精品解析：广西南宁市第三十七中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

2025～2026学年秋季学期八年级第一次大作业 数学学科试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用一根木棒与两根长度分别为5，7的木棒组成三角形，则这根木棒的长度可以是（ ） A. 1 B. C. 12 D. 15 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 6. 体育课上的侧压腿动作(图1)可以抽象为几何图形(图2)，如果，则等于( ) A. B. C. D. 7. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 8. 如图，是某超市一楼与二楼之间的阶梯式电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为， 则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 下列各命题的逆命题一定成立的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 12. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线．若，那么（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，已知，若，则______°． 14. 如图是最负盛名的跪射俑，是保存最完整和唯一未经人工修复的兵马俑，上体笔直挺立，下部是右膝、右足尖及左足抵地，三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是______． 15. 如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM＝_____度． 16. 如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解不等式，并在数轴上表示解集： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形，并写出各顶点坐标； （2）求的面积． 19. 如图，，点B，E，F，C在同一直线上，． （1）求证：． （2）若，求线段的长度． 20. 如图，在中，，用直尺和圆规作射线平分，交边于点P（不写作法，保留作图痕迹）．并完成下列问题： （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． 问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 22. 2025年1月29日，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映，某纪念品专卖店借此契机，销售“哪吒”和“敖丙”两种摆件． （1）若在专卖店在无促销活动时，购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元．该专卖店在无促销活动时，求“哪吒”和“敖丙”摆件的销售单价各是多少元？ （2）该专卖店开展促销活动： （活动一） “疯狂打折”：“哪吒”摆件八折，“敖丙”摆件四折； （活动二） “买一送一”：购买一个“哪吒”摆件送一个“敖丙”摆件． 若购买“哪吒”和“敖丙”两种摆件共100个（其中“哪吒”摆件不超过50个） 设购买“哪吒”摆件a个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元．（均用含a的代数式表示） （3）在（2）的条件下，购买“哪吒”摆件的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 23. 若和均为等腰三角形，且，当和互补时，称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高叫做的“补高”． （1）如图1，和互为“顶补等腰三角形”． ①若连接，，判断与是否互为“顶补等腰三角形”：______（填“是”或“否”）； ②当时，若的“补高”，则______； ③当时，判断与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在四边形中，，，，且． ①画出与，使它们互为“顶补等腰三角形”，其中、分别为、的底边； ②若的“补高”长为a，则点B和点D之间的距离为______（用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年秋季学期八年级第一次大作业 数学学科试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，据此判断选项即可. 【详解】解：A、是轴对称图形，故A符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，故D不符合题意. 故选：A. 2. 用一根木棒与两根长度分别为5，7的木棒组成三角形，则这根木棒的长度可以是（ ） A. 1 B. C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题通过三边关系确定取值范围，结合选项验证即可快速求解．注意需严格满足两边之和与差的条件，避免遗漏边界值． 【详解】解：设第三边为， 根据三角形三边关系，可得， 因此，第三根木棒的长度需满足， 综上，只有选项B符合条件． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案． 【详解】解：关于轴对称， 横坐标互为相反数，纵坐标不变， 点关于轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 4. 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 5. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 6. 体育课上的侧压腿动作(图1)可以抽象为几何图形(图2)，如果，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 7. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据证明即可得解． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：D． 8. 如图，是某超市一楼与二楼之间的阶梯式电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为， 则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据BC=10m，利用三角函数的知识解直角三角形即可． 【详解】解：过C作CM⊥AB于M， ∵∠ABC=150°， ∴∠CBM=180°-150°=30°， 在Rt△CBM中， ∵BC=10m，∠CBM=30°， ∴=sin∠CBM=sin30°=， ∴CM=BC=5m， 即从点B到点C上升的高度h是5m． 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角建立直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 9. 下列各命题的逆命题一定成立的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查逆命题的定义，需先明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换，得到的新命题即为逆命题．然后逐一分析每个选项的逆命题是否成立． 【详解】解：选项A的逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题成立； 选项B的逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，逆命题不成立； 选项C的逆命题：如果，那么，逆命题不成立； 选项D的逆命题：如果，那么，逆命题不成立． 综上，逆命题一定成立的是选项A． 故选：A． 10. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义及平分三角形面积判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项错误，符合题意； 故选：C． 11. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中垂线的性质，尺规作图，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由题意得，垂直平分，，可推出，则的周长可转化为，问题可解． 【详解】解：由题意得，垂直平分，， ，， 的周长为：， 故选：A． 12. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线．若，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义与性质，掌握三角形外角的定义与性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵， ∴． ∴ 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，已知，若，则______°． 【答案】97 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：97． 14. 如图是最负盛名的跪射俑，是保存最完整和唯一未经人工修复的兵马俑，上体笔直挺立，下部是右膝、右足尖及左足抵地，三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】此题考查了三角形稳定性的应用．根据三个支点形成三角形得到答案． 【详解】解：兵马俑上体笔直挺立，下部是右膝、右足尖及左足抵地，三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 15. 如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM＝_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，根据折叠的性质得到∠BAD＝∠B，∠CAM＝∠C，于是得到结论． 【详解】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合， ∴∠BAD＝∠B，∠CAM＝∠C， ∴∠BAD+∠CAM＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAM＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAM＝110°﹣70°＝40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，熟练掌握图形折叠的性质是解答本题的关键． 16. 如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解不等式，并在数轴上表示解集： 【答案】 （1） （2）， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，再数轴上表示解集． 对于（1），根据，再根据有理数的混合运算法则计算； 对于（2），根据移项，合并同类项，系数化为1，并在数轴上表示解集． 【详解】解：（1）原式 ； （2）不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 两边除以2，得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形，并写出各顶点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 关于x轴的对称图形如下， 点，，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，直角坐标系下点的坐标以及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握关于x轴对称的点的特点． （1）根据关于x轴对称的点的特点画出图形并写出坐标即可； （2）根据割补法先求解长方形的面积，由此求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 19. 如图，，点B，E，F，C在同一直线上，． （1）求证：． （2）若，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定、线段的和差计算， （1）先证明，再根据证明全等即可； （2）根据，求出，进而求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 20. 如图，在中，，用直尺和圆规作射线平分，交边于点P（不写作法，保留作图痕迹）．并完成下列问题： （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图--作角平分线、三角形的内角和定理及角平分线的性质，先以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，作射线交于点P， （1）先求出，再求出，即可求出结论； （2）作于点H，则，即可求出结论． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求作； 在中，，， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：作于点H， 平分，， ， ， ． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． 问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：证明 与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2： 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 任务1：由垂直的定义得到，由余角的性质推出，即可证明． 任务2：由全等三角形的性质推出，求出，即可求出的长． 【详解】解：任务1：略 任务2：如图：∵， ∴， ∴， ∴． ∴小丽距离地面的高度为． 22. 2025年1月29日，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映，某纪念品专卖店借此契机，销售“哪吒”和“敖丙”两种摆件． （1）若在专卖店在无促销活动时，购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元．该专卖店在无促销活动时，求“哪吒”和“敖丙”摆件的销售单价各是多少元？ （2）该专卖店开展促销活动： （活动一） “疯狂打折”：“哪吒”摆件八折，“敖丙”摆件四折； （活动二） “买一送一”：购买一个“哪吒”摆件送一个“敖丙”摆件． 若购买“哪吒”和“敖丙”两种摆件共100个（其中“哪吒”摆件不超过50个） 设购买“哪吒”摆件a个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元．（均用含a的代数式表示） （3）在（2）的条件下，购买“哪吒”摆件的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 【答案】（1）“哪吒”摆件的销售单价是20元，“敖丙”摆件的销售单价是15元 （2）， （3）购买“哪吒”摆件的数量在时，活动二更实惠 【解析】 【分析】（1）设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，根据购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买“哪吒”摆件a个，则购买“敖丙”摆件个，按活动进行计算即可； （3）根据活动二更实惠，列出一元一次不等式，解不等式结合“哪吒”摆件不超过50个，即可得出答案． 本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据数量关系，正确列出一元一次不等式 【小问1详解】 解：设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：“哪吒”摆件的销售单价是20元，“敖丙”摆件的销售单价是15元； 【小问2详解】 设购买“哪吒”摆件a个，则购买“敖丙”摆件个， 按活动一购买所需费用为：（元）， 按活动二购买所需费用为：（元）， 故答案为：，； 【小问3详解】 由题意得：， 解得：， 又“哪吒”摆件不超过50个， ， 购买“哪吒”摆件的数量在时，活动二更实惠． 23. 若和均为等腰三角形，且，当和互补时，称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高叫做的“补高”． （1）如图1，和互为“顶补等腰三角形”． ①若连接，，判断与是否互为“顶补等腰三角形”：______（填“是”或“否”）； ②当时，若的“补高”，则______； ③当时，判断与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在四边形中，，，，且． ①画出与，使它们互为“顶补等腰三角形”，其中、分别为、的底边； ②若的“补高”长为a，则点B和点D之间的距离为______（用含a的式子表示）． 【答案】（1）①是；②2； ③与之间的数量关系，证明如下： 如图所示，过A点作， ∵和互为“顶补等腰三角形”， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴. （2） ①如图所示，连接，作的垂直平分线找到的中点O，连接，，与即为所求， ②点B和点D之间的距离为 【解析】 【分析】（1）①和互为“顶补等腰三角形”即可得到与也是互为“顶补等腰三角形”；②当时，，得到，然后利用和互为“顶补等腰三角形”寻找条件证明，可得；③过A点作,利用和互为“顶补等腰三角形”寻找条件证明，即可得到； （2）①连接，作的垂直平分线找到的中点O，连接，，与即为所求，利用直角三角形斜边中线性质和全等三角形的判定和性质，可证明与互为“顶补等腰三角形”；②过O点作，的“补高”长为a，即，利用含有角的直角三角形的性质，可得即可. 【小问1详解】 解：①与是互为“顶补等腰三角形”，理由如下： 连接，，如图所示， ∵， ∴与都是等腰三角形，且， ∵， 又∵和互为“顶补等腰三角形” ∴和互补，即， ∴， ∴与互为“顶补等腰三角形”. ②当时，如图所示， ∵和互为“顶补等腰三角形”， ∴和互补，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴. 故答案为：2. ③ 略 【小问2详解】 解：①∵，，且， ∴、都是直角三角形， 又∵O为的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴与互为“顶补等腰三角形”. ②如图所示，过O点作，的“补高”长为a，即， 由①得：， ∴在中，， ∴， ∵与互为“顶补等腰三角形”， ∴， ∴. 故点B和点D之间的距离为. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质，掌握含角的直角三角形的边的关系，掌握全等三角形的判定与性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $