专题 4.2 认识一次函数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.2 认识一次函数 目 录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、新知引入： 1 二、知识点一：一次函数定义 2 【题型1】一次函数与正比例函数的识别 3 【题型2】由一次函数的定义求参数 4 三、 问题思考： 5 【题型4】列一次函数解析式，并求函数的值 5 【题型5】利用正比例定义求一次函数解析式并求值 7 【追本溯源】北师大84页 随堂练习1： 9 【题型6】分段函数 10 二．同步练习​ 12 【基础巩固（12题）】 12 【能力提升（12题）】 18 一.知识梳理与题型分类精析 一、新知引入： 完成下列各题： 1．（24-25七年级下·河北保定·期末）某市出租车的价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.5元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则李老师所付的车费元与出租车行驶的路程千米之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数关系式，根据李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，进行列式化简，即可得出． 解：∵李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，且不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.5元收费． ∴ 故答案为： 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的表示方法、函数关系式，根据温度等于初始温度+运行时上升温度，即可得出答案． 解：根据题意得：. 故答案为：. 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 这样我们就得到了： 由此：我们得到了三个关系式：①；②；③，这三个函数关系式具有这样的特点： 二、知识点一：一次函数定义 如果两个变量之间的对应关系可以表示成的形式，那么称是的一次函数。特别地，当时，称是的正比例函数。 【题型1】一次函数与正比例函数的识别 【例题１】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数，即的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如、正比例函数形如的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 解：①，符合一次函数的形式，是一次函数，不是正比例函数； ②，符合正比例函数的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③，既不是一次函数也不是正比例函数； ④，可化为，符合一次函数定义，是一次函数，不是正比例函数； ⑤，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥，化简得，符合正比例函数定义，既是一次函数也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 【变式1】．（25-26八年级上·山东·阶段练习）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的概念，将化成的形式即可求解； 解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是， 故选：C． 【变式2】 （24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解． 解：一次函数的为：，，共有个， 故选：C． 【题型2】由一次函数的定义求参数 【例题2】 （25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的概念，掌握形如的函数叫一次函数是解题的关键． 根据的函数叫一次函数，得，再计算即可． 解：由题意得， 解得． 【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质． 直接将点代入计算即可． 解：将点代入一次函数中，得： 解得： 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东·阶段练习）已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数；由题意得：且，据此即可求解； 解：由题意得：且， 解得：， 故答案为： 3、 问题思考： 一次函数的函数值与、之间有可关系？ 令则，令则，所以：，这样们得到了： 知识点二：一次函数中与之间的关系 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加K，函数值的变化是“均匀”的，其变化与b的值无关 【题型4】列一次函数解析式，并求函数的值 【例题4】 （23-24八年级上·四川成都·期中）某地区电话的月租费为25元，在此基础上，可免费打50次市话（每次3分钟），超过50次后，每次0.2元． （1）写出每月电话费y（元）与通话次数x（）的函数关系式； （2）求出月通话150次的电话费； （3）如果某月通话费为53.6元，求该月通话的次数． 【答案】（1）；（2）45；（3）193 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式，求函数值，求自变量的值，根据数量关系列出关系式是解题的关键． 对于（1），根据每月电话费月租费超过50次的费用可得答案； 对于（2），将代入关系式计算； 对于（3），将代入关系式计算即可． 解：（1）根据题意，得. 所以每月电话费y元与通话次数x（）的函数关系式为； （2）当时，． 所以月通话150次的电话费是45元； （3）当时，， 解得． 所以某月通话费时53.6元，该月通话次数是193次． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 解：A．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少1，不符合题意； B．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值增加2，不符合题意； C．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少2，符合题意； D．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值的变化量为，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表： 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 15 若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了变量之间的关系，根据表格得出物体的质量每增加，弹簧的长度增加，设所挂物体的质量是，弹簧的长度为，则，求出x的值即可． 解：由表格可知，物体的质量每增加，弹簧的长度增加， 设所挂物体的质量是，弹簧的长度为，则： ， 把代入得：， 解得：． 故答案为：9． 【题型5】利用正比例定义求一次函数解析式并求值 【例题5】 （25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）当时，求的值 （3）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中，求出y的值即可得到答案； （3）把代入（1）所求的函数解析式中，求出x的值即可得到答案． 解：（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，， 解得． 【变式1】（24-25八年级下·重庆大足·期末）若 与 成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． 由正比例函数的定义可设，把，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可． 解：∵ 与 成正比例， ∴设， ∵当 时， ， ∴， 解得 ， ∴，即， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知y与成正比例，当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用正比例关系求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时的函数值即可得到答案． 解：（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 【追本溯源】北师大84页 随堂练习1： 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计昆山标准： 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 （1）当300<x≤600时,写出燃气费y（单位:元）与x之间的关系式； （2）某户一年用气量是400m3，求该户这一年的燃气费; （3）某户去年一年的燃气费是1311元,求该户去年一年的用气量。 解：（1）解析式为： 即： 答：燃气费y（单位:元）与x之间的关系式为： （2） 把代入得： （元） 答：某户一年用气量是400m3，求该户这一年的燃气费为1147元 （3）已知燃气费1311元，求用气量： 先判断费用所属档位： 第一档满额费用x=300时，费用为：300×2.73=819（元） 第二档满额费用x=600时，费用为：300×2.73+（600-300）×3.28=819+984=1803（元） 819<1311<1803，说明用气量属于第二档：300<x≤600， 代入关系式3.28x-165=1311， 解方程：x=450（） 【题型6】分段函数 【例题6】 （25-26八年级上·福建三明·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 （1）当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）水费（单位：元）与之间的关系式为：；（2）；（3）该户去年的用水量为 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第三档，由分段函数的计算方法列式求解即可． 解：（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为（元）， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， ∴（元）； （3）解：当时，水费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用水量在第三档， ∴第一档的水费为元，第二档的水费为元， ∴根据题意得， 解得，， ∴该户去年一年的用水量为． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单但不超过900单的部分 8 超过900单的部分 10 （1）若某外卖小哥3月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ （2）设某外卖小哥4月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． （3）若某外卖小哥5月份送餐950单，那么他5月份的工资总额为多少元？ 【答案】（1）他这个月的工资总额为3500元；（2）当时，；当时，；（3）他5月份的工资总额为7700元 【分析】此题主要考查了一次函数的应用． （1）根据题意，直接按照第一个标准，由底薪+每单补贴，求解即可； （2）按照当和时两种情况，分别求解即可； （3）根据（2）中的关系式，代入求解即可． 解：（1）解：（元）． 答：他这个月的工资总额为3500元； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴他5月份的工资总额为（元）． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单位：元）与房屋产权面积x（单位：）之间的关系． （2）汽车离开车站后，再以的平均速度继续行驶了，汽车离开车站的距离y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系． 【答案】（1），y是x的一次函数，也是x的正比例函数；（2），y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的概念．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据每月应缴的物业费=单位面积的物业费×房屋面积即可得出答案； （2）依据汽车离开汽车站所走的路程=原来的距离+小时行驶的距离列出关系式即可． 解：（1）解：根据题意有，是的一次函数，也是的正比例函数． （2） 解：根据题意有，是的一次函数，但不是的正比例函数． 二．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可． 解：符合正比例函数定义的只有C选项，A、B、D都不是正比例函数； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是x的正比例函数，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和一次函数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义和一次函数的定义进行判断即可． 解：是的正比例函数， 设， 是一次函数， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列各点在一次函数的图像上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，在一次函数的图像上的点一定符合其解析式． 分别将点的坐标代入计算判断即可． 解：A．当时，，故点不在一次函数的图像上； B．当时，，故点不在一次函数的图像上； C．当时，，故点在一次函数的图像上； D．当时，，故点不在一次函数的图像上； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·广东清远·期中）若函数是正比例函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据是正比例函数，可得二次项系数为0，一次项系数不为0，由此列式求解即可． 解：是正比例函数， ，， 解得， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数，当时，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数值求解自变量的值，将分别代入中，求出y值即可得出结论． 解：当时，， 解得：，不符合题意，舍去． 当时，， 解得：，符合题意， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 8．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 三、解答题 9．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）关于的函数． （1）和取何值时是关于的一次函数； （2）和取何值时是关于的正比例函数． 【答案】（1），为任意实数；（2）， 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 解：（1）解：由一次函数的意义知， 解得：． 当，为任意实数时，函数是关于的一次函数． （2）解：由正比例函数的意义知， 解得：，． 当，时，函数是关于的正比例函数． 10．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知与成正比例，当时，．试求： （1）与的函数关系式； （2）当时，求的值； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，代入求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入与的函数关系式，即可求出的值． 解：（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， ， 解得： 与的函数关系式为，， 即； （2）解：当时，， 解得：． 11．（23-24八年级下·广东汕头·期末）甲，乙两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家超市进行促销活动，促销方式如下： 甲超市：所有商品按原价打8折． 乙超市：一次购物不超过200元的按原价付款，超过200元后超过的部分打7折． （1）设分别在两家超市购买原价为元的商品后，实付金额为元，分别求出与的函数关系式． （2）当一次购物的商品原价为700元时，在哪家超市购买更省钱？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）乙超市更省钱；理由见分析 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出函数关系式即可求解． （2）将，代入（1）中解析式，继而比较即可求解． 解：（1）解：根据题意，得，， 整理得：，． （2）解：乙超市更省钱． 理由：当时， （元）， （元）， ∵， ∴乙超市更省钱． 12．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下． 甲葡萄园： 入园采摘葡萄不超过需付费40元，超过的部分每千克需另付5元． 乙葡萄园： 入园门票为每人12元，采摘的葡萄每千克另付b元，总费用y与采摘质量x之间的关系如图所示： （1）写出题中的变量：______；（至少写两个） （2） ______； （3）若分别在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付费用相同．求y与x之间的函数表达式； （4）若分别在甲、乙两家葡萄园采摘了m千克葡萄，所付费用相差40元，请直接写出m的值． 【答案】（1）总费用y元，采摘质量；（2）12；（3）；（4） 【分析】（1）根据图象反映的是总费用y与采摘质量x之间的关系可得答案； （2）由题意入园门票为每人12元可得a的值； （3）根据在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付费用相同，可列方程求出b的值，即可得出答案； （4）分，且A园比B园多收费40元，且B园比A园多收费40元三种情况考虑，根据两园的收费标准结合两园的收费相差40元，即可得出关于m的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 解：（1）解：图象反映的是总费用y与采摘质量x之间的关系， 题中的变量：总费用y元，采摘质量； 故答案为：总费用y元，采摘质量； （2）解：入园门票为每人12元， 当时，， ； 故答案为：12； （3）解：在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付费用相同， ， 解得：， y与x之间的函数表达式为：； （4）解：因为在甲、乙两家葡萄园采摘了m千克葡萄，所付费用相差40元， 分三种情况考虑： ①若，A园收费40元， 则B园收费元， 依题意得：， 解得：， 不合题意，舍去； ②若，A园比B园多收费40元， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ③若，B园比A园多收费40元， 依题意得：， 解得：； 综上所述，． 【点拨】本题考查了一次函数的相关知识及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 解：是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 4．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点在函数上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将点的坐标代入函数解析式．将坐标代入得到关于、的等式，再对所求式子进行变形求值． 解：因为点在函数的图象上，所以，整理得，两边同时乘以2得． 故答案为：2． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据是某正比例函数的“相关数对”，设这个正比例函数为，根据正比例函数的定义可知，正比例函数的比例系数不为，正比例函数的常数项为，可得：，，从而可以求出的值． 解：是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为， 则有，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·课前预习）某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．若一次购买的数量为x千克，在的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用知识，掌握以上知识并充分理解题意是解答本题的关键． 本题当时，付款金额由两部分构成，一部分是2千克所花的钱，另一部分是超过2千克所花的钱，然后即可求解． 解：由题意可列式：当，即． 故答案为： 8．（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，求一次函数的函数值和自变量的值，点到坐标轴的距离，根据定义可得点A的“短距”为1，则点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，据此求出点B的坐标，再验证其“短距”是否为1即可． 解：∵点的坐标为， ∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ∵， ∴点A的“短距”为1， ∵两点为“等距点”， ∴点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1， ∵点B在第三象限， ∴点B的横纵坐标都为负， 在中，当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为1，符合题意； 当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为0，不符合题意； ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一个正数的平方根和，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不在，理由见分析 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，一次函数图像上点的特征．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案， （2）把代入中，求出，即可得出结论． 解：（1）解：一个正数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是，即 解得：， ，算术平方根为：， 即的算术平方根为． （2）由（1）知 ，，点 的坐标为 ， 当时，， ∴点不在一次函数的图像上． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）某停车场停车收费方式如下，请根据图中信息回答下列问题： 停车收费标准： ①停车两小时以内（含两小时）缴费8元； ②超两小时部分每小时收费6元 （1）停车1.5小时收费______元． （2）直接写出超过2小时时，收取费用（元）与停车时长的函数关系式． （3）当缴费32元时，请求出停车时长． 【答案】（1）8；（2）；（3）停车时长为 【分析】本题考查分段收费原理，需分清每段的单价是多少． （1）根据收费标准缴费即可； （2）根据收费标准写出超过2小时时，收取费用（元）与停车时长的函数关系式即可； （3）当时，代入（2）中函数解析式，求出的值即可． 解：（1）解：∵， ∴应交费8元， 故答案为：8； （2）解：根据题意得，； （3）解：当时，， 解得，， 答：停车时长为6小时． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨元；超过10吨时，超过的部分按每吨元收费，现有某户居民5月份用水x吨，应缴水费y元，则求： （1）应缴水费y关于用水量x的函数解析式； （2）若小明家里本月缴水费61元，请问小明家里该月用水多少吨？ 【答案】（1）；（2）小明家里本月用水15吨 【分析】（1）根据题意，得解答即可； （2）根据函数解析式，利用函数值求自变量的值即可． 本题考查了分段收费问题，熟练掌握分段计算的标准是解题的关键． 解：（1）解：根据题意得，， 答：应缴水费y关于用水量x的函数解析式为：． （2）解：当时，， 解得， 答：小明家里本月用水15吨． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． （1）写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； （2）当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【答案】（1）；（2）小明家用气量为 【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用． （1）应交燃气费每月用气量气价； （2）先求出x范围，再列方程即可． 解：（1）解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴用气量未超过时，y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵（元），（元）， ∴小明家用气量超过，但不超过，即， ∴， 解得； ∴小明家用气量为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 认识一次函数 目 录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、新知引入： 1 二、知识点一：一次函数定义 2 【题型1】一次函数与正比例函数的识别 2 【题型2】由一次函数的定义求参数 2 三、 问题思考： 3 【题型4】列一次函数解析式，并求函数的值 3 【题型5】利用正比例定义求一次函数解析式并求值 3 【追本溯源】北师大84页 随堂练习1： 4 【题型6】分段函数 5 二．同步练习​ 6 【基础巩固（12题）】 6 【能力提升（12题）】 7 一.知识梳理与题型分类精析 一、新知引入： 完成下列各题： 1．（24-25七年级下·河北保定·期末）某市出租车的价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.5元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则李老师所付的车费元与出租车行驶的路程千米之间的关系式为 ． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为 ． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 由此：我们得到了三个关系式：①；②；③，这三个函数关系式具有这样的特点： 二、知识点一：一次函数定义 如果两个变量之间的对应关系可以表示成的形式，那么称是的一次函数。特别地，当时，称是的正比例函数。 【题型1】一次函数与正比例函数的识别 【例题１】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式1】．（25-26八年级上·山东·阶段练习）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2】由一次函数的定义求参数 【例题2】 （25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知函数是一次函数，求m的值． 【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东·阶段练习）已知是一次函数，则的值为 ． 3、 问题思考： 一次函数的函数值与、之间有可关系？ 令则，令则，所以：，这样们得到了： 知识点二：一次函数中与之间的关系 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加，函数值的变化是“均匀”的，其变化与的值无关 【题型4】列一次函数解析式，并求函数的值 【例题4】 （23-24八年级上·四川成都·期中）某地区电话的月租费为25元，在此基础上，可免费打50次市话（每次3分钟），超过50次后，每次0.2元． （1）写出每月电话费y（元）与通话次数x（）的函数关系式； （2）求出月通话150次的电话费； （3）如果某月通话费为53.6元，求该月通话的次数． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表： 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 15 若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是 ． 【题型5】利用正比例定义求一次函数解析式并求值 【例题5】 （25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）当时，求的值 （3）当时，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·重庆大足·期末）若 与 成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝ ． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知y与成正比例，当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【追本溯源】北师大84页 随堂练习1： 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计昆山标准： 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 （1）当300<x≤600时,写出燃气费y（单位:元）与x之间的关系式； （2）某户一年用气量是400m3，求该户这一年的燃气费; （3）某户去年一年的燃气费是1311元,求该户去年一年的用气量。 解：（1）解析式为： 即： 答：燃气费y（单位:元）与x之间的关系式为： （2） 把代入得： （元） 答：某户一年用气量是400m3，求该户这一年的燃气费为1147元 （3）已知燃气费1311元，求用气量： 先判断费用所属档位： 第一档满额费用x=300时，费用为：300×2.73=819（元） 第二档满额费用x=600时，费用为：300×2.73+（600-300）×3.28=819+984=1803（元） 819<1311<1803，说明用气量属于第二档：300<x≤600， 代入关系式3.28x-165=1311， 解方程：x=450（） 【题型6】分段函数 【例题6】 （25-26八年级上·福建三明·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 （1）当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单但不超过900单的部分 8 超过900单的部分 10 （1）若某外卖小哥3月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ （2）设某外卖小哥4月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． （3）若某外卖小哥5月份送餐950单，那么他5月份的工资总额为多少元？ 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单位：元）与房屋产权面积x（单位：）之间的关系． （2）汽车离开车站后，再以的平均速度继续行驶了，汽车离开车站的距离y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系． 二．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是x的正比例函数，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 3．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列各点在一次函数的图像上的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·广东清远·期中）若函数是正比例函数，则m的值是 ． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数，当时，则的值是 ． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 8．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 三、解答题 9．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）关于的函数． （1）和取何值时是关于的一次函数； （2）和取何值时是关于的正比例函数． 10．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知与成正比例，当时，．试求： （1）与的函数关系式； （2）当时，求的值； 11．（23-24八年级下·广东汕头·期末）甲，乙两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家超市进行促销活动，促销方式如下： 甲超市：所有商品按原价打8折． 乙超市：一次购物不超过200元的按原价付款，超过200元后超过的部分打7折． （1）设分别在两家超市购买原价为元的商品后，实付金额为元，分别求出与的函数关系式． （2）当一次购物的商品原价为700元时，在哪家超市购买更省钱？请说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）甲、乙两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下． 甲葡萄园： 入园采摘葡萄不超过需付费40元，超过的部分每千克需另付5元． 乙葡萄园： 入园门票为每人12元，采摘的葡萄每千克另付b元，总费用y与采摘质量x之间的关系如图所示： （1）写出题中的变量：______；（至少写两个） （2） ______； （3）若分别在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付费用相同．求y与x之间的函数表达式； （4）若分别在甲、乙两家葡萄园采摘了m千克葡萄，所付费用相差40元，请直接写出m的值． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 4．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点在函数上，则 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·全国·课前预习）某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．若一次购买的数量为x千克，在的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为 ． 8．（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一个正数的平方根和，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）某停车场停车收费方式如下，请根据图中信息回答下列问题： 停车收费标准： ①停车两小时以内（含两小时）缴费8元； ②超两小时部分每小时收费6元 （1）停车1.5小时收费______元． （2）直接写出超过2小时时，收取费用（元）与停车时长的函数关系式． （3）当缴费32元时，请求出停车时长． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨元；超过10吨时，超过的部分按每吨元收费，现有某户居民5月份用水x吨，应缴水费y元，则求： （1）应缴水费y关于用水量x的函数解析式； （2）若小明家里本月缴水费61元，请问小明家里该月用水多少吨？ 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． （1）写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； （2）当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $