精品解析：四川省绵阳市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题

绵阳市高中2023级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 设命题，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】由题意：命题，，则：，， 故选：D. 3. 已知，，均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 4. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，结合单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，故A正确； 对于B，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由幂函数的性质可知函数在上单调递增，故B错误； 对于C，令，可得定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数不为偶函数，故C错误； 对于D，的定义域为不关于原点对称， 所以不为偶函数，故D错误. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解出，代入求解即可． 【详解】由得，所以，， 因此，． 故选：B． 6. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【详解】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得，. 故选：A. 7. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（ ） A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B. 时，浮萍面积就会超过 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可. 【详解】由图可得：函数过点， 则，解得，即. 对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误； 对于选项B：若时，则， 所以浮萍面积不会超过，故B错误； 对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加， 即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数（，且），若在处取得极值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为函数（，且），所以. 由题可知，化简可得结果. 【详解】函数（，且），. 若在处取得极值为1，则，所以. 化简得，整理得，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 因为，令， 则，故，所以A正确； 所以，即. 所以函数的周期为2. 当时，，所以，所以B错误； ， 因为，所以，所以C正确； 因为，函数周期为2， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（ ） A. B. 为最大项 C. D. 数列，，的公差为64 【答案】AC 【解析】 【分析】根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可． 【详解】设后三项的公差为，因为，则，， 由，得， 由前三项成等比数列，公比，所以， 结合，可得， 解得或， 当时，数列为； 当时，数列为； 对于A，当时，，故A正确； 对于B，两种情况的最大项分别是112和180，均不是，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，公差为16或，均不是64，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，，且，则（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数在上单调递减 C. 曲线关于对称 D. 函数与函数的最大值相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】由判断A；由在上单调递减，结合复合函数的单调性可判断B；利用可判断C；求得函数与函数的最大值可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数的一个周期为，故A正确； 对于B，，当时，， 又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，故B正确； 对于C，， 所以曲线关于对称，故C错误； 对于D，，所以， 当时，，所以函数的最大值为， 又，又因为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为，所以函数与函数的最大值相等，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用通项公式即可求解. 【详解】由有：， 故答案为：. 13. 已知,且,则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用即可得出． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，当且仅当时等号成立， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 14. 已知函数则使不等式成立的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分和，求出，代入化简，解一元二次不等式即可得出答案. 【详解】若，， 因为当时，在上单调递增， 所以，解得：， 若，，则， 由可得：，即， 解得：，又因为，所以. 故使不等式成立的的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，且. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合，可得，即可求出函数的解析式； （2）由三角函数的平移变换求出，再由两角差的余弦公式，正弦和余弦的二倍角公式化简，令，即可求出函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以， 所以 ， 令，所以. 所以函数的单调递增区间为： 16. 设函数，其中，. （1）若函数为上的奇函数，求函数的解析式； （2）若，当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解即可； （2）把不等式问题转化为两个函数大小问题，利用数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数， 所以有，即， 又有， 该等式在时恒成立，因此有； 【小问2详解】 因为，所以， 由当时，由， 设函数， 问题转化为当时，， 两个函数在同一直角坐标系的图象如下图所示： 由数形结合思想可知： 两个函数的图象一定有交点， 射线与双曲线的交点横坐标为， 因此要想当时，，只需， 实数的取值范围为. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由. 【答案】（1） （2）不能在数列中取三个不同的项，构成等比数列，理由见证明. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差数列前项和公式，进行求解即可. （2）通过反证法以及等比数列的性质进行计算即可. 【小问1详解】 由题意可得，为等差数列，所以，， 所以，， 解得，，所以， 所以. 【小问2详解】 假设在数列中存在三个不同的项，，构成等比数列,根据等比中项性质，可得, 由(1)知，则，，, 将其代入可得：, 展开等式左边得：, 展开等式右边得：, 因为等式两边的系数和常数项分别相等，所以可得方程组, 由可得，将其代入得：, 展开并化简得：, 因为，，所以，这与矛盾, 由于假设不成立，所以在数列中取三个不同的项，不能构成等比数列. 18. 已知函数有两个不同的极值点，. （1）求证：函数有3个相异零点； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的最大值. 【答案】（1）证明：，令，则是的两个实数根，所以， 故，且是极小值点，是极大值点， 由于当或时，，当， 故在单调递减，在单调递增， 由于，且，故， 又 因此函数有3个相异零点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据韦达定理可得，且是极小值点，是极大值点，结合，且，故，即可求证， （2）利用韦达定理代入化简即可求解， （3）作差，因式分解，将代入化简，得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 即， 代入可得， 化简可，则， 由于方程无实数根，所以，故， 【小问3详解】 由可得， 即， 由于，故， 由于可得，将其代入上式可得， 化简可得，进而 由于，故，即， 由于，故，当且仅当时取到等号， 故，故，因此的最大值为 19. （1）已知，函数.证明：当时，； （2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知. （i）证明：； （ii）求，其中表示不超过的最大整数. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得到当时，的最大值为0，即可证得当时，； （2）根据导数的几何意义，分析相应切线的斜率，构造新函数，分析新函数的单调性及最值，从而获得，证得.构造新函数，得数列的性质，进而得到关于其前n项和的不等式，进而得到求即可. 【详解】（1）因为，所以. 令，则. 当时，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 因为，所以，即. 所以在上单调递减，所以当时， . 由此当时，. 所以在上单调递减，. 故当时，. （2）（i）令，则.所以在上单调递减. 因为，所以当时，. 令，则，所以在上单调递增. 因为，所以当时，. 所以. 所以，， 即，. 若，则； 若，则； 若，则. 若，则； 若，则； 若，则. 由，知；由，知. 所以在点处的切线斜率为.由题可知，所以. 在点处的切线斜率为，因为，所以. 所以. 所以，. 所以，即. （ii）由（i）知，化简得. 令，则. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以当时，取得最大值，最大值为. 所以当时，，即. 所以，即. 因为，所以. 令，则. 所以当时，单调递减，且，即. 所以，所以， 因为，所以. 所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，. 所以累乘得，当时，，即. 因为，且时，. 所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市高中2023级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（ ） A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B. 时，浮萍面积就会超过 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 8. 已知函数（，且），若在处取得极值为1，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（ ） A. B. 为最大项 C. D. 数列，，的公差为64 11. 已知函数，，且，则（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数在上单调递减 C. 曲线关于对称 D. 函数与函数的最大值相等 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则________. 13. 已知,且,则的最小值为______. 14. 已知函数则使不等式成立的的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，且. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求函数的单调递增区间. 16. 设函数，其中，. （1）若函数为上的奇函数，求函数的解析式； （2）若，当时，，求实数的取值范围. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由. 18. 已知函数有两个不同的极值点，. （1）求证：函数有3个相异零点； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的最大值. 19. （1）已知，函数.证明：当时，； （2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知. （i）证明：； （ii）求，其中表示不超过的最大整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $