第3章 空间向量及其应用（单元测试·基础卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 空间向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量平行于向量 ，则 2．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 3．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 4．已知四面体，空间的一点满足，若四点共面，则实数的值为 ． 5．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 7．如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 8．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 9．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 10．空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为 . 11．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 15．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 16．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 18．（14分）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 19．（14分）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 20．（18分）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 21．（18分）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章空间向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.己知向量a=（-m,6,3)平行于向量b=(2,n,),则m+n= 【答案】-4 -m=22 m=6 【详解】由题意，设(-m,6,3=1(2,n,1,则6=入n,解得{n=2,故m+n=-4 3=λ 2=3 故答案为：-4 2.己知直线1的一个方向向量d=(4,-8,6),平面0的一个法向量n=(m,3,6),且1∥0，则 m= 【答案】-3 【详解】：直线1的一个方向向量d=(4,-8,6) 平面a的一个法向量i=（m,3,6),且1∥a, 所以d.n=4m-24+36=0 解得m=-3. 故答案为：-3 3.已知空间向量=(1,1,2)，6=(-2,2-12,1-6)，若ā，b的夹角为钝角，则实数1的取值范围为一 【答案】(0,2)(2，+0) 【详解】因为ā=(1,1,2)，6=(-2,2-12,1-6)且a,b的夹角为钝角， 所以a.b<0且a与五不共线（反向）， 由ab<0,则-2+2-元2+1(2-6<0，解得2>0， -2=t 当a与乙共线时，6=a,则2-2=1，解得久=2 t=-2 入-6=t2 综上可得实数元的取值范围为0,2)V(2,+0) 1/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：(0,2)U(2,+0】 4.已知四面体0-ABC,空间的一点P满足OP=OA+OB+0C,若P,A,B,C四点共面，则实数元的 4 值为 【省】 【详解】因为P,A,B,C四点共面，故AP,AB,AC共面 故存在唯一实数对(s,),使AP=sAB+1AC OP-04=s(0B-04+10C-04 整理得到：Op=(1-s-t)OA+sOB+tOC 由四面体0-ABC可得OA,OB,OC为空间向量的一组基底 1 1-s-t= 3 故{s=y 相加即得女名1，故 12 1 t= 4 故答案为： 12 5.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为AB的中点，则异面直线EB,与AD所成角的大小为一 【答案】i0 【详解】不妨设正方体棱长为2，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立空间直角坐 标系， ZA D A 则E(2,1,0,B2,2,2),A2,0,0),D0,0,2 则EB,=(0,1,2),AD=-2,0,2) 2/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos(EB AD= EB AD 0×(-2+1×0+2×2 4V10 EB AD V0+1+4×√4+0+4 5x2V2 5 故答案为： 10 5 6.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角 三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A,B,C中，M,N分别是AC,BB,的中点，G是MN的中点，若 AG=xAB+yAA+zAC,x+y+= C 个 C M I\ G -->B1 【答】 【详解】解：连接AM,AN,如图所示： C MI C /A1 、G B N A B 因为G是MN的中点，M,N分别是AC,BB,的中点， 所似石-而+网 =(4B+BN+4+AM) =2(+号服+M+4G =6+号4++50 1 =aB++40 2 2 3 -AB+-44+AC 4 4 3/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又因为AG=xAB+yAA+zAC, 1 31 所以x= 2 42=4 3 所以x+y+z= 故答案为：2 7.如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=AA=2√2，∠BAD= 5,∠BAA=∠D1A=T, 则BD·AC= D B 【答案】8√2 【详解】在平行六面体48CD-48CD,中，4B=4D=44=25,∠B1D-=受∠B4=∠D1A=子 由空间向量数量积定义可得AB,AD=0, 6瓜-4eos经-22×2x545,同理可得初=45， 因为BD=AD-AB=AD+AA-AB,AC=AD+AB, 所以，BD·AC=(AD-AB+AA)(AD+AB=AD-AB+AD.AA+ABAA=82 故答案为：8√2 8.给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量云、乃满足=， 则石=b;③在正方体ABCD-A,B,C,D,中，必有AC=AC;④若空间向量m、元、p满足m=i,i=p, 则i=币.其中不正确的命题的序号为一 【答案】①② 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们 的起点和终点都不一定相同，①错误； 4/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与 b的方向不一定相同，②错误： 对于③，根据正方体的性质，在正方体ABCD-A,BC,D中，向量AC与向量AC的方向相同，模也相等， 则AC=A,C,③正确； 对于④，由向量相等关系可知m=元=下，④正确。 故答案为：①② 9.己知P是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,内（含正方体表面）任意一点，则PA.PC的最大值为 【答案】4 【详解】取AC的中点为O,连接PO,如下图所示： 2 A B D B 因此可得OA=-0C,且AC=2√2 PA.PC=(PO+0APO+0C)=PO+PO.(04+0C)-04=PO-2: 因此当PO的长度最大时，PAPC取得最大值， 显然当P点与4，B,C,D,重合时，PO=V6,因此PA.PC取得最大值为4 故答案为：4 10,空间中有三个向量a,么，。，a52的夹角为号E=5,c与的夹角等于c与的夹角，记为 fo- 对任意c,存在实数m,n,使-m石-nb=3成立，则cos6的取值范围为 【答案】 5 ’2 【详解】由题意，在四棱锥P-ABCD中，PM⊥平面ABCD于M, 在底面ABCD内，MN⊥AB于N,连接AC,PN,如下图所示： 5/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D. M C N 设空间向量a-西，5=Dc=AP,由题意可知：∠BAD-背，∠MN=∠MAD-名=5， 由A,B,C,D四点共面，根据平面向量基本定理，则存在m,neR,使得ma+nb=AC, 所以c-ma-nb=AP-AC=CP, 由PM⊥平面ABCD,且AMC平面ABCD,所以AM⊥PM, 在RIA PMA中，AM=AP-PM, 在RtAAMN中，AW=AM cos.∠MAW=2V3, 因为PM⊥平面ABCD,ANC平面ABCD,所以PM⊥AN, 因为MN⊥AN,MN∩PM=M,MN,PMc平面PMN,所以AN⊥平面PMN, 因为PNc平面PMN,所以AN⊥PN,在Rt△ANP中， 易知在四棱锥P-ABCD中，一定存在PC=3,则PM≤3， 当|PMax=3时，AM=VAP-PM=4,ANm=AMcos.∠MAN=25此时cos9m= AN 23 cos∠PAW= AP 5 当Pe平面A8CD时，co:0取得最大值，即cos0=cos天-5 62 综上所述， cos0∈ 5’2 故答案为： 2W531 5,2 11.如图，长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=2,AD=1,AA=2,O为底面ABCD的中心，点P为DB上 的动点（包括端点），则当△PA,O的面积最小时，线段DP的长为 6/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】V6 【详解】如图以DA,DC,DD所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 D0a04La2.010.n@0,28l,2.2. 则A0= -2，=20 设P(a,b,2),则DP=(a,b,0), 因为0P108,所以片-号得5=2， 所以P(a,2a,2)(0≤a≤1)，则AP=(a-1,2a,0), 设点P到A,O的距离为d,则 2 AP.AO -2 =a-1y+4a2_ (a-1)+2a +1+4 2a+ =5a2-2a+1- 27 =5a2-2a+1- (3a+1)2 1 =96a2-48a+20 21 所以当a=- 48-时，d取得最小值，此时PA,0的面积取得最小值， 2×964 所以P行. 所以DP= +46 11 V164 4 故答案为： V69 7116 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 12.如图，棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,有一个截面JVWXYZ,其中U、V、W、X、Y、Z分别在棱 AB、BC、CCC,D、D,4AA,上若UVXY是正方形，则截面UVWXYZ的面积为一 【答案1沿 【详解】以D为原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当好r4rox@rz1.o2时 则m-(0亚-0o,所以师1灯1z丽， xm（4小z4》 8/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0= 31 49 设应=亚+厅，则44 13 4少，解得x= 1 1 6 1 即玩：师+，所以玩丽，丽共面， 所以U,V,W,X,Y,Z共面， 因为T-(》(0x10,所以所，时U1, 又因为可-5，网=}2，所以Uxy是正方形， 所以当0小得0小m(01》x0r01,zL0》时，六边形m2第是所球截面。 此时☑=z-Xw叫-m列=5 所以截面UXYZ的面积为S=Sm+2Suzr 5) 32 21 4 8 -16 故答案为： 21 16 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个 正确选项。) l3.已知向量ā，E是平面0的两个不共线向量，非零向量c是直线1的一个方向向量，则“ā，五，c三个 向量共面”是“111a”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当111a时，由于a,b是不共线的向量，故c可用a,b作为基底表示出来， 即a,b,c共面，所以“必要性”成立 当a,b,c共面时，直线1可能在平面内，故“充分性”不成立 所以是必要不充分条件 故选：B 14.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱ABCD-A,B,CD,(如图所示)，点P是正方形AB,C,D,的中 9/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 心，则向量AA·AP=() D C B D A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A 【详解】由正四棱柱性质可知，向量AP在AA上的投影向量为AA,, 由数量积的几何意义可知，AAAP=AA=1. 故选：A 15.已知平面a的法向量为n=(1,2,-1),AB=2,4-2),则直线AB和平面a的位置关系是() A.AB⊥a B.AB∥a C.ABca D.AB与C相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，AB=2n,则AB/n,则AB⊥a 故选：A 16.如图，已知正方体ABCD-A,B,CD,中，点E为上底面AC的中心，若AE=AA+xAB+yAD,则 x:y=() D B D A.2 B.1 c D.2 【答案】B 【详解】因为正=M+4正=杯+)4G=A+4码+4D) 所以征=M+)48+)4D=M+)B+AD, 10/16函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章空间向量及其应用·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.-4 2.-3 (0,2)U2,+0) 3. 5 4. 12 o 5.5 6.2 7.8V2 8.①② 9.4 25V5 10. 52 √69 11.4 12.16 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个 正确选项。) 13 14 15 16 B A B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17.(14分) 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC,BD 【详解】(1)连接 D C M :C 丽=0os80=1x1xs于-号 AD.=AD4D44=Ix2xcos3=1, A=网B4=1x2xco子=1， BD =BD+DD=B4+BC+DD =-AB+AD+44 BD=-4B+AD+44=AB'+AD'+44-24B.AD+24D.44-24B.44 -孤+f+网-2×2x1-2x1-11+4-142-2=5: BD=VBD=5,即BD,的长为5…(7分) (2)AM-AC+CM-4B+4D+CC=4B+AD+, .BD·AM=-AB+AD+AA (B+而+A -丽+0+号+孤+D +丽+网+x+x1 1+1+5×2++)宗414分) 18.(14分) 【详解】1)根据题意，B1,-1,-2.C3,04,则BC=(2,1-2, 若c∥8c,设c=BC=(24,-2刘，又由d=3,则42+2+42=9r2=9, 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解可得=士山，故0=(2,1-2或-2，-山2 .(7分) (2)根据题意，a=5=(-L-10,石=4C=10,-2) 则=+1+0=2,4C-+4=5,4B4c=-1 则os1=cos(极，AC）= AB.AC√10 @4010,故sin4=3 10, -cxsin-x5x3 10 .(14分) 19.(14分) 【详解】1)因为8-2所以E8M25反. 羡装形多面体的表面可看作是八个全等的枝长为5的小正四面体构成， 放该儿何体的表面积为24×小V-125。 该几何体的体积为2-12x××2x2x1=4…7分) 32 (2)建立如图所示的空间直角坐标系， 设P2,m,m0≤m≤2，Q2-m2,m0≤n≤2 D m-2a网-n+2m-nm42因扩手. 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当四手，n=弓时，等号成立 2W3 故P2的最小值为3.(14分) 20.(18分) 【详解】(1)解：如图所示： D C B 0 A4,0,0),B4,4,2),C0,4,0 故8C=(-40,-2 因为8P=BC=A-40,-2=(4,0-220≤元≤1) 所以P4-4,42-2) …(6分) (2)解：因为D(0,02,4(40,2 则4D=(-4,02,4C=(-4,40),4p=(-41,4-2 设平面4CD的法向量为m=(x,2列， 故Dm=4x+2z=0且4Cm=-4r+4y=0】 取2=2，则m=11,2) 由于AP ACD 平面时， 故4P1m 即4玩+4-4=0：解得 2:…(12分) 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解： AP=-4元，4,2-22A4=(0,0,2),AD=(-4,0,2) 设平面1P0的法向量为=a,6cd AP.i=-4a+4b+(2-2)c=0 则有AD·i=0-4a+2c=0 取a=1, 则i=(,22-1,2) 所以d- 5+(2-1 =(0≤≤1)， 所以当2=方时， d取最大值。 5.(18分) 21.(18分) 【详解】(1)底面4CD是边长为1的正方形，则5，m=1,S,4c4= A4=V2∠AAD=∠AAB=120° 所以Sa=44w=4x2xABA4sin乙44B=4x5x5 =2V6, 2 所以该平行六面体的表面积5=5+5.4m+5.4c4=26+2..6分） (2)过月作4M1AB,4ELAD,4H 平面ABCD,连接AM,HM,AE,HE,AH, 此时ADC平面ABCD,AHL0,AELD,AHOAE=A,AH,4EC平面AE, :.AD上面 AHE 8=o4H费，co8=s/BH-sHy. AH 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos0=-C0MM4M 4H=cos0 cos0, AA AH AA 得证 图为40A16=12咖，则a6=4M=60 则4M=A4cos60=2 =AE, 所以4H=A4-AF=2-=1, 所以cos∠AAH=AHV2 A42，所以∠AAH=45°， 因为4H上平面ABCD,AHc平面ABCD,所以AHLH, 所以侧楼1A与底面ABC 的所成角为4H 所以，侧棱 A与底面MBCD的所成角为45° D C A D. ...(12分) (3)由题意BD=0,A-B=4D=反x1×0s120=- 2, BD BA+AD+DD =-AB+AD+AA BD=(-AB+AD+A4)=AB'+AD'+44-24B.AD-24B.A4+2AD.A4 20-x9}29-4 617 6 学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 所以BD,=BD=2 而AC=AB+D,AC=V2 BD:AC=(-AB+AD+A4)(4B+AD)=AD-4B'+44 4B+44.AD 5 所以osB弧，C引 BD·AC √51 BDAC 2×V22, 所以直 BD与4C所成角为60.(18分) 717 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 空间向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量平行于向量 ，则 2．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 3．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 4．已知四面体，空间的一点满足，若四点共面，则实数的值为 ． 5．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 7．如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 8．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 9．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 10．空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为 . 11．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 15．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 16．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 18．（14分）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 19．（14分）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 20．（18分）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 21．（18分）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $