对边求面积最值），引导学生归纳解题策略，小组讨论锐角三角形周长范围问题培养逻辑推理能力。设置A组基础巩固、B组能力提升、C组自我挑战的分层练习，配合课前公式回顾与即时反馈，保障复习效果。助力学生提升数学运算与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

高三一轮复习教学设计 解三角形—解三角形中最值（范围）问题 一、复习内容及其解析 （一）复习内容：利用正弦定理、余弦定理，结合基本不等式、三角函数等，求解三角形中周长、面积和边与角相关的最值（范围）问题 （二）内容及考情分析： 本节课要复习的内容是解三角形中最值及范围问题，重点是求三角形的周长、面积的最值（范围）。解决重点的关键是能利用正弦定理、余弦定理、三角函数、三角恒等变换，并结合函数、基本不等式、向量等知识求出三角形中的最值（范围）。该内容在高考中是一个高频考点，从近年的考查情况看来，这一节内容是高考的重点也是难点。主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，多与三角恒等变换等进行综合命题，既有选择、填空，也有解答题，分值是5-12分，难度大多属于中档。本专题主要从解三角中的最值（范围）问题的求解入手，引导学生从角和边，从正弦定理和余弦定理，从三角函数求最值和基本不等式求最值三个维度来引导学生，突破学生解决这类问题的难点，同时也提升了学生的逻辑推理、数学运算的数学核心素养。 二、复习目标及其解析 （一）复习目标 1.掌握灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中有关最值（范围）的问题； 2.掌握将三角形的边长、角度等条件转化为数学表达式的方法，并结合基本不等式、三角函数等求解三角形中的最值（范围）； 3.通过典型例题的分析和讲解，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力； 4.引导学生在解决问题的过程中，总结归纳出不同类型的三角形最值（范围）问题的解题方法和技巧，培养学生的归纳总结能力。培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，让学生体验到成功解决问题的成就感。 （二）目标分析 1.解三角形中有关最值（范围）的问题，主要通过余弦定理+基本不等式、正弦定理+三角函数的模式解决，达成这一目标主要通过例题讲解，师生共同归纳，让学生掌握正、余弦定理在解三角形中有关最值（范围）问题的作用； 2.通过例题，帮助学生建立求解三角形中的最值（范围）问题的方法与技巧，掌握如何正确选择定理，明确常规方法，已知边及对角则利用余弦定理，再结合基本不等式求解；正弦定理则可适用多数题型，需要结合三角函数、导数、基本不等式等方法求解。 3.通过教师引导，学生自主练习，小组讨论，让学生认真读题，勾画出题目关键信息，学会分析每一个条件的作用，找到解题的关键信息，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力； 4.通过本节课学习，让学生了解该题型在高考中的考察方式，学生自主学习或小组互助，归纳出解题方法，提升他们的归纳总结能力；通过讲练结合，学生交流展示等活动，提升学生学习数学的兴趣，体验到成功解决问题的成就感。 三、问题诊断分析 本节学生可能会出现的问题有：（1）不能正确选择合适的解题方法。解决这一问题的主要措施是精讲例题，并通过提问的方式引导学生学会如何分析题意，找出解题关键，并让学生归纳解题方法，再通过小组活动，用生教生的方式帮助学生掌握本节知识。（2）三角恒等变换及计算出错。解决这一问题的主要方法是课前让学生先回顾本节课需要用到的相关知识及公式，为本节课打下基础。 四、教学支持条件 在本节课中主要利用板书及使用多媒体进行PPT展示，以增强教学的直观性和实效性，便于学生的理解和课堂的互动。 五、教学过程 （一）相关知识复习 复习正弦定理、余弦定理、三角恒等变换相关公式、三角函数求值域、基本不等式 师生活动：学生以填空方式进行复习，教师展示PPT，简要进行复复习 设计意图：对本节需要用到的相关知识及公式进行简要复习，为本节课打下基础，让课堂更流畅。 （二）例题讲解、归纳方法 例题：在△ABC中，. （1）求△ABC面积的最大值； （2）若例题增加条件△ABC为锐角三角形，如何求周长的范围； （3）在例题基础上求的最大值； 师生活动：教师引导，通过提问的方式找出解题方法；学生叙述，教师板演解答过程。 设计意图：此题作为典型的三角形中求最值（范围）的模型，学生比较熟悉。以此题为基础，总结高考大题解三角形最值（范围）问题的方法，由简入难，符合学生的学情。 方法总结：求解三角形中的最值（范围）常用方法： ①利用余弦定理+基本不等式（已知一角及其对边） ②利用正弦定理+消元变为一个角+三角函数（已知一角及邻边、三角形为锐角三角形，或其他的限制，注意确定角的范围） ③数形结合（选择题、填空题，可用于检验） （三）变式练习、学以致用 1. 在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求△ABC周长的最大值. 2.（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 3.（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求； (2)求的最大值. 师生活动：学生自己思考或小组讨论完成，教师指导，并展示成果。 设计意图：通过三个变式练习，巩固本节课主要知识点及解题方法，通过自己思考，让学生提升读题、分析题意的能力，找到解题关键信息；通过小组合作让学生加强知识记忆，并提升学生合作意识，学会互帮互助；让学生当“小老师”提升学生学习数学的兴趣，体验到成功解决问题的成就感。 六、课堂小结 1.本节课你学到了解决三角形中最值（范围）的哪些方法？ 2.解题时各种方法选择的意依据是什么？ 七、课后作业 A组（基础巩固） 1．（23-24高三上·北京大兴·期中）在△ABC中，，且满足该条件的△ABC有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东东莞·月考）在△ABC中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求△ABC面积的最大值． 3．（24-25高三下·河北沧州·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 4．（25-26·云师大附中月考二）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：C=2A； (2)若△ABC是锐角三角形，求的取值范围. B组（能力提升） 1．（2019年全国Ⅲ文、理18）的内角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 2．（2022全国Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． C组（自我挑战） 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小; (2)若，求△ABC周长的最小值. 2. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2022·全国甲文16）. 已知△ABC中，点D在边BC上，．当取得最小值时，BD=________． 学科网（北京）股份有限公司 $