专题01 幂、指数与对数（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 幂、指数与对数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根式化简求值 1 题型二、分数指数幂与根式互化 4 题型三、指数幂的化简与求值 6 题型四、对数的概念 9 题型五、对数式与指数式互化 11 题型六、对数综合运算（重点） 12 题型七、换底公式（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根式化简求值 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【详解】由题意得，，即， 所以. 故选：B 2． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3．下列各式正确的是 ① ② ③ ④ 【答案】②④ 【分析】利用根式的运算直接求解. 【详解】当n为偶数时，故①，③选项中的式子不正确； 当n为奇数时， 则， 故②④选项中的式子正确. 故选：②④ 4．下列运算正确的是 ① ② ③ ④ 【答案】①③ 【分析】直接借助根式的运算法则计算即可. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， 故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，， ，故④错误； 故选：①③ 5．若，化简的结果可能（    ） ①． ②. ③ ④ 【答案】①③ 【分析】解不等式求的范围，结合根式的性质化简代数式即可 【详解】由化简可得， 所以， 所以或， 又， 所以， 当时，， 当时，， 故选：①③ 6．化简：＋. 【答案】＋＝ 【分析】对分x≤－2、－2<x<2和x≥2三种情况讨论得解. 【详解】由题得原式＝|x－2|＋|x＋2|. 当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x； 当－2<x<2时，原式＝(2－x)＋(x＋2)＝4； 当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x. 综上，＋＝ 7．化简下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)－2 (2)10 (3) 【分析】根据根式的运算及性质直接计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型二、分数指数幂与根式互化 8．化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分数指数幂的概念和指数幂的运算律计算. 【详解】. 故选：C. 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对于A选项：，，故A错误； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误. 故选：C 10．化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】 故选：C 11．将用有理数指数幂的形式表示则为 ． 【答案】 【分析】直接将根式形式转化为有理数指数幂的形式即可 【详解】 故答案为： 12．化简 . 【答案】/ 【分析】根据根式与分数幂之间的互化以及立方和公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13．已知，化简：= ．（用分数指数幂表示） 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算. 【详解】. 故答案为： 14．化简 【答案】 【分析】将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得； 【详解】解： . 故答案为： 题型三、指数幂的化简与求值 15．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 16． . 【答案】 【分析】根据指数幂的化简与运算直接得出结果. 【详解】 . 故答案为：. 17．化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案； （2）根据幂的运算法则，即可得到答案； （3）由完全平方和公式，即可得到答案. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为，所以. 18．（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】运用指数幂的性质计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 19．（1）计算； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由指数幂的运算计算即可； （2）将已知等式平方结合指数幂的运算计算即可； 【详解】（1）. （2） . 20．（1）求值：. （2）设，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂及其运算性质化简求值即可； （2）运用三次方公式化简，再根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）      . （2）因为，且， 所以 . . 21．（1）计算； （2）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可得出所求代数式的值； （2）在等式两边平方，可求出， 再求的值，再利用立方和公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）因为，等式两边平方可得，可得， 所以，， 因为，故， 因此，. 题型四、对数的概念 22．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的底数大于0且不等于1，真数大于0，列式可解得结果. 【详解】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题. 23．使对数有意义的的取值范围为　　 A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】根据对数成立的条件，建立不等式即可得到结论． 【详解】要使对数有意义，则， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，根据对数成立的条件是解决本题的关键． 24．若函数是对数函数，则实数a的值是 . 【答案】3 【解析】首先根据对数函数的概念得到，再解方程组即可. 【详解】因为函数是对数函数， 所以. 故答案为： 25．已知，则x的值为 . 【答案】1 【分析】根据对数的性质，列出式子，求解即可. 【详解】由对数的性质，可得，解得. 故答案为：1. 【点睛】本题考查对数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 26．代数式有意义时，求x的取值范围． 【答案】 【分析】首先根据对数的概念得到，再解不等式组即可. 【详解】由题意可得解得． 故答案为： 题型五、对数式与指数式互化 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题可得,,代入中,利用换底公式及对数的性质求解即可 【详解】由题,因为,则,, 所以, 故选：D 【点睛】本题考查对数的性质及换底公式的应用,考查指数与对数互化 28．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 29．已知，若，则 ． 【答案】 【分析】由指数式与对数式的互化公式，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】由对数式与指数式的互化，因为，可得， 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 30．满足的实数的值为 ． 【答案】 【分析】由外到内逐步将对数式化为指数式，可解出的值. 【详解】，，则，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查对数方程的求解，在解题时应将对数式化为指数式来求解，考查运算求解能力，属于基础题. 31．方程的解是 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式互化解题，． 【详解】且，且 ，即 解得（舍）， 即方程的解是3. 【点睛】解简单对数不等式，要善于运用对数式指数式互化． 题型六、对数综合运算（重点） 32．计算 【答案】3 【解析】直接利用对数的运算法则计算得到答案. 【详解】原式 . 【点睛】本题考查了对数的运算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 33．计算：（1）已知，试用表示； （2）. 【答案】（1） ；（2）3 【分析】（1）由题设可得，，由换底公式及对数的性质可得，从而可用表示. （2）利用对数的运算性质及对数的性质可将原式化为，利用可得所求的值. 【详解】（1）由，得 由得， . （2）原式 . 【点睛】对数的性质、运算规则可分成三大类： ①； ； ②； ③． 解题中注意根据题设中对数的形式选择合适的计算方法. 34．求下列各式的值 （1）； （2）. 【答案】（1）2；（2）10. 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）按照对数的运算法则进行对数的运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查了分数指数幂和对数的运算，考查了对数的换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 35．计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）对代数式提公因式、合并同类项，并利用对数的运算性质可得出结果； （2）利用对数的运算性质计算出分子和分母，由此可计算出分式的值； （3）利用对数的运算性质以及完全平方公式可得出代数式的值. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【点睛】本题考查对数的计算，解题的关键就是对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 36．计算题 (1)； (2)计算： ． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】(1)利用对数的运算法则计算. (2)利用对数的运算法则计算. 【详解】（1） ． （2） ． 题型七、换底公式（难点） 37．求值： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 38．计算： (1)； (2)已知，试用表示. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用对数法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【详解】（1）原式 ； （2）由，得，由得， . 39．回答下面3个题： (1) (2)若，，求 的值； (3)记，，用 表示对数 . 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）利用换底公式，以及对数运算公式，即可求解； （2）首先将写成对数式，再利用换底公式，即可求解； （3）将写成对数式，再利用换底公式，即可表示. 【详解】（1）原式 ； （2），又， 所以； （3）， 所以. 40．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算法则结合换底公式求得正确答案. 【详解】（1） ； （2） . 41．计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【详解】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. 1．（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 【答案】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 【答案】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的性质计算的关系式，利用基本不等式计算即可. 【详解】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知，且，则实数m的值为 ． 【答案】45 【分析】由指数式得到对数式，由换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】由，得， ， ， ． 故答案为：45. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 7．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知． (1)求的值； (2)用m表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用对数的运算法则计算得到答案. （2）变换得到，得到答案. 【详解】（1），则 . （2） . 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对题设条件两边平方后可得的值. （2）利用换底公式可求（用表示）. 【详解】（1）由题设有可得，故. （2）因为，故，故. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂、指数与对数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根式化简求值 1 题型二、分数指数幂与根式互化 2 题型三、指数幂的化简与求值 3 题型四、对数的概念 5 题型五、对数式与指数式互化 5 题型六、对数综合运算（重点） 5 题型七、换底公式（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根式化简求值 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2． （    ） A． B． C． D． 3．下列各式正确的是 ① ② ③ ④ 4．下列运算正确的是 ① ② ③ ④ 5．若，化简的结果可能（    ） ①． ②. ③ ④ 6．化简：＋. 7．化简下列各式： (1)； (2)； (3). 题型二、分数指数幂与根式互化 8．化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 10．化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 11．将用有理数指数幂的形式表示则为 ． 12．化简 . 13．已知，化简：= ．（用分数指数幂表示） 14．化简 题型三、指数幂的化简与求值 15．若，则（    ） A． B． C． D． 16． . 17．化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 18．（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 19．（1）计算； （2）已知，求的值. 20．（1）求值：. （2）设，且，求的值. 21．（1）计算； （2）已知，求式子的值． 题型四、对数的概念 22．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．使对数有意义的的取值范围为　　 A．且 B． C．且 D． 24．若函数是对数函数，则实数a的值是 . 25．已知，则x的值为 . 26．代数式有意义时，求x的取值范围． 题型五、对数式与指数式互化 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，则（ ） A． B． C． D． 29．已知，若，则 ． 30．满足的实数的值为 ． 31．方程的解是 . 题型六、对数综合运算（重点） 32．计算 33．计算：（1）已知，试用表示； （2）. 34．求下列各式的值 （1）； （2）. 35．计算： （1）； （2）； （3）. 36．计算题 (1)； (2)计算： ． 题型七、换底公式（难点） 37．求值： (1)； (2). 38．计算： (1)； (2)已知，试用表示. 39．回答下面3个题： (1) (2)若，，求 的值； (3)记，，用 表示对数 . 40．计算： (1)． (2) 41．计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 1．（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知，且，则实数m的值为 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 7．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知． (1)求的值； (2)用m表示． 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$