专题 4.3 一次函数的图象（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.3 一次函数的图象 目 录 一.知识梳理与题型分类精析 1 （一）新知引入： 1 【题型1】描点法画正比例函数的图象 1 （二）、知识点一：正比例函数的图象与性质 1 【题型2】正比例函数的图象位置 2 【题型3】正比例函数的性质 2 （三）、新知引入： 3 【题型4】描点法画一次函数的图象 3 （四）、知识点二：一次函数的图象与性质 3 【题型5】一次函数图象的位置 3 【题型6】一次函数图象的性质 3 （五）、知识点三：一次函数的图象的平移 4 【题型7】一次函数图象的平移 4 【题型8】一次函数图象与性质综合 5 【追本溯源】北师大94页 数学理解第7题 5 【题型9】一次函数与图象与性质与几何综合 6 二．同步练习​ 7 【基础巩固（14题）】 7 【能力提升（16题）】 10 一.知识梳理与题型分类精析 （一）新知引入： 【题型1】描点法画正比例函数的图象 【例题1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数和的图象． 【变式】（24-25八年级上·全国·课后作业）画出下列正比例函数的图象： （1）； （2）． 归纳：画函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线 （二）、知识点一：正比例函数的图象与性质 在正比例函数中, 当时，图象经过一三象限的一条直线，的值随着值的增大而增大； 当时，图象经过二四象限的一条直线，的值随着值的增大而减小。 【题型2】正比例函数的图象位置 【例题2】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知函数．若该函数图象经过原点： （1）求的值； （2）该函数的图像经过第________象限． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型3】正比例函数的性质 【例题3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）已知点在正比例函数的图像上． （1）求的值； （2）若点在函数的图像上，求出的值； （3）若点在函数的图像上，且，试比较的大小． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． （三）、新知引入： 【题型4】描点法画一次函数的图象 【例题4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和的图象． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出函数，，的图象，并分别指出图象经过哪些象限？ （四）、知识点二：一次函数的图象与性质 一次函数的图象经过点（）,与函数的图象平行。 在一次函数中, 当时，的值随着值的增大而增大；当时，的值随着值的增大而减小。 【题型5】一次函数图象的位置 【例题5】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数． （1）当a满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方？ （2）若函数y的图像不经过第一象限，求a的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·湖南怀化·竞赛）已知且，那么直线必经过第 象限． 【题型6】一次函数图象的性质 【例题6】（25-26八年级上·安徽宣城·阶段练习）已知一次函数（为常数，且）． （1）若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； （2）若时，有最小值，求的值． 【变式1】（2024·安徽·二模）已知点，是一次函数图象上的两个点，且，则图象还可能经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． （五）、知识点三：一次函数的图象的平移 一次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减. 【题型7】一次函数图象的平移 【例题7】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． （1）求的取值范围； （2）若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期末）将直线向右平移2个单位后，正好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 归纳： 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 【题型8】一次函数图象与性质综合 【例题8】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． （1）若图象经过原点，求m的值； （2）若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； （3）若，当时，求y的最大值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．图像必经过第一、二、三象限 C．当时， D．随的增大而增大 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是 （填序号）． ①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则； ②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为； ④若，当时，总是小于，则． 【追本溯源】北师大94页 数学理解第7题 小明是这样理解“函数的图象是一条经过原点的直线”，如图，当时,，所以原点在函数的图象上；当时，，即，而这个结论对任意的值都成立，所以函数的图象是一条经过原点、与横轴成45°角的直线。请你解释他的想法。 解答：时,， 原点在函数的图象上； 对任意点满足，即图象上任意点与原点的连线和横轴成45°的角； 原点和所有满足45°角的点， 函数的图象是一条经过原点、与横轴成45°角的直线。 【题型9】一次函数与图象与性质与几何综合 【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一次函数的坐标三角形．如下图，一次函数的图象与x轴y轴分别交于点E，F，则为此函数的坐标三角形． 求： （1）该函数的坐标三角形的三条边长． （2）的面积． （3）原点O到直线的距离． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，点P在y轴上（点P在点B下方且不与原点重合），并且使以点A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形，则点P到原点的距离为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（14题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 二、填空题 6．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为 ． 7．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若函数的图象如图所示，则函数的图象不经过第 象限． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： （1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； （2）观察图象，当时，的取值范围是______________； （3）将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 12．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是y关于x的正比例函数． （1）m的值为______． （2）函数y的值随x值的增大而______（填“增大”或“减小”）． （3）当时，求y的最小值． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 3．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①函数中，随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③函数的图象不经过第一象限； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中有下列函数的图象：①；②；③；④；⑤．下列说法中，正确的是（    ）． A．①③的图象都过点 B．①②③的图象相互平行 C．将③的图象向下平移1个单位长度得到①的图象 D．③④⑤的图象都过点 6．（2022九年级下·广东佛山·竞赛）正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第三象限，，且这四点都在直线上，则 0．（填“”“”或“”） 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 11．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，则点坐标为 ． 12．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． （1）求的值； （2）若，是图象上的两点，求，的值． 14．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． （1）当在何范围内取值时，随的增大而减小？ （2）是否存在这样的整数，使函数的图象不经过第一象限？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． （1）求的取值范围； （2）若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 一次函数的图象 目 录 一.知识梳理与题型分类精析 1 （一）、新知引入： 1 【题型1】描点法画正比例函数的图象 1 (二)、知识点一：正比例函数的图象与性质 3 【题型2】正比例函数的图象位置 3 【题型3】正比例函数的性质 4 (三)、新知引入： 6 【题型4】描点法画一次函数的图象 6 (四)、知识点二：一次函数的图象与性质 8 【题型5】一次函数图象的位置 8 【题型6】一次函数图象的性质 10 （五）、知识点三：一次函数的图象的平移 12 【题型7】一次函数图象的平移 12 【题型8】一次函数图象与性质综合 14 【追本溯源】北师大94页 数学理解第7题 17 【题型9】一次函数与图象与性质与几何综合 17 二．同步练习​ 21 【基础巩固（14题）】 21 【能力提升（16题）】 31 一.知识梳理与题型分类精析 （一）、新知引入： 【题型1】描点法画正比例函数的图象 【例题1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数和的图象． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是利用描点法画函数图象，先描点，再连线即可． 解：对于列表： x … 0 1 … y … 0 2 … 对于列表： x … 0 1 … y … 3 0 … 描点、连线，函数图象如图所示 ． 【变式】（24-25八年级上·全国·课后作业）画出下列正比例函数的图象： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题的解题思路是利用正比例函数图象过原点的特点，再选取一个x值求出对应的y值，确定另一个点，从而画出图象． 解：（1）解：当时，；当时， 在平面直角坐标系中，描出点和，然后用直线连接这两个点，即可得到的图象． （2）解：当时，；当时， 在平面直角坐标系中，描出点和，然后用直线连接这两个点，即可得到的图象． 【点拨】本题考查了正比例函数的图象绘制，掌握正比例函数的图象绘制是解题的关键． 归纳：画函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线。 (二)、知识点一：正比例函数的图象与性质 在正比例函数中, 当时，图象经过一三象限的一条直线，的值随着值的增大而增大； 当时，图象经过二四象限的一条直线，的值随着值的增大而减小。 【题型2】正比例函数的图象位置 【例题2】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知函数．若该函数图象经过原点： （1）求的值； （2）该函数的图像经过第________象限． 【答案】（1）；（2）一、三 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）由（1）可得函数解析式为，进而可得该函数的图像经过第一、三象限． 解：（1）解：∵函数的图象经过原点， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴函数解析式为， ∵， ∴该函数的图像经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，熟练掌握是解决本题的关键． 根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 解：∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限， 故选：A． 【题型3】正比例函数的性质 【例题3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）已知点在正比例函数的图像上． （1）求的值； （2）若点在函数的图像上，求出的值； （3）若点在函数的图像上，且，试比较的大小． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式一次正比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）将点代入正比例函数，然后求解即可； （2）由（1）可知，该正比例函数解析式为，将点代入并求解即可； （3）结合（1）可知该函数随的增大而减小，然后根据正比例函数的性质即可获得答案． 解：（1）解：将点代入正比例函数， 可得，解得； （2）由（1）可知，该正比例函数解析式为， 将点代入，可得； （3）对于正比例函数， ∵， ∴函数随的增大而减小， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 解：由直线经过的象限知：， ∵根据直线越陡，越大， ， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． (三)、新知引入： 【题型4】描点法画一次函数的图象 【例题4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出一次函数和的图象． 【答案】见分析 【分析】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象． 根据描点法，分别取几组对应值，连接各点，可得函数图象. 解：对于列表： x … 0 1 … y … 3 … 对于列表： x … 0 1 … y … 1 … 描点、连线，函数图象如图所示 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出函数，，的图象，并分别指出图象经过哪些象限？ 【答案】见分析，函数经过一、三象限；函数经过一、二、三象限；函数经过一、三、四象限． 【分析】本题主要考查一次函数的图象，根据两点法画出一次函数图象是解题关键． 根据两点法画出函数图象，然后再利用函数图象求解即可． 解： 当时，；当时，； ， 当时，；当时，； ， 当时，；当时，； 函数图象如图所示： ∴由图象可知：函数经过一、三象限；函数经过一、二、三象限；函数经过一、三、四象限． (四)、知识点二：一次函数的图象与性质 一次函数的图象经过点（）,与函数的图象平行。 在一次函数中, 当时，的值随着值的增大而增大；当时，的值随着值的增大而减小。 【题型5】一次函数图象的位置 【例题5】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数． （1）当a满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方？ （2）若函数y的图像不经过第一象限，求a的取值范围． 【答案】（1）且；（2） 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的图像与系数的关系； （1）根据与y轴的交点在x轴的下方可得，求解即可； （2）根据一次函数的图象与系数的关系列出关于a的不等式组，求解即可． 解：（1）解：∵一次函数与y轴交于点，且函数图像与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且； （2）∵函数y的图像不经过第一象限， ∴且， ∴且，即． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 【变式2】（2024九年级上·湖南怀化·竞赛）已知且，那么直线必经过第 象限． 【答案】二、三 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据，列出方程，然后根据一次函数的性质即可得出答案，解题的关键是根据列出方程，然后讨论求解． 解：由题意可得：，，， 三式相加得：， ∴或， 当时，，直线通过第一、二、三象限， 当时，则， ∴， ，则直线通过第二、三、四象限， 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限， 故答案为：二、三． 【题型6】一次函数图象的性质 【例题6】（25-26八年级上·安徽宣城·阶段练习）已知一次函数（为常数，且）． （1）若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； （2）若时，有最小值，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，得一次函数为，故该函数y随x的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上进行判断即可； （2）依据题意，当时，y有最小值，分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解 解：（1）解：由题意得，， ∴一次函数为，且， ∴该函数y随x的增大而增大， 又∵，两点均在该函数的图象上，且， ∴； （2）解：∵当时，有最小值， ∴①当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； ②当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，或． 【变式1】（2024·安徽·二模）已知点，是一次函数图象上的两个点，且，则图象还可能经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据增减性，判断的范围，进而求出直线所过象限，求出直线和轴的交点坐标，再根据增减性，进行判断即可． 解：∵点，是一次函数图象上的两个点，且，， ∴随着的增大而减小， ∴， ∵， ∴直线经过一，二，四象限， 当时，， ∴当时，， ∴图象还可能经过点，不可能经过，，； 故选A． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． （五）、知识点三：一次函数的图象的平移 一次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减. 【题型7】一次函数图象的平移 【例题7】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． （1）求的取值范围； （2）若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数的平移问题． （1）根据一次函数k与b的特点列不等式组计算即可； （2）先根据正比例函数的特点求出m的值，再代入计算即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象， ∴是正比例函数， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期末）将直线向右平移2个单位后，正好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数平移后的解析式求解，正确理解一次函数的平移规律是解题的关键是解题的关键．根据平移规律，向右平移2个单位后的解析式为，再将点代入即可求出的值． 解：将直线向右平移2个单位，得到新解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可，正确把握变换规律是解题关键． 解：∵将直线平移后得到直线， ∴，或， 解得：或， 故将直线向右平移个单位得到直线或将直线向上平移个单位得到直线， 故选：． 归纳： 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 【题型8】一次函数图象与性质综合 【例题8】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． （1）若图象经过原点，求m的值； （2）若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； （3）若，当时，求y的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 解：（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．图像必经过第一、二、三象限 C．当时， D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质并熟练运用． 根据一次函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当时，图象与y轴的交点在x轴的上方，当时，图象与y轴的交点在x轴的下方，并对各选项进行逐一分析即可． 解：A．直线在轴上的截距为1，该选项错误，不符合题意； B．函数中，，，此函数图像经过第一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C．当时，，解得，该选项正确，符合题意； D．函数中，，随增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是 （填序号）． ①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则； ②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为； ④若，当时，总是小于，则． 【答案】①③④ 【分析】根据一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系解答即可． 本题考查了一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则 本结论正确； ②若，且时，则一次函数的图象经过第一、三、四象限； 故本结论错误； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，得 整理，得函数解析式为； 故本结论正确； ④若，，， 当时，，， ∴经过定点， 当时，总是小于， ∴， ∴． 故本结论正确， 故答案为：①③④． 【追本溯源】北师大94页 数学理解第7题 小明是这样理解“函数的图象是一条经过原点的直线”，如图，当时,，所以原点在函数的图象上；当时，，即，而这个结论对任意的值都成立，所以函数的图象是一条经过原点、与横轴成45°角的直线。请你解释他的想法。 解答：时,， 原点在函数的图象上； 对任意点满足，即图象上任意点与原点的连线和横轴成45°的角； 原点和所有满足45°角的点， 函数的图象是一条经过原点、与横轴成45°角的直线。 【题型9】一次函数与图象与性质与几何综合 【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一次函数的坐标三角形．如下图，一次函数的图象与x轴y轴分别交于点E，F，则为此函数的坐标三角形． 求： （1）该函数的坐标三角形的三条边长． （2）的面积． （3）原点O到直线的距离． 【答案】（1）三条边长分别为6，8，10；（2）的面积为24；（3） 【分析】（1）利用一次函数图象与坐标轴的交点特征可求出点的坐标，进而可得的长，再利用勾股定理求出即可； （2）直接利用三角形的面积公式计算； （3）过点O作于点M，再利用等面积法求出斜边上的高即可． 解：（1）解：当时，， ∴点F的坐标为， ∴． 当时，，解得， ∴点E的坐标为， ∴， 在中， ∴， ∴函数的坐标三角形的三条边长分别为6，8，10． （2）解：∵， ∴， ∴的面积为24． （3）解：过点O作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴原点O到直线的距离是． 【点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理以及等面积法求线段长等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，点P在y轴上（点P在点B下方且不与原点重合），并且使以点A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形，则点P到原点的距离为 ． 【答案】4或或 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答的关键．先求出点A、B坐标，再画出示意图，根据等腰三角形的性质求出点P坐标即可． 解：一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B， ，， ， 当时，根据等腰三角形的三线合一，， ∴， 当时，， ∵点P在点B下方且不与原点重合， ∴可以看作点向下平移个单位长度所得， ∴， 当垂直平分线段时，设长为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∴， 点P到原点的距离为：4或或． 故答案为：4或或． 二．同步练习​ 【基础巩固（14题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例的图象与性质，涉及解一元一次方程等知识．根据题意，将代入并解方程求出，得到，把代入即可得到答案． 解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得， ∴ 把代入得到， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 解：点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握其增减性是解题的关键． 一次函数，当时，函数值随的增大而减小，利用此性质比较大小即可． 解：由知，，函数值随的增大而减小， ， ， 故选：B． 4．（2025·浙江杭州·一模）将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数平移的方向和距离，得出一次函数平移后的解析式，再求出平移后的解析式与轴的交点坐标． 解：直线沿轴向左平移个单位， 平移后的直线解析式为， 整理得：， 当时，可得：， 平移后的直线与轴的交点坐标是． 故选：A． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 解：、∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，该选项结论错误，不合题意； 、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，该选项结论正确，符合题意； 、函数的图象向上平移个单位长度，得的图象，该选项结论错误，不合题意； 、函数的图象与轴的交点的坐标是，该选项结论错误，不合题意； 故选：． 二、填空题 6．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求正比例函数的函数值，先设出这个正比例函数解析式，并利用待定系数法求出对应的解析式，再求出时的函数值即可得到答案． 解：设这个正比例函数的解析式为， 把点A坐标代入中得：， ∴， ∴这个正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若函数的图象如图所示，则函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此求解即可． 解：∵函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令，可得， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理可得， ∴或， 故答案为：2或． 9．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数，解题关键是熟练掌握如何根据一次函数增减性求参数． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 解：（1）一次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， 解得：； （2）在一次函数中， ， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 代入得， ， 解得：． 故答案为：①；②． 10．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： （1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； （2）观察图象，当时，的取值范围是______________； （3）将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 【答案】（1）4；（2）；（3）或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 解：（1）解：当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为点， 画出函数图象，如图， 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4 （2）解：观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：将直线沿轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为， ∴平移后的直线的函数解析式为或． 12．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 解：（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 【答案】（1），；；（2）4；（3）或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． （1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）先求出长，再解得m值即可． 解：（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：由勾股定理得， ∵点C的坐标为，当时， ∴或． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是y关于x的正比例函数． （1）m的值为______． （2）函数y的值随x值的增大而______（填“增大”或“减小”）． （3）当时，求y的最小值． 【答案】（1）2；（2）增大；（3）-3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系式的是解题的关键． （1）利用正比例函数的概念直接求解即可； （2）当比例系数 时，函数的值随的增大而增大；当比例系数时，函数的值随的增大而减小； （3）通过一次函数的增减性求最值. 解：（1）解：由题意得：， 解得： （2）因为，所以，所以， 所以随的增大而增大． （3）当时，取得最小值． 将代入，解得， 所以当时，的最小值为． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数中、的符号确定函数图象所经过的象限．根据点在第四象限内，确定、的符号，进而得到，的符号，然后确定两个一次函数图象所经过的象限，逐项判断即可． 解：点在第四象限内， ，， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象经过第一、三象限， 观察选项中的图象，同时满足的为选项B． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大， 当时，，即一次函数的图象与y轴交于点， 当时，，∴当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的性质，二次根式的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后得到数轴上点x到和5的距离之和等于6，然后得到，然后根据一次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 解：∵， ∴， 即数轴上点x到和5的距离之和等于6， ∴， ∵函数中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，y有最大值，最大值为； ∴的最大值与最小值的和是． 故选：D． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①函数中，随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③函数的图象不经过第一象限； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小；故①正确； ②由图象可知，图象不经过第二象限；故②错误； ③由图象可知：；则函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，故，所以，故④正确； 所以结论正确的有3个， 故选：B． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中有下列函数的图象：①；②；③；④；⑤．下列说法中，正确的是（    ）． A．①③的图象都过点 B．①②③的图象相互平行 C．将③的图象向下平移1个单位长度得到①的图象 D．③④⑤的图象都过点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 解：A、分别把点代入③的解析式中，，故③的图象不过点，该说法错误，不符合题意； B、当值相等时，直线平行，所以相互平行的只有①和③，故错误，不符合题意； C、将③向下平移个单位长度得①，故正确，符合题意； D、把点代入③的解析式中，，故③的图象不过点（1,0），该说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2022九年级下·广东佛山·竞赛）正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出，的坐标，从而找到规律，从而得到，再根据提示即可求得答案． 解：∵点和点分别在直线和轴上， ∴，， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 7．（2025·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象所过象限与系数的关系是解题的关键． 解：∵直线，，， ∴直线经过第一、二、三象限， ∵，， ∴直线经过第二、四象限， ∴两个函数图象都经过第二象限， ∴交点在第二象限， 故答案为：二． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 解：由一次函数的图象不经过第三象限， 则经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴有， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第三象限，，且这四点都在直线上，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质及增减性．根据一次函数的图象不经过第三象限判断k的正负，从而得到y的增减性．根据，在一次函数图象上，判断m和n的大小，从而判断的正负和的大小关系，最后再根据也在一次函数图象上即可判断c，d的大小关系，从而判断的正负，从而可判断的正负． 解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴． ∵在一次函数图象上，且， ∴， ∴，， 又∵在一次函数图象上， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 解：∵一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，函数y有最大值， ∴当时，，代入得，， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形定义，过点作轴，交轴于，交过点与轴平行的直线于，则，由直线的解析式为，当时，，则有，然后证明，所以，设，然后通过两点间的距离即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，过点作轴，交轴于，交过点与轴平行的直线于，则， 由直线的解析式为，当时，， ∴， ∵为斜边在下方作等腰， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 12．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解，，结合以点P，O，B为顶点的三角形与全等，分三种情况讨论即可． 解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合），分情况如下： ①如图所示： ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴当时，当时，则， 解得：， ∴，， ； ②如图， 此时， ∴； ③如图，当时， 此时， ∴， 故点的坐标为或或． 故答案为：或或 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． （1）求的值； （2）若，是图象上的两点，求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 解：（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 14．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． （1）当在何范围内取值时，随的增大而减小？ （2）是否存在这样的整数，使函数的图象不经过第一象限？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或 【分析】本题考查一次函数的图象性质： （1）根据一次函数的k与增减性的关系即可求解； （2）根据一次函数的k与b与图象关系即可求解． 解：（1）解：随的增大而减小， ， ； （2）解：存在，或，理由如下： 若一次函数不经过第一象限，则，解得， 为整数， 或． 15．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． （1）求的取值范围； （2）若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数的平移问题． （1）根据一次函数k与b的特点列不等式组计算即可； （2）先根据正比例函数的特点求出m的值，再代入计算即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象， ∴是正比例函数， ∴， 解得：， ∴． 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）点B的坐标为，点A的坐标为；（2）或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 解：（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $