精品解析：湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高一上学期10月（期中）考试数学试题

郧阳中学2025级高一年级上学期10月第一次考试 数学试卷 命题人：高海霞 审题人：张兴菊 本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在上为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 5. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数的四个命题： ②； ④y=f（x）的定义域是，值域是则正确的命题的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. “”是“不等式对一切实数x恒成立的充要条件 10. 下列是真命题的是（ ）． A. 已知，且，则 的最大值为5 B. 已知，则的取值范围为 C. 已知且恒成立，实数的最大值是 D. 若则的最大值是6． 11. 函数在区间上值域为，则称为的“k倍增区间”，则（ ） A. 若为．的“1 倍增区间”，则b=1 B. 二次函数存在“2倍增区间” C. 函数存在“1 倍增区间” D. 若函数存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 13. 若正数，满足，则的最小值为________. 14. 记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下三个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； 其中，所有正确结论的序号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 16. 设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值 （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 18. 设为实数，已知函数． （1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围； （2）设集合． ①若中恰有一个整数，求的取值范围； ②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 19. 定义，． （1）用解析式表示并求的最小值； （2）证明： （3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郧阳中学2025级高一年级上学期10月第一次考试 数学试卷 命题人：高海霞 审题人：张兴菊 本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，最后根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，等价于，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以或，则. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案. 【详解】由，得到， 又因为，所以，故C正确； 当时，，故AD错误； ，故B错误. 故选：C 3. 若函数在上为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解. 【详解】函数在上为奇函数，所以定义域关于原点对称， 则，所以， 函数为奇函数， 所以， 所以时，， 所以. 故选：A. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 5. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 6. 已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围． 【详解】令，配方得，为二次函数，当时，取得最小值，当时，，所以当时，， 题目中p为假命题，所以或， 将不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题q为真时，， 结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：A． 7. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断的大小，即可判断出答案. 【详解】依题意，，，， 即，所以函数在上单调递增． 又，，所以函数是R上的偶函数， 所以,则有，所以， 故选：B． 8. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数的四个命题： ②； ④y=f（x）的定义域是，值域是则正确的命题的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义求出，，，，再根据，分别求出，，，，由可以得到的定义域是，由求出的范围，即得的值域. 【详解】因为，，，，所以，，，，∴，①错误； ，②错误； 因为，，所以，故③正确； 的定义域是，因为，所以， 即，∴值域是，故④错误． 综上，正确的命题个数为1个. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. “”是“不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可判断A；利用待定系数法求解析式可判断B；将函数变形为，先求出的范围即可求出的范围可判断C；根据不等式，利用分类讨论思想，建立不等式判断D． 【详解】对于A，因的定义域为，则,可得， 需满足，解得且, 所以的定义域为：，故A错误； 对于B，因为是一次函数，设， 则， 可得， 解得或， 所以或，故B错误； 对于C，因， 由可得，则， 则，则，故C正确； 对于D，由不等式恒成立， 等价于或， 即得，故D错误. 故选：ABD 10. 下列是真命题的是（ ）． A. 已知，且，则 的最大值为5 B. 已知，则的取值范围为 C. 已知且恒成立，实数的最大值是 D. 若则的最大值是6． 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D. 【详解】对于A， 且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值，故A错误； 对于B，由，可得， 又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意，，，， 所以转化为， 可得，即， 因为， 当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确； 对于D，由可得， 两边同乘以， ， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立， 令，则有，即， 解得，因此的最小值为， 此时且满足； 的最大值为，此时且满足，故D正确． 故选：BCD 11. 函数在区间上值域为，则称为的“k倍增区间”，则（ ） A. 若为．的“1 倍增区间”，则b=1 B. 二次函数存在“2倍增区间” C. 函数存在“1 倍增区间” D. 若函数存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数“k倍增区间”的定义，对于A，由求解即可判断，对于B，假设存在“2倍增区间”，结合函数单调性得到求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到求解即可判断，对于D，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断． 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1 倍增区间”，则，则或（舍去），故A正确； 对于B，若函数存在“2倍增区间”，设定义域为，值域为， 当时，函数在定义域上单调递增，则， 则a，b是方程的两个不相等的实数根，解得或， 故存在定义域为使得值域为，故B正确； 对于C，函数中x的取值范围为， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 函数在，递减， 则，则， 解得或，均不符合题意，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，，则， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需，解得，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 13. 若正数，满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】解：因为正数，满足， 则有，即， ，即， 所以， 当且仅当即，又， 即，时取得最小值，且最小值为． 故答案为：． 14. 记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下三个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【分析】①利用定义法证明单调性；②分和两种情况讨论；③求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集. 【详解】，且，则，则 ，即， 所以函数为单调函数，故①正确； 当时，， 有，， 此时， 当时，，，，此时，故②正确； 当时，，当时，， 结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误； 故答案为：①② 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得：，解得：. 所以二次函数的表达式为：. 【小问2详解】 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值. 【小问3详解】 由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 16. 设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】（1）， （2）{1} （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，0和b是方程的根，且， 所以，解得， 【小问2详解】 由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得，则x的取值范围为{1} 【小问3详解】 由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值 （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 18. 设为实数，已知函数． （1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围； （2）设集合． ①若中恰有一个整数，求的取值范围； ②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）利用根与系数关系可得，再将目标式转化为含有、的表达式，进而求范围. （2）①根据二次函数的性质只需保证即可求的取值范围；②由已知可得，又只需保证即可求参数范围. 【小问1详解】 由题设，且， ∴. 【小问2详解】 ①由的开口向上，对称轴为，且判别式恒大于等于0， ∴要使的解集中恰有一个整数，则， ∴. ②由题设，，又， ∴， ，则， ∴. 19. 定义，． （1）用解析式表示并求的最小值； （2）证明： （3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； （3） 【解析】 【分析】（1）按，的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明即可； （3）令，，由第（2）小问知：，，然后把题意转化为，都大于等于2，对任意恒成立，可得答案. 【小问1详解】 设，． 当或时，，故； 当时，，故． 因此，， 的最小值为1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知：在[0，4]上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有． ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $