精品解析：辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度上学期质量监测 八年数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 20，28，35 C. 1.5，5，2.5 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的知识点是勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； C、1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D、，能构成勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 实数，0，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题关键是熟练掌握无理数的定义和常见形式．根据无理数的定义和常见形式逐个判断即可． 【详解】为无理数，0为有理数， 为无理数，为有理数， 为无理数， 无理数有个， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选A． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 不带根号的数都是有理数 B. 两个无理数的和还是无理数 C. 无理数就是开方开不尽的数 D. 立方根等于本身的数是，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，立方根以及无理数的性质，利用无理数的定义及立方根的定义判断即可．熟练掌握各自的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不带根号的数不一定是有理数，例如 ，故此选项不符合题意； B．两个无理数的和不一定是无理数，例如，故此选项不符合题意； C．无理数不一定是开方开不尽的数，例如 ，故此选项不符合题意； D．立方根等于本身的数是，，，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．沈阳还是以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．能够准确表示沈阳这个地点的是（ ） A. 北纬，东经 B. 北纬 C. 东经 D. 本溪的西北方向 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用坐标确定位置，根据确定一个位置至少需要2个数据进行解答即可 【详解】解：根据确定一个位置至少需要2个数据， 所以，选项A符合条件， 故选：A 6. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ） A. 圆的周长C随半径r的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长a的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，C与r成正比，故选项符合题意； B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C. ，S与a不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意． 故选：A． 7. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ） … 0 1 2 3 … … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．设水位与时间的关系式，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：设水位与时间的关系式， 把和代入表中数据得 ， 解得：， ∴水位与时间的关系式． 把代入中，得， 故选：D． 8. 已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直线轴，得出、两点的横坐标相等，进而得出的值，再根据点位于第二象限，，得出的值，代入即可得出答案． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， 或6， 点位于第二象限， ， ． 故选：C 9. 如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接， （米），（米）， （米）， （米）， （米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 10. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得出，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得，进而证明，得出，设，得到，进而求解. 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∵四个全等的直角三角形拼成大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥－1且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 当k=______时，关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义可知k-2≠0，-4+k2=0，从而可解得k的值． 【详解】解：∵关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数， ∴k-2≠0，-4+k2=0． 解得：k=-2． 故答案为k=-2． 【点睛】一次函数：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数； 正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 13. 张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，根据这个图象求出y与t之间的函数关系式为y=﹣7.5t+25，那么函数y=﹣7.5t+25中的常数﹣7.5表示的实际意义是_____． 【答案】表示每小时耗油7.5升 【解析】 【分析】根据图像可知出发时油箱内有油25升，当行驶2小时时剩油10升，可求出每小时耗油量为7.5升. 所以﹣7.5表示表示每小时耗油7.5升. 【详解】由图象可知，t=0时，y=25，所以汽车出发时油箱原有油25， 又经过2小时，汽车油箱剩余油量10升，即2小时耗油25-10=15升， 15÷ 2=7.5升， 故答案为表示每小时耗油7.5升 【点睛】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义与性质是解题关键. 14. 如图，数轴上点表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 15. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于________． 【答案】或3. 【解析】 【分析】“有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．或另一条直角边为3，利用勾股定理求出即可． 【详解】“有趣中线”有三种情况： 若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意； 若“有趣中线”BD=AC=3； 若“有趣中线”为BD，如图所示， BC=3， 设BD=2x，则CD=x， 在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=32+x2， 解得：x=， 则△ABC的“有趣中线”的长等于或3． 【点睛】此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，化简二次根式，再计算除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式的乘法，利用完全平方公式展开，最后二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂，二次根式的化简，完全平方公式，熟练掌握相应的运算规则是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； （2）画出关于y轴对称； （3）的面积为 ； （4）已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由图可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可得出答案． 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，， 故答案为：． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 的面积=． 故答案为：． 【小问4详解】 ∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 18. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】（1） （2）着火点C能被扑灭，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； 【小问2详解】 解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 19. “生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】（1）， （2）方案一 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【小问1详解】 解： 与之间函数关系式为， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 20. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； （2）计算：的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用前面4个等式的规律，找出序号数与被开方数的关系写出第6个和第n个等式； （2）直接合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴； ； 故答案为：；； 【小问2详解】 解： 21. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，则点的坐标为______； （2）若点，且轴，则点的坐标为_____； （3）若点在第二象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化，一元一次方程，代数式求值等知识，解题的关键是熟悉各象限内与坐标轴上点的坐标的特点． （）根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程即可解决问题； （）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，列出方程即可解决问题； （）根据第二象限内点的符号特征，以及点到坐标轴的距离，列出方程得出的值代入即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴，解得： ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点，轴， ∴，解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵点在第二象限， ∴， ∵点到轴的距离是到轴的距离的倍， ∴，解得：， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点，，与的“直角距离”记为．例如，点与的“直角距离”． （1）已知点． ①点与点的“直角距离” ； ②若点与整点的“直角距离”，则的值为 ； （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和． ①若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到， 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站的位置共有 个； ②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站的坐标为 ． 【答案】（1）①6；②2或 （2）①，10；② 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）①根据直角距离定义直接解答即可； ②根据直角距离的定义直接解答即可； （2）①先根据直角距离的定义求出直角距离，和的长，根据它们之差的绝对值最小求出点的坐标，确定点的个数； ②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为12，再求出消防站点的坐标即可． 【小问1详解】 解：①∵，， 直角距离； ②根据题意可得，即， 或， 解得：或； 故答案为：①6；②2或； 【小问2详解】 解：①，， 直角距离， 点到，两个点的“直角距离”之和最小值为8， 点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小， 或， 点的坐标可以是； 满足条件的消防站点的位置如图所示，且点的位置共有8个； 故答案为；； ②如图， ，，， 则在最左的点为，在最右的点为，则 则在最上的点为，在最下的点为，则， 满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为， 消防站的坐标为， 故答案为：． 23. 【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 【答案】（1）①；②；（2）证明过程见详解；（3）9 【解析】 【分析】（1）观察推理过程可得答案； （2）仿照（1）可得； （3）延长到，使，连接，，可得，证明，知，，由为锐角，可得，故，从而得长的最大整数值为9． 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ； 故答案为：；； （2）； 证明如下：过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ， ， ， ； （3）延长到，使，连接，， 如图： ，， 是的垂直平分线， ， 为中点， ， 又，， ， ， 为锐角， ， 即为钝角， 由（2）的结论得：， ， ， 长的最大整数值为9． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期质量监测 八年数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 20，28，35 C. 1.5，5，2.5 D. 5，12，13 2. 实数，0，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 不带根号的数都是有理数 B. 两个无理数的和还是无理数 C. 无理数就是开方开不尽的数 D. 立方根等于本身的数是，， 5. 沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．沈阳还是以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．能够准确表示沈阳这个地点的是（ ） A. 北纬，东经 B. 北纬 C. 东经 D. 本溪的西北方向 6. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ） A. 圆的周长C随半径r的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长a的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 7. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ） … 0 1 2 3 … … … A. B. C. D. 8. 已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 9. 如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米． A. B. C. D. 10. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 当k=______时，关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数． 13. 张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，根据这个图象求出y与t之间的函数关系式为y=﹣7.5t+25，那么函数y=﹣7.5t+25中的常数﹣7.5表示的实际意义是_____． 14. 如图，数轴上点表示的数为______． 15. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； （2）画出关于y轴对称； （3）的面积为 ； （4）已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 18. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 19. “生活即教育，行即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买肥料较多？ 20. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； （2）计算：的值． 21. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，则点的坐标为______； （2）若点，且轴，则点的坐标为_____； （3）若点在第二象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的值． 22. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点，，与的“直角距离”记为．例如，点与的“直角距离”． （1）已知点． ①点与点的“直角距离” ； ②若点与整点的“直角距离”，则的值为 ； （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和． ①若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到， 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站的位置共有 个； ②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站的坐标为 ． 23. 【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $