专题03 二项式定理9大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题03 二项式定理9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求二项展开式的特定项 1 题型二、求二项展开式的有理项 1 题型三、求三项展开式的指定项（重） 2 题型四、求多个二项式积的展开式的特定项 2 题型五、求二项式系数和、各项（奇偶项）系数和（重） 3 题型六、（二项式）系数的最值（重） 3 题型七、整除和余数问题 4 题型八、近似计算问题 5 题型九、杨辉三角 5 B 综合攻坚·能力跃升 5 题型一、求二项展开式的特定项 1．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 2．的展开式中常数项是，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 4．已知，则 ． 5．展开式中的系数是 . 6．二项式的展开式中，含项的系数为 . 题型二、求二项展开式的有理项 7．在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 8．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．的展开式中所有有理项的二项式系数和为 . 10．的展开式中，有理项的个数为 . 11．在的展开式中，共有 项的系数为有理数． 题型三、求三项展开式的指定项 12．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 13．在展开式中，的系数为 ． 14．的常数项为 . 15．在的展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 16．的展开式中的常数项为 ． 17．若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则 ；其中项系数的最大值为 . 题型四、求多个二项式积的展开式的特定项 18．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 19．在的展开式中，的系数为（   ） A．260 B． C． D．220 20．已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 22．展开后的系数为 ． 23．若的展开式中含的系数为15，则实数 题型五、求二项式系数和、各项（奇偶项）系数和 24．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．32 25．已知，则（   ） A． B． C． D． 26．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 28．若，则 ．（用数字作答） 题型六、（二项式）系数的最值 29．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 30．已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 31．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 32． 写出在的展开式中为变量，系数最大的项和系数最小的项． 33．已知的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992．求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项． 题型七、整除和余数问题 34．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 35．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 36．被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 37．被9除的余数是 . 38．除以7的余数是 . 39．已知，求证：能被64整除． 题型八、近似计算问题 40．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 41．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 42．某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为 ．（四舍五入，精确到0.01） 43．计算：．（精确到0.001） 题型九、杨辉三角 44．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 45．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 46．杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 47．（多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 48．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 1．（2024·25高二下·广东汕头·期末）如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 3．（2025·26高三上·山西长治·阶段练习）（多选）已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 4．（2025·26高三上·江西·开学考试）（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 5．（2025高三·全国·专题练习）（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 6．（2025·26高三上·河北·阶段练习）若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则 . 7．（2025·26高三上·广东·阶段练习）已知，则 . 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则二项式的展开式中含项的系数为 . 9．（2025高二·全国·专题练习）在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是 ． 10．（2025·26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求二项展开式的特定项 1 题型二、求二项展开式的有理项 3 题型三、求三项展开式的指定项（重） 4 题型四、求多个二项式积的展开式的特定项 6 题型五、求二项式系数和、各项（奇偶项）系数和（重） 7 题型六、（二项式）系数的最值（重） 9 题型七、整除和余数问题 11 题型八、近似计算问题 13 题型九、杨辉三角 14 B 综合攻坚·能力跃升 14 题型一、求二项展开式的特定项 1．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 【答案】B 【详解】四项中不存在， 对于其余部分 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故选：B. 2．的展开式中常数项是，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为的展开式中常数项是：， 由. 故选：C 3．已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 【答案】B 【详解】的展开式中的项为 的展开式中的项为 因此的展开式中的系数为，故， 故选：B 4．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为的展开式通项为， 可得， 所以. 故答案为：. 5．展开式中的系数是 . 【答案】 【详解】， 令，即展开式中的系数是. 故答案为：. 6．二项式的展开式中，含项的系数为 . 【答案】672 【详解】因为， 则的展开式的通项公式为， 令，解得， 故项的系数为. 故答案为：672. 题型二、求二项展开式的有理项 7．在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】D 【详解】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 8．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 9．的展开式中所有有理项的二项式系数和为 . 【答案】85 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 10．的展开式中，有理项的个数为 . 【答案】3 【详解】的展开式的通项为，， 当时，为有理项，故有理项的个数为3. 故答案为：3. 11．在的展开式中，共有 项的系数为有理数． 【答案】3 【详解】， 要使系数为有理数，则且即，6，12．故共有3项． 故答案为：3. 题型三、求三项展开式的指定项 12．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 13．在展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】表示4个相乘，要想得到，需要从4个因式中，3个选择项，1个选择常数项， 所以的系数为：. 故答案为： 14．的常数项为 . 【答案】31 【详解】选取常数项；应将含有的项全部消掉（约分掉），观察项中的的指数比，为， 为了将指数化为0，如果选了一个，则应该选择2个， 所以所有选择的可能性有以下两种：①分别选择0个、0个、5个；②分别选择1个、2个、2个， 应用组合数可得：. 故答案为：. 15．在的展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 【答案】 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 16．的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【详解】的展开式为． 令解得 所以其常数项为． 故答案为： 17．若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则 ；其中项系数的最大值为 . 【答案】 6 / 【详解】三项式的展开式中各项系数之和为64， 则令，得，解得； 所以三项式的展开式中项系数为：， 当且仅当时等号成立，即项系数的最大值为. 故答案为：6； 题型四、求多个二项式积的展开式的特定项 18．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【详解】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 19．在的展开式中，的系数为（   ） A．260 B． C． D．220 【答案】D 【详解】依题意，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为220. 故选：D 20．已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】， 而即，其展开式的通项公式为，， 当时，得到系数，当时，得到系数， 所以展开式中项的系数为， 故有，代入选项，满足题意， 故选：B． 21．二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【详解】因为展开式的通项为， 令，得，则对应的项为， 令，得，则对应的项为. 故二项式的展开式中的常数项为. 故答案为： 22．展开后的系数为 ． 【答案】 【详解】因为， 故展开后含的项为， 故系数为． 故答案为：. 23．若的展开式中含的系数为15，则实数 【答案】 【详解】的展开式通项为，， 原展开式中含的系数为：. 化简得：，解得. 故答案为： 题型五、求二项式系数和、各项（奇偶项）系数和 24．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．32 【答案】D 【详解】由题意得， 令，可得， 则，故D正确. 故选：D 25．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则①， 令，则②， 则（①-②）再除以2可得， 故选：B. 26．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项，中，令得，A正确； B选项，中，令得 ， 又，故，B错误； C选项，中，令得 ， 与相加可得， 故，C错误； D选项，展开式的通项公式为， 故，，故，D正确. 故选：AD 27．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D正确. 故选：ACD. 28．若，则 ．（用数字作答） 【答案】729 【详解】由题设的通项公式为，所以， 所以与的展开式的所有项系数和相等， 令，则． 故答案为：729． 题型六、（二项式）系数的最值 29．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】B 【详解】展开式的通项为，，即， 解得，故展开式中共有8项， 所以展开式中间两项的系数最大，最大值为. 故选：B 30．已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【答案】 【详解】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 31．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 32．写出在的展开式中为变量，系数最大的项和系数最小的项． 【答案】系数最大项，系数最小项 【详解】因为二项式的幂指数7是奇数，且， 所以中间两项（第4，5项）的二项式系数，同时取得最值， 所以系数最小项为，系数最大的项为. 33．已知的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992．求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项． 【答案】，；系数最大的项 【详解】在中，令，得，又二项式系数的和为， 由题意得，，故，展开式通项为，， 故二项式最大项为第3、4项，对应，，即，， 由从小到大对应系数依次为，，，，，， 所以系数最大的项． 题型七、整除和余数问题 34．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】有因式x，， 又被除后的余式为，当，即或时， ，， 被除后的余式为，当时，余式等于的值： 当时，， 当时，， 当时，， ，解得， ． 故选：D 35．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 36．被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 37．被9除的余数是 . 【答案】7 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 38．除以7的余数是 . 【答案】1 【详解】因为， 所以除以7的余数为1. 故答案为：1. 39．已知，求证：能被64整除． 【答案】证明见解析 【详解】 ． 因为是整数， 所以能被64整除. 题型八、近似计算问题 40．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 41．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 42．某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为 ．（四舍五入，精确到0.01） 【答案】1.13 【详解】根据题意，6个交易日后该公司的股票指数为： ． 故答案为：1.13 43．计算：．（精确到0.001） 【答案】31.761 【详解】． 所以． 题型九、杨辉三角 44．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 45．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，因，而，故D正确． 故选：D． 46．杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【详解】当时，前2024行第斜线上所有数值之和为 ． 同理，前2024行第斜线上所有数值之和为，而， 所以前2024行第斜线与第斜线上所有数值之和最大时，， 解得． 故选：C. 47．（多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 48．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】559 【详解】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字，…， 第十五行的第三位数字是， 则所求为 . 故答案为：559 1．（2024·25高二下·广东汕头·期末）如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】由进位制的换算方法可知，八进制数换算成十进制数为． 根据二项式定理，可得 ， 因为是10的倍数， 所以换算后十进制数的末尾数字为的末尾数字，由， 可得末尾数字为3． 故选：B． 2．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 【答案】C 【分析】 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 3．（2025·26高三上·山西长治·阶段练习）（多选）已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 【答案】BD 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，C错； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， D对. 故选：BD 4．（2025·26高三上·江西·开学考试）（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 【答案】BD 【详解】展开式的通项，展开式的通项. 因为的展开式中存在含的项，所以或， 即或，其中，且. 经检验知，当时，，，不符合题意， 当时，，不存在，符合题意； 当时，不存在，也不存在，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：BD. 5．（2025高三·全国·专题练习）（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】ABC 【详解】根据题意，由“杨辉三角”可得，第行的第个数为， 对于A，根据， 则，故A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，故B错误； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为， 则两个数的比为，故D正确. 故选：ABC. 6．（2025·26高三上·河北·阶段练习）若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则 . 【答案】681 【详解】的展开式的通项是. 的展开式中所有项的二项式系数之和为， 所以所有奇数项的二项式系数之和为. 由题可知：，解得：. 当时，.所以常数项为：，即. 所以. 故答案为：681. 7．（2025·26高三上·广东·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以二项展开式通项， 所以，， 所以， 故答案为：. 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则二项式的展开式中含项的系数为 . 【答案】 【详解】由题意知，，所以， 则二项式的通项， 令，解得，所以含项的系数为. 故答案为： 9．（2025高二·全国·专题练习）在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 由，且. 即当时，既是常数项又是系数最大的项，故， 即， 由，； 由，，. 所以：． 故答案为： 10．（2025·26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为 则，即； 整理可得， 解得：（舍）或， 令， 故， 故 （2）由（1）知，则展开式通项为 设第项即为系数最大的项， 所以，整理可得， 解得； 因此系数最大的项为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $