精品解析：湖北省仙桃中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

湖北省仙桃中学2025-2026学年度上学期期中考试 数学 命题冉成平 审题李辉 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数图像是（ ） A. B. C. D. 4. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. D. 6. 已知是定义在上的单调函数，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 与大小不确定 7. 设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的封闭图形面积为________． 13. 函数的最大值是_______. 14. 函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.请用这一结论回答：函数的图象的对称中心坐标是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 17. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 18. 已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点. （1）求抛物线的方程； （2）过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴. 19 已知函数，. （1）若，函数，对任意，不等式恒成立，求实数取值范围； （2）当，时，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省仙桃中学2025-2026学年度上学期期中考试 数学 命题冉成平 审题李辉 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A、B,再求. 【详解】因，，所以. 故选：A． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像. 【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C. 故选：B. 4. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 5. 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数求导得，由题意可得，解得值，代入所求式计算即得，. 【详解】由求导得：， 依题意，有，解得， 则． 故选：C. 6. 已知是定义在上的单调函数，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 与大小不确定 【答案】C 【解析】 【分析】不妨，则，分单调递增和单调递减两种情况，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】根据题意，不妨，则， 当函数单调递增时，可得， 所以，所以； 当函数单调递减时，， 所以，所以； 综上可得，. 故选：C. 7. 设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出的内心横坐标，根据重心与内心横坐标相同得到方程，求出离心率. 【详解】将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：. 故选：A 8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】因为，，定义域为. 所以. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值为. 当，所以函数的值域为. 要使函数的值域为, 则，解得， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合函数的性质和图象，数形结合，一一判断各选项中函数是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，函数的图象为抛物线，关于y轴对称， 不妨取，则四边形为等腰梯形， 则四点共圆，A符合题意； 对于B，，定义域为，在上单调递增， 该函数图象上升比较平缓，图象上没有剧烈变化的分界点， 故不可能存在某个圆与的图象有4个交点， 即的图象上不可能存在四点共圆，B不符合题意； 对于C，作出的图象， 必存在圆与的图象有4个交点的情况，C符合题意； 对于D，作出的图象，由反比例函数与圆的中心对称性， 作图如下（圆心为原点）， 必存在圆与的图象有4个交点的情况，D符合题意. 故选：ACD 10. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】数形结合并由双曲线的性质、定义结合直线与双曲线的位置关系和点到直线的距离即可依次求解判断各选项. 【详解】由题当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线不存在； 当，时，曲线，故作出曲线如图所示： 选项A：法一：由图可知，曲线不关于直线对称，故A错误； 法二：将中的替换为替换为，得， 与不相同，故曲线不关于直线对称，故A错误； 选项B：易知，为双曲线的上、下焦点， 所以当点在第三象限时，根据双曲线的定义可知，故B正确； 选项C：易知直线为双曲线与双曲线的一条共同渐近线， 直线的斜率小于直线的斜率， 故直线与曲线在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故C正确； 选项D：设曲线上第一象限内的点为， 则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解的取值范围：对于B：利用不等式可判断；对于C：变形，然后利用基本不等式求解其最小值；对于D：令，且，于是，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，所以有. 对于A：因为， 所以，可得， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为， 所以，即，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：令，所以，且，于4 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的封闭图形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出双曲线的渐近线和抛物线的准线，求出交点坐标即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为， 如图所示，由得， 由对称性可得，所以， 又，，所以. 故答案为： 13. 函数的最大值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，从而将问题转化成求二次函数在上的最大值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下， 所以当时，取到最大值，最大值为， 故答案为：. 14. 函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.请用这一结论回答：函数的图象的对称中心坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇函数特性求出即可求出其对称中心坐标. 【详解】根据题意可知，要求函数的对称中心坐标， 需使为奇函数， 因为，所以，即，解得. 所以. 因是奇函数，则， 化简得，即， 也即， 则得，即， 因，则，即，可得，解得， 故， 所以函数的图象的对称中心坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简即可求解； （2）根据条件得，进而求出直线的方程，再利用弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 整理得到，又点不能在轴上， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题意可得，当到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意， 此时，所以， 所在直线方程为，即， 又圆心到直线的距离，半径， 可得. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 ①当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ②当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 17. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数求出即可. （2）先化简，判断其单调性求出最小值，然后求出的最小值，根据，进而求得的范围. 【小问1详解】 依题意，，即，整理得， 因为，所以，解得， 则，经检验，符合题意，所以. 【小问2详解】 由题知， 若对，总，使得，可得， 由复合函数单调性可得： 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值. 设，函数在单增，所以， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点. （1）求抛物线的方程； （2）过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线准线与椭圆相交的弦长构建方程求得值即可； （2）设，设出两条切线的直线方程，与抛物线方程联立，由相切关系及韦达定理构建方程，结合导数求两切线斜率，得E点的横坐标等于，即可得证； 【小问1详解】 由题可知，抛物线：的准线为， 因为抛物线的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且， 不妨设，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 证明： 法一：设点、、，且满足. 由题意可知两条切线的斜率均存在， 设切线的方程为：， ，消y得：， 由可得：.① 两条切线的斜率为方程①的两个根，所以：. 抛物线即为：，两边对x求导数得：， 所以切线的斜率为，切线的斜率为. 所以：，即，所以轴. 法二：设点、、，且满足. 则直线的方程为：，与联立可得：. 所以，即，即，所以轴. 19. 已知函数，. （1）若，函数，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将，，转化为，设， 求出， 设，求出，设，求出，从而得到在单调递增，则，即，得到在单调递增，则，且当，，对和讨论求解即可得到的取值范围. （2）由（1）可知，当，即时，，当且仅当时取“=”.即时，，则.设，利用放缩法和裂项法得到，求和即可得到证明. 小问1详解】 ，， 因,不等式可化为， 设，，， 则， 设，则， 设，则， 所以在单调递增，则， 即，所以在上单调递增， 所以，且当，， ①当时，即时，，即， 则在单调递增，所以恒成立，符合题意; ②当时，即时，， 若取，则， 所以存在，使， 则当时，，即，即函数在上单调递减， 此时，与原题矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 要证, 即证. 由（1）可知，当，即时，，当且仅当时取等. 即时，，则. 令，则， 则，，…，， 各式相加，得 . 所以当，时，成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $