数学（河北卷）-学科网2022届高三11月大联

( ………………………○……○……○……○……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… 学校： 班级： 姓名： 准考证号 ： ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) 绝密★启用前 学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 数 学 ( 用考号 查答案 )本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： ( 用考号 查成绩 )1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则 A． B． C． D． 3．若“，”为真命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．太阳神鸟金饰（如图1）是21世纪我国考古工作的一个重大发现，其图案设计之精妙令人瞩目．国家文物局正式公布采用商周太阳神鸟金饰图案为中国“文化遗产标志”．太阳神鸟金饰图案最突出的数学问题是如何运用尺规进行圆的十二等分，图2为用尺规十二等分圆周的作法，其中圆上的黑点即所作出的十二个等分点，若圆的半径为，则顺次连接这十二个等分点所得的正十二边形的边长为 A． B． C． D． 图1 图2 5．已知等比数列的公比且，若与的等差中项为，，则 A． B． C． D． 6．在平行四边形中，是边长为4的等边三角形，若E为BC的中点，F为线段CD上一点，且，则= A． B． C． D． 7．过正方体的一个顶点，与正方体的六个面所在平面所成的角均相等的直线的条数为 A．1 B．3 C．4 D．6 8．已知函数，则下列结论不正确的是 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，则下列结论错误的是 A．数列为等差数列 B．数列的通项公式为 C．数列为周期数列 D．数列存在最大项 10．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于原点对称，则下列结论正确的是 A．函数在上的最小值为 B．函数离原点最近的零点为 C．函数的图象的一条对称轴方程为 D．函数的最小正周期为 11．设均为正数，且，则下列结论正确的是 A．且 B． C．的最大值为，当且仅当时取等号 D．的最小值为，当且仅当时取等号 12．设函数，，则下列不正确的是 A．的最小值为 B．的极大值点为 C．若在上恒成立，则的取值范围为 D．若关于的不等式有正整数解，则的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数的图象与直线的交点个数为__________. 14．若为锐角，且，则__________． 15．已知三棱锥中，平面，，，则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为__________，__________.（本题第一空2分，第二空3分.） 16．已知平面向量，满足，，点在的平分线上，若，且，则__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知为数列的前项和，满足，，． （1）求证：数列为等比数列，并求； （2）令，求数列的前项和． 18．（12分） 已知的内角A，B，C依次成等差数列，设实数，向量，，. （1）若，，求与； （2）求函数的取值范围. 19．（12分） 为了中小学生文化素养的全面提升，某校组织了一次博物馆参观活动.如图为博物馆墙面上悬挂的朱熹的一首劝学诗，目的在于引导学生珍惜光阴，勤奋学习.已知该幅字下端距离地面的高度为1.5米，顶端距离地面的高度为3米.假设某学生的身高为1.4米. （1）若该学生站在距离该幅字正前面1.5米远的位置观看，求此时的视角的正切值； （2）问该学生站在该幅字正前面多远的位置，才能使得观看视角最大？ 注：视角即观察时最上面的视线与最下面的视线的夹角. 20．（12分） 已知函数. （1）求证：对于任意的实数，函数存在极值点； （2）若，恒成立，当时，试比较与的大小. 21．（12分） 如图，在直四棱柱中，，，. （1）求证：平面平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角为，求. 22．（12分） 已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）讨论函数的单调区间； （2）设，求证：当时，函数在上有且仅有一个零点． 数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页） 数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页） 理科数学试卷 第5页（共6页） 理科数学试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 请在各题目的答愿区域内作答。超出显色矩形边框限定区域的咨案无效！ 请在各题目的答恩区域内作答，超出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 19.(12分) 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答圈前。考生先将自己的姓名、准 考证号填写济楚。并认真检查监考 员所粘贴的条形马。 2.选择题必领用2B铅笔填涂非 准考证号 注 择圈必须用0,5mm需色签字笔答 ,不得用铅笔或因珠笔答题：字 体工整、笔透清晰。 项 3.请按题号顺序在各题目的答愿区域 内作答，超出区域书写的答案无 t22223t223223C2 效：在草编纸、试题登上答思无效 4 4。保持卡面清洁。不要折叠、不要弄 5。正确填涂 18,(12分) 7 缺考标记 ▣ 单项选择题（每小题5分，共40分】 1[A][B][C][D] [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、多项选择题（每小题5分，共20分） [A][BI[C]IDI H[A][BI[CI [D] 1[A][B][C][D] 12 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共20分） 14 15 16. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 情在各题日的答圈区域内作答，超出需色把形边概限定区城的答案无效： 请在各题目的答您区城内作答，超出黑色免形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出惠色是形边框限定区城的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6到） 数学第3页（共6页） 请在各思目的答题区域内作答，星出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 南在各题目的答想区城内作答，超出黑色矩形边配限定区城的答笑无效： 请在各题目的答要区域内作答，超出黑色矩形边框限定区峻的答案无效： 20.(12分) 21,(12分) 22.(12分) 在各避日的答区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的客案无效！ 情在各题日的答思区城内作答，超出黑色形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无敛！ 数学第4项（头6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（其6页） 学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B B B C D ACD BC AD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．C 【解析】∵，∴或， 又，∴.故选C . 2．B 【解析】解法1：因为，所以，故. 解法2：因为，所以.故选B． 3．A 【解析】“，”为真命题等价于有解，因为，所以，即，所以实数的取值范围为.故选A． 4．B 【解析】连接，，则是腰长为的等腰三角形，且， 所以由余弦定理可得， 所以，故选B． 5．B 【解析】因为与的等差中项为，，所以，解得或， 因为且，所以，所以，故选B． 6．B 【解析】，∴，由题意知平行四边形为菱形，则，∴ ．故选B. 7．C 【解析】将同样大小的四个正方体紧挨着放在同一个平面上，则过公共棱的一个顶点作四个正方体的体对角线，则这四条体对角线所在的直线与已知正方体的六个面所在平面所成的角均相等，故选C． 8．D 【解析】选项A，当时，，则函数在上单调递增，，当时，，所以函数在上单调递增，选项A正确；选项B，即，又，则函数单调递增，易知单调递增，选项B正确；选项C，当时，即，则函数在上单调递减，，当时，，所以函数单调递减，选项C正确，排除A，B，C，故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ACD 【解析】对于A，由，得，所以同理可得，所以，故A错误；对于B，由，得，则为以2为公比的等比数列，又因为，所以，，故B正确；对于C，由B知，数列为单调递增数列，故不可能是周期数列，故C错误；对于D，由B知，数列为单调递增数列，故不存在最大项，即D错误.故选ACD． 10．BC 【解析】设函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象， 则，因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，解得， 所以，此时，符合题意． 对于A：当时，，此时函数无最小值，故A不正确； 对于B：令，即，当时，，当时，， 所以函数离原点最近的零点为，故B正确； 对于C：，则函数的图象的一条对称轴方程为，故C正确； 对于D：因为函数， 所以， 所以不是函数的周期，故D不正确．故选BC． 11．AD 【解析】对于A：因为，所以， 因为，所以，即，同理可得，所以且，故A正确； 对于B：因为均为正数，且，所以，所以， 所以，即，所以，故B不正确； 对于C：因为，所以，即， 所以，即，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故C不正确； 对于D：因为，所以，即， 所以，所以，即的最小值为，当且仅当时取等号， 故D正确．故选AD． 12．ABD 【解析】对于A，∵，∴，即，故A不正确；对于B， ，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，则为函数的极小值点，故B不正确；对于C，∵，∴，易知在上单调递增，设，易得在处取得最大值，∴，故C正确；对于D，∵，∴，即，∵在处取得最大值，且，即，∴要使不等式 有正整数解，只需，∴，故D不正确.故选ABD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 【解析】解法一：令，得.因为，所以，此时在上单调递增.又因为当时，，当时，，所以函数的图象与直线只有一个交点. 解法二：若，则，其图象与直线有一个交点，在平面直角坐标系中，大致画出的图象与直线如下，由图可知交点个数为1.综上，函数的图象与直线只有一个交点. 14． 【解析】由已知条件可得， 因为，所以，解得， 因为为锐角，所以，所以．故答案为． 15． 【解析】因为，，所以，又因为平面，且，所以可将该三棱锥看作由正方体中截取出的一部分，则，即是边长为的等边三角形，又和的面积均为2，的面积为，则该几何体的表面积是，体积为，设内切球的半径为，利用体积相等可得，解得. 16． 【解析】解法1：因为，所以，又，所以建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，， 因为，所以，因为点在的平分线上，所以， 由，解得，所以．故答案为． 解法2：因为，，， 所以，， 因为点在的平分线上，所以， 所以，， 所以，，又，所以， 解得．故答案为． 解法3：设线段的中点为，因为，，所以， 又，所以三点共线．因为点在的平分线上，所以， 在中，，，，则， 由正弦定理，可得，即， 因为， 所以，即．故答案为． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）当时，，所以， 当时，由，可得，（1分） 所以，即， 又，所以，所以，所以，（3分） 所以数列是首项为、公比为的等比数列， 所以．（4分） （2）因为，所以， 所以，（6分） 所以 ①， 则 ②，（7分） ①②得 （9分） ， 所以．（10分） 18．（12分） 【解析】（1）在中，A，B，C依次成等差数列， 则，解得.（2分） 由余弦定理得，故，（4分） 由正弦定理得.（5分） （2） . （7分） 因为，所以.（8分） 因为，（9分） 所以，则， 故.（11分） 则函数的取值范围为.（12分） 19．（12分） 【解析】如图，AO=3米，OB=1.5米，CD=1.4米，AO⊥OD，CD⊥OD.过点C作CE⊥OA，垂足为E.设OD=x，，，则.（3分） （1）由题意知（4分） .（6分） （2） ，（9分） 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当该学生站在该幅字正前面0.4米远的地方观看时，的值最大.（11分） 故此时观看的视角最大. （12分） 20．（12分） 【解析】（1）因为，所以， 由得，（2分） 解方程得，又，所以， 当时，；当时，， 则是的极小值点， 所以不论取何值，函数存在极值点. （5分） （2）当时，由及，得， 设，则， 令，得.（7分） 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数的最小值为，所以.（9分） 设，则， 由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以当时，，所以， 所以.（12分） 21．（12分） 【解析】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，（1分） 因为，所以，所以， 由可得.（3分） 因为，所以平面.（4分） 因为平面，所以平面平面.（5分） （2）在中，， 由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，（6分） 因为四棱柱为直四棱柱，所以两两垂直，（7分） 以A为坐标原点，直线所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，（8分） 设平面的法向量为，则，得， 取，得，（9分） 设平面的法向量为，则，得， 取，得，（10分） 所以. 即.（12分） 22．（12分） 【解析】（1）由题可得函数的定义域为，，（1分） 当时，恒成立，在上单调递减；（2分） 当时，，令，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增．（3分） 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（4分） （2）由题可得，， 令，则， 因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，（5分） 因为，， 所以在上有唯一的零点， 满足，即，（7分） 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的最小值为， 因为，所以当时，， 所以函数在上不存在零点．（8分） 取， 则，（10分） 所以存在，使得，所以函数在上有唯一零点．（11分） 综上所述，函数在上有且仅有一个零点．（12分） 数学 全解全析 第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 数学·答案+评分标准+评分细则 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B B B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ACD 10．BC 11．AD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14． 15． 16． 注：第15题第一空2分，第二空3分. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）当时，，所以， 当时，由，可得，（1分） 所以，即， 又，所以，所以，所以，（3分） 所以数列是首项为、公比为的等比数列， 所以．（4分） （2）因为，所以， 所以，（6分） 所以 ①， 则 ②，（7分） ①②得 （9分） ， 所以．（10分） 注：①没有写出当时，，所以，直接在时计算，而且计算正确不扣分；②最后写出时不化简不扣分. 18．（12分） 【解析】（1）在中，A，B，C依次成等差数列， 则，解得.（2分） 由余弦定理得，故，（4分） 由正弦定理得.（5分） （2） . （7分） 因为，所以.（8分） 因为，（9分） 所以，则， 故.（11分） 则函数的取值范围为.（12分） 注：①第（2）问如果化简整理成余弦函数，步骤完整，类比给分；②函数的取值范围写为集合形式同样给分. 19．（12分） 【解析】如图，AO=3米，OB=1.5米，CD=1.4米，AO⊥OD，CD⊥OD.过点C作CE⊥OA，垂足为E.设OD=x，，，则.（3分） （1）由题意知（4分） .（6分） （2） ，（9分） 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当该学生站在该幅字正前面0.4米远的地方观看时，的值最大.（11分） 故此时观看的视角最大. （12分） 注：①第（2）问代入数据给1分，结果正确时，类比给分；②没有使用基本不等式解答，类比给分. 20．（12分） 【解析】（1）因为，所以， 由得，（2分） 解方程得，又，所以， 当时，；当时，， 则是的极小值点， 所以不论取何值，函数存在极值点. （5分） （2）当时，由及，得， 设，则， 令，得.（7分） 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数的最小值为，所以.（9分） 设，则， 由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以当时，，所以， 所以.（12分） 注：①第（2）问的单调性分析各给1分；②比较大小使用作差法等酌情给分. 21．（12分） 【解析】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，（1分） 因为，所以，所以， 由可得.（3分） 因为，所以平面.（4分） 因为平面，所以平面平面.（5分） （2）在中，， 由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，（6分） 因为四棱柱为直四棱柱，所以两两垂直，（7分） 以A为坐标原点，直线所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，（8分） 设平面的法向量为，则，得， 取，得，（9分） 设平面的法向量为，则，得， 取，得，（10分） 所以. 即.（12分） 注：①没有第（1）问推证，在第（2）问中只在图中正确画出空间直角坐标系，没有解答过程，给 1 分；②利用左手系正确解答也相应给分. 22．（12分） 【解析】（1）由题可得函数的定义域为，，（1分） 当时，恒成立，在上单调递减；（2分） 当时，，令，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增．（3分） 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（4分） （2）由题可得，， 令，则， 因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，（5分） 因为，， 所以在上有唯一的零点， 满足，即，（7分） 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的最小值为， 因为，所以当时，， 所以函数在上不存在零点．（8分） 取， 则，（10分） 所以存在，使得，所以函数在上有唯一零点．（11分） 综上所述，函数在上有且仅有一个零点．（12分） 注：第（1）问分类讨论不整合扣1分，其他按评分标准打分即可；第（2）问一题多解，不同方法相应给分；阅卷时注意验证学生取点的正确性，例如，在判断时，若取点为均成立． 数学 答案+评分标准+评分细则 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 数学·答案+评分标准+评分细测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B B B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.ACD 10.BC 11.AD 12.ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1 14.5 15.6+2W5,1- 3 16.35-√6 注：第15题第一空2分，第二空3分 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解折】1)当1-1时，S=0-之4，所以a=2=24=2, 当u≥2时，由S=1-a,可得S=-a,1分) 所以a,=S-8=0-a-0-2k,即a=2a0a≥2). 又4=2，所以a0.所以=222，所以会-2eN).3分 a 所以数列{a}是首项为1、公比为2的等比数列， 所以a=2-1.(4分) a,n为奇数 「2-1，n为奇数 (2)因为bn= 1og,g+1,n为偶数'所以6，= 乃，n为偶数 所以bn-bn=21x22-2=1x21=x4 2,(6分) 所以？=1×42×4 2++m-0×4+nx4 ①， 22 2 2 2+2++0-0x4x4 则47=1×42×4 ,②，(7分) 2 2 4++华+…+4x4 ①-②得-3江=2+2+2 22 数学答案+评分标准+评分细则第1页（共6页) 140-4)n×4+ (9分) 21-4 2 =0-3041-4 6 所以T=3n-10221+2 (10分) 9 注：①没有写出当1=1时，8=1-a,所以4=2S=24=2,直接在n≥2时计算，而且计算正确 2 不扣分：②最后写出T时不化简不扣分 18.（12分) 【解析】(1)在△ABC中，A,B,C依次成等差数列， 则2B=A+C,解得B=60°.(2分) 由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC·AB cos B=9+1-3=7,故AC=√7，(4分) 由正弦定理得simA=BCsi血B_3V2 AC 14 .(5分) (2)f(x)=2cos2 x-sin 2x=(cos 2x+1)-sin 2x=(cos 2x-sin 2x)+1 m20+1=-2sm(2-孕+1.（7分) 2 因为xe0孕所以2x-普(-设(8分) 约大P=2光一于)=saQs石。 —c0S—-c0 s2sim5-55+D,（9分) 34 3 3 4 4 所以-5sm-孕25D,则5's万m2x-孕1， 2 4 4 2 故1-5≤<2.(11分) 2 则函数f)的取值范围为-5,2).(12分) 2 注：①第(2)问如果化简整理成余弦函数，步骤完整，类比给分：②函数f(x)的取值范围写为集合形 式同样给分 19.(12分) 【解析】如图，AO=3米，OB=1.5米，CD=1.4米，AO⊥OD,CD⊥OD.过点C作CE⊥OA,垂足为E. 设OD=x,∠ACB=a,∠BCE=B,则∠ACE=+B.(3分) 数学答案+评分标准+评分细则第2页（共6页) B D (I)由题意知tana=tanl[(a+p)-B]=,tam(a+PA)-tanp (4分) 1+tan(a+B)tan B 3-1.41.5-1.4 1.51.5 、 1-225 1+3-1.49×0.5=1④1+16241 (6分) 1.5 225 (2)tan g=tant(+B)-]- 3-1.41.5-1.4 x 1.6-0.1 1.5 1+3-1.9×0.5-1.4 x+1.6x0.1 10.16,(9分) x+ 因为x>0,所以x+016≥2 0.16 2x04=08,当且仅当=015，即x=04时取等号， 所以当该学生站在该幅字正前面0.4米远的地方观看时，tana的值最大.(11分) 故此时观看的视角a最大.(12分) 注：①第(2)问代入数据给1分，结果正确时，类比给分：②没有使用基本不等式解答，类比给分 20.(12分) 【解析】(1)因为f)=m+X-血x,所以f')=a+2-， 由f"(x)=0得2x2+ax-1=0,(2分) 解方程得x=-a士y+8,又x>0,所以x-二ay+8 4 4 当0<x<my匠+8时，f)<0:当>y+8时，f)>0, 4 4 则x=二ay+8是f)的极小值点， 所以不论a取何值，函数f(x)存在极值点.(5分) (2)当a=1时，由f(x)≥x及x>0,得m≤x+1-血x, 设g)=x+1-hx,则gm=1-1-血x=+nx-1, x2 x2 数学答案+评分标准+评分细则第3页（共6页） 令g(x)=0,得x=1.(7分) 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈1，+0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以函数g(x)的最小值为gI)=2,所以m≤2.(9分) 设h(x)=e-x(x>0),则h(x)=e-1, 由h(x)=0,得x=1, 当x∈(O,1)时，(x)<0,h(x)单调递减：当x∈(L,+o)时，(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)≥h1)=0,所以当x>0时，x≤e*-1,所以x≤2x≤2ex-1, 所以x≤2e-1.(12分) 注：①第(2)问g(x),(x)的单调性分析各给1分：②比较大小使用作差法等酌情给分. 21.(12分) 【解析】(1)因为四棱柱ABCD-AB,CD为直四棱柱，所以A4⊥平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以AA⊥BD,(1分) 因为AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC, 由AB=AD可得BD⊥AC.(3分) 因为AA∩AC=A,所以BD⊥平面AAC,C.（4分) 因为BDc平面BCD,所以平面BC,D⊥平面AACC.(5分) (2)在△ABC中，AB=1,BC=V5,AC=2V2, 由余弦定理可得cos∠B1C=4B+4C2-BC21+8-5_V2 2AB.AC 2×1×2W22 所以2B4c-骨 因为∠BAC=∠DAC,所以AB⊥AD,(6分) 因为四棱柱ABCD-AB,C,D,为直四棱柱，所以AA,AB,AD两两垂直，(7分) 以A为坐标原点，直线AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B B 数学答案+评分标准+评分细则第4页（共6页) 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,2),B,(1,0,2),C(2,2,2) 所以BD=(←1,1,0)，DC=(2,1,2),AB=1,0,0),AD=(0,1,-2),(8分) 设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则 [mBD=0,得+y=0 n.DC=02x+y1+2z=0 取x=2,得n=(2,2,-3),(9分) m·AB,=0 x2=0 设平面ABD的法向量为m=(x2,y2,z2),则 ,得 m·AD=0y2-2z2=0' 取z2=1,得m=(0,2,1),(10分) 所以cos0=mm三 |2×0+2×2-3×1 -V85 |nlm|N22+22+（-3)2×V02+22+1285 即cos0= V85 .(12分) 85 注：①没有第(1)问推证，在第(2)问中只在图中正确画出空间直角坐标系，没有解答过程，给1分： ②利用左手系正确解答也相应给分 22.(12分) 【解析】(1)由题可得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=aex-1,(1分) 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在R上单调递减：(2分) 当a>0时，f=ae-月，令f'()=0,可得x=-血a, 当x<-na时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>-lna时，'(x)>0,f(x)单调递增.(3分) 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间；当a>0时，函数f(x)的单 调递减区间为(w,-lna,单调递增区间为(lna,+∞).(4分) (2)由题可得g(x)=axex-(a+2)x-1,g'(x)=a(x+1)e-(a+2), 令t(x)=g'(x)=a(x+1)e-(a+2),则t'(x)=a(x+2)e, 因为a>0,所以当x>0时，t'(x)>0,所以函数8'(x)在(0，+o)上单调递增，(5分) 因为g0)=-2,gma+3=a+2)na+2>0, 所以g)在(0，hna+马上有唯一的零点， a 满足g,)=a+1e*-a+2)=0,即e=a+2 a(3+):(7分) 且函数8(x)在(0，x。)上单调递减，在(x。,+w)上单调递增， 数学答案+评分标准+评分细则第5页（共6页) 所以当x>0时，函数g)的最小值为gK,)=m,e-a+2x-1=-a+215-1<0, x。+1 因为8(0)=-1<0，所以当x∈(0，x)时，8(x)<0, 所以函数8(x)在(0，x)上不存在零点.(8分) 取，=1+ma+2 >0 则8(x)=e-(a+2)x-1=x(e-1)(a+2)-1>(e-1)(a+2)-1=(e-1)a+2e-3>0,(10分) 所以存在x,∈(x。,x),使得8(x,)=0,所以函数8(x)在(x,+o)上有唯一零点.(11分) 综上所述，函数8(x)在(0，+0)上有且仅有一个零点.(12分) 注：第(1)问分类讨论不整合扣1分，其他按评分标准打分即可；第(2)问一题多解，不同方法相 应给分；阅卷时注意验证学生取点的正确性，例如，在判断ga+马)=a+2ma+2>0时，若取点 a 为na+3,na+4,n45,均成立. a a 数学答案+评分标准+评分细则第6页（共6页) ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题5分，共20分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共20分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． __________ ， __________ 16 ． ____________________ 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学利回 绝密★启用前 学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 5.已知等比数列{a}的公比9>-1且9≠0，若4与4的等差中项为5,4=-4，则aa= 数学 回话▣ 1 A.2 B C.220 D.-20 本卷满分150分，考试时间120分钟。 6.在平行四边形ABCD中，△ABD是边长为4的等边三角形，若E为BC的中点，F为线段 注意事项： 用考号查答案用考号查成绩 CD上一点，且ICF=2FD|,则ACEF= 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 A.-6 B.-4 C.-8 D.-12 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 7.过正方体的一个顶点，与正方体的六个面所在平面所成的角均相等的直线的条数为 塔 0 在本试卷上无效。 A.1 B.3 C.4 D.6 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 8.已知函数f(x)=x21x,则下列结论不正确的是 一个选项是符合题目要求的 A当e石回时.九20 1-2 1. 设集合A={x2<x<5》,B={2,3,4,5},则(G4)∩B= B.当0<x<x时，xfx)-xf)>0 A.(2 B.(5) C.{2,5) D.{24,5} C.当0<名<%<时，f)-f)<0 2.若复数z满足z0+i)=3-2i,则1z 35 D.当，x∈0+四)时， )+J 数 A. 4 B.V26 2 c号 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符 3.若“3reR,2+2m<0”为真命题，则实数m的取值范围是 合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， A.(-0,0) B.(-0,0 C.(-o,1D D.[1,+m) 9.已知数列{a}满足a-4=12,81=20+马，则下列结论错误的是 d 4.太阳神鸟金饰（如图1）是21世纪我国考古工作的一个重大发现，其图案设计之精妙令人 瞩目。国家文物局正式公布采用商周太阳神鸟金饰图案为中国“文化遗产标志”，太阳神鸟 A.数列{a}为等差数列 B.数列{a}的通项公式为a=n2 金饰图案最突出的数学问题是如何运用尺规进行圆的十二等分，图2为用尺规十二等分圆 C.数列{a}为周期数列 D.数列{a}存在最大项 周的作法，其中圆O上的黑点即所作出的十二个等分点，若圆O的半径为1，则顺次连接这 十二个等分点所得的正十二边形的边长为 10.将函数f)=$mx-acosx的图象向右平移”个单位长度后，所得函数的图象关于原点对 A.2-√5 称，则下列结论正确的是 B.y6-2 2 A.函数)在Q孕上的最小值为1 C. 6+√反 B。函数)离原点最近的零点为x=-年 2 C.函数)的图象的一条对称轴方程为x=-3西 4 D.1 D.函数y=f(x)-1川的最小正周期为π 图1 图2 数学试卷第1页（共4页） 数学试卷第2页（共4页） 亨学利阿 11.设a,b均为正数，且(a-1)b-1)=4,则下列结论正确的是 (1)若BC=3,AB=1,求AC与sinA: A.a>1且b>1 (2)求函数f(x)的取值范围。 B.a2+b2+1>(b-)2 19.(12分) C.ab的最大值为9，当且仅当a=b=3时取停号 为了中小学生文化素养的全面提升，某校组织了一次博物馆参观活动 D.a+b的最小值为6，当且仅当a=b=3时取等号 如图为博物馆墙面上悬挂的朱熹的一首劝学诗，目的在于引导学生珍 12.设函数f)=e-红k>0,g国)=1-血x,则下列不正确的是 借光阴，勤奋学习.已知该幅字下端距离地面的高度为1.5米，顶端距 离地面的高度为3米.假设某学生的身高为1.4米 A.f(x)的最小值为-1 3 (1)若该学生站在距离该幅字正前面1.5米远的位置观看，求此时的 考 B.8(x)的极大值点为x=c 视角的正切值： C.若≥g()在L+0)上恒成立，则太的取值范围为。+切） (2)问该学生站在该幅字正前面多远的位置，才能使得观看视角最 大？ 试 D.若关于x的不等式8)+23≤10m>0有正整数解，则m的取值范围是0，可 注：视角即观察时最上面的视钱与最下面的视线的夹角 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 20.(12分) 无 13.函数fx)=ae(a≤0)的图象与直线y=x的交点个数为 已知函数f(x)=x+x2-hnx(aeR) 缺 14.若a为锐角，且，sm2a=sima ,则an议= 2+cos2a 2-cosa (1)求证：对于任意的实数a,函数f(x)存在极值点： 15.己知三棱锥P-ABC中，AP⊥平面BCP,PA=PB=PC=2,BC=2√2，则该三棱锥 (2)若a=1,f(x)≥恒成立，当x∈(0，+o)时，试比较与2e一的大小 的表面积与内切球的半径分别为 一，（本题第一空2分，第二空3 21.(12分) 时 分) 如图，在直四棱柱ABCD-AB,C,D中，AB=AD=1, 16.己知平面向量OA,OB满足OA.OB=0,1OB=√51OA=√5，点P在∠AOB的平分线上， 若OP=OA+OB,且A+=2,则|OP上 AA=2.AC=22,BC=DC=5 则 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (1)求证：平面BC,D⊥平面A4CC: 17.(10分) (2)设平面BCD与平面ABD所成的锐二面角为0， 已知S为数列a)的前项和，满足4=山，及=0-宁a,ne心. 求cos0 / (1)求证：数列{a,}为等比数列，并求a: 22.(12分) a,n为奇数 (2)令b= log,a+1n为偶数，求数列色.A.}的前n项和工. 己知函数f(x)=ae-2-x,其中aeR,e为自然对数的底数 (1)讨论函数y=f)的单调区间： 18.(12分) 已知△ABC的内角A,B,C依次成等差数列，设实数x=min{4.B,C},向量 (2)设g(x)=/(x)+x2-m-1,求证：当a>0时，函数g(x)在(0，+o)上有且仅有一个 a=(cos'x,-sin2x),b=(2.1),f(x)=a.B. 零点. 数学试卷第3页（共4页） 数学试卷第4页（共4页）学科网2021年高三11月大联考（河北卷） 数学全解全析 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 C B A B B D ACD BC AD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的 1.C【解析】A={x2<x<5},∴.CA={xx≤2或x≥5}， 又B={2,3,4,5},∴.(GA)∩B={2,5}.故选C. 2B【解所1解法1：因为：公得--子所以：韵 Γ22 2 解法2：因为1+i非V213-2i3,所以1Hz2 故选B 3.A【解析】“3x∈R,2+2<0为真命题等价于2m<-2x有解，因为2>0，所以2<0，即<0， 所以实数的取值范围为(-∞，0).故选A. 4.B【解析】连接OF,BF,则△BOF是腰长为1的等腰三角形，且∠BOF=30°， 以电余弦定理可得BF=0B+0P-20B.0Pcos30°=1+1-2×832 所以Bn=V25=6V5,故选B. 2 5.B【解析】因为4与a的等差中项为5,4=-4，所以8+a4=10, a=8 (0=3g=-4’解得 1或 4=2 q= 2 (9=-21 a=8 因为4>-1且q≠0，所以 =-1,所以a=8x(分1=-，故选B q=2 6,B【解析】：C=亚+D,c丽=(+而)兮而-子-D--峦而，由题 3 意知平行四边形ABCD为菱形，则1AD=4,c面：名6P名西Fcos∠BAD-名16- 6 名16×分-4.故选B 7.C【解析】将同样大小的四个正方体紧挨着放在同一个平面上，则过公共棱的一个顶点作四个正方体的 体对角线，则这四条体对角线所在的直线与己知正方体的六个面所在平面所成的角均相等，故选C. 【解折】选项A,当x)时，-了>0，则函数了)在+)上单 X-X2 f=2x血x+x=2血x+),当x>元时，f)>0,所以函数f)在（石+0)上单调递增，选项A 数学全解全析第1页（共9页) 正确：选项B,/,))>0即)、，又0<4<%，则函数y=f四单调递增，易知 y=侧-nx单调递增，选项B正确：选项C,当0<5<5<上时，f)-x)<0即)f) x2 X, 则函数y=f田在(0，马上单调递减，y=f=xnx,当0<x<时，y=nx+1<0,所以函数y=f四 e 单调递减，选项C正确，排除A,B,C,故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.ACD【解析】对于A,由4，-4=12,2=20+，得a,-4=12,及=2×Q+1)=4,所以4=44=16 1 同可得马=极，所以4-4以-4，故A错误：对于B,由会-20+分，相2会，测白 a. n n+1 为以2为公比的等比数列，又因为4=4，所以-4×2-1=21，a=n:21,故B正确：对于C,由 B知，数列{a}为单调递增数列，故不可能是周期数列，故C错误；对于D,由B知，数列{a}为单调 递增数列，故不存在最大项，即D错误故选ACD 10.BC【解析】设西数了的图象向右平移至个单位长度后，得到函数)=8)的图象， 则8)=sin6x-孕-a©os(x-孕，因为函数8()的图象关于原点对称，所以()为奇函数， 所以8(0)=0，即sim(←5-acos元-0，解得a=-1, 4 4 所以fW=sinx+cosx=√反sin(x+乃，此时g()=√2sinx,符合题意。 41 对打A:当e@孕时，+经孕.此时酒数了)无最小值：改A不T确： 21 厨于B:令+kkE,即X三+kk2刀，当k=0时，当1时，【分 41 所以函数f)离原点最近的零点为x=-年，故B正确： 对于C:孕=V万m(孕-万，则两数)的图象的一条对称轴方程为x=-,放c正确： 对于D:因为函数yf)-1曰2sm(x+孕-1， 所以fx+)-1V5snx+元+孕-1V2sim(x+孕+1H5sm(x+孕-1日f)-1, 所以π不是函数yf(x)-1的周期，故D不正确.故选BC. 1.AD【解析】对于A:因为a-16-)=4,所以a=+3 b-1 因为a>0,b>0,所以b-1>0,即b>1,同理可得a>1,所以a>1且b>1,故A正确： 对于B:因为a,b均为正数，且(a-1)b-)=4,所以a+b=ab-3,所以a+b<ab, 数学全解全析第2页（共9页） 所以a2+b2+2ab<a2b,即a2+b+1<ab2-2ab+1,所以a2+b2+1<(b-1)2,故B不正确； 对于C:因为a+b=b-3≥2√b，,所以(ab)2-2Wab-3≥0，即(ab-3)(√ab+1)≥0， 所以√b≥3，即ab≥9，所以ab的最小值为9，当且仅当a=b=3时取等号，故C不正确； 对于D:因为a+b=ab-3,所以b=a+b+35a+b,即a+b2-4a+)-12≥0， 4 所以(a+b+2)(a+b-6)≥0，所以a+b≥6，即a+b的最小值为6，当且仅当a=b=3时取等号， 故D正确.故选AD. 12.ABD【解析】对于A,,e≥x+1,∴.e≥kx+1,即e-≥1，故A不正确：对于B,8'(x)= _1-hx,令g)=0,得x=e,故g()在(Q⊙上单调递减，在(e,+0)上单调递增，则x=e为函数 g(x)的极小值点，故B不正确；对于C,,f(x)之g(x),∴.e-≥x-nx=ex-lnx,易知 =e-x在[0，+四)上单调递增，设p)=血x,易得p()在x=e处取得最大值上，k≥1，故C e e 正确：对于D,gw+h3,12h1,即23，p)在x三©处取得 x B 最大伯日，且32-2h3.3h2_h9。血8,0，即8>p2,:要使不等式gW+2h3510L 326 6 >0)有正整数解，只需n3≥2血3， 3 .≥6，故D不正确故选ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 13.1【解析】解法一：令g(x)=x-ae*,得g'(x)=1-ae.因为a≤0，所以8'(x)>0,此时8(x)在R上 单调递增.又因为当x=a时，g(a)=a-ae=a1-e)≤0，当x=1时，8)=1-a>0,所以函数f(x) 的图象与直线y=x只有一个交点. 解法二：若α=0，则f(x)=0,其图象与直线y=x有一个交点，在平面直角坐标系中，大致画出 y=a(a<0)的图象与直线y=x如下，由图可知交点个数为l.综上，函数f(x)的图象与直线y=x只 有一个交点 14.V5【解析】由已知条件可得2 si&-sina 1+2c0s2a2-c0s 数学全解全析第3页（共9页） 因为si血a>0,所以2c0sa(2-c0sa)=1+2c0s2a,解得cosa= 2 因为a为锐角，所以a=号所以ana=5,故答案为厚. 15.6+2W5,1-5 【解析】因为PA=PB=PC=2,BC=2√，所以PB⊥PC,又因为AP⊥平面BCP, 且PA=PB=PC=2,所以可将该三棱锥看作由正方体中截取出的一部分，则AB=AC=BC=2√2， 即△ABC是边长为2√2的等边三角形，又△ABP,△BPC和△ACP的面积均为2，△ABC的面积为2√5， 则该几何体的表面积是3×2+23-6+2，体积为分2×2×2=专，设内切球的半径为？，利用 11 32 体积相等可得行6+2xr=手，解得r=1- 3 16.32-√6【解析】解法1：因为OA.OB=0,所以OA1OB,又OB=√31OA=√3，所以建立平面 直角坐标系xOy,如图所示，则O(0,0),A(0,1),B(N3,0),OA=(0,1),OB=(W3,0), B 因为OP=OA+OB,所以OP=(3,),因为点P在∠AOB的平分线上，所以V3=1, 「2+u=2 2=3-3 由{5=2，解得 u=V3-1 所以1OP=√21=3W2-√6.故答案为32-√6. 解法2：因为OA.OB=0,|OB|=√51OA=√5，OP=OA+uOB, OA.OP-OA.(AOA+OB)=AOA=A,OB.OP=OB.(AOA+OB)=HOB =3u, 因为点P在∠AOB的平分线上，所以∠AOP=∠BOP=45°， 所以ai0n=aA.opca4-9o.050n=o8oe4s-5o, 2 所以4=9o丽，=5om,又2+u=2,商以9o1+om=2, 2 6 解得1OP=3√2-√6.故答案为3√2-√6. 解法3：设线段0P的中点为月，因为O:01+u丽，A+丛2，所以0明-0丽-20i-号0丽， 又2+：=1，所以A,4,B三点共线.因为点P在∠A0B的平分线上，所以∠POA=45°， 、22 在△OAP中，∠POA=45°，∠OAP=60°，OA=1,则∠OPA=75°， 数学全解全析第4页（共9页) OA OP 由正弦定理 sin∠PA sin∠OAP ,可得10 sin 75sin60 即0？=sin60 sin 750 因为s血75°=sin(45°+30)=sn45”c0s30°+sin30co5450-√5+V6 4 253√2- 所以0R=2+6 2 6,即1O严1=35-6.故答案为32-6. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解析】1)当1=1时，8=0-4，所以4，=29=24=2， 当1≥2时，由S=0-a,可得8=0-a,1分) 所以a=5-8=0-a-0- 27a.,即a1=2a,0m≥2)， 又4-2，所以a0,所以=20m≥2，所以会=20eN,3分 a. 所以数列{a}是首项为1、公比为2的等比数列， 所以4.=2-1.(4分) a,n为奇数 [2-,n为奇数 (2)因为bn= log,a+1n为偶数'所以6 nn为偶数， 所以b6n=2n×22-2=n×21=-x 2,(6分) 所以T=1x4+2×4+…+-0×4+x4 2 ①， 22 2 2+2++0-0x44x4 则47=1×4+2x4, 22 ,②，(7分) 4.4243,4×41 0-②得-3江=2+2+2 +2-2 -140-4")n×4 -(9分) 21-42 1-3m)41-4 6 所以T=31-0221+2 (10分) 9 18.(12分) 【解析】(1)在△ABC中，A,B,C依次成等差数列， 则2B=A+C,解得B=60°.(2分) 由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC·AB cos B=9+1-3=7,故AC=√7，(4分) 数学全解全析第5页（共9页） 由正弦定理得sin4=BCsinB_3V .(5分) Ac 14 (2)f(x)=2cos2 x-sin 2x=(cos 2x+1)-sin 2x=(cos 2x-sin 2x)+1 =V5C5cos2x-2n2w+1=V5sm2x-5+1.(7分) 2 2 因为x∈0,7，所以2x-工∈（天.(8分） 4 4121 因为sm5亚=sin2-乃=sin2cos天-cos25sin平-V2(w5+D,(9分) 12 341 34 3 4 4 所以5amax-争：cw5D,则-5s5x争<1. 2 4 2 故1-5s0<2.(1分) 2 则函数f)的取值范围为2.12分) 19.(12分) 【解析】如图，AO=3米，OB=1.5米，CD=1.4米，AO⊥OD,CD⊥OD.过点C作CE⊥OA,垂足为E. 设OD=x,∠ACB=a,∠BCE=B,则∠ACE=a+B.(3分) D （1）由慰意知tama=tan(+P)-B]-1+aa十B)amp tan(a+B)-tan B (4分) 3-1.41.5-1.4 -1.51.5 1 225 1+16 1+3-1.4×1.5-1.④ 241 (6分) 1.52 225 (2)tana=tan[(a+B)-B]=tan(a+p)-tan p 1+tan(a+B)tanB 3-1.41.5-1.4 1.6-0.11.5 1+8-10x05-19x416x0i +016,(9分) x 因为x>0,所以x+0.16 0.16 2x =2x04=0.8,当且仅当x=016,即x=0,4时取等号， 所以当该学生站在该幅字正前面0.4米远的地方观看时，tna的值最大.(11分) 故此时观看的视角a最大.(12分) 数学全解全析第6页（共9页） 20.(12分) 【解析】(1)因为f)=+x2-hx,所以f'w)=a+2x-1 由f'(x)=0得2x2+ax-1=0,（2分) 解方程得=a士Y厅+8，又0，所以x:4匠+8 4 4 当0<x<amV+8时，∫<0：当x≥-V+8时，∫>0， 4 则x=二y+8是f的极小值点， 4 所以不论a取何值，函数f(x)存在极值点.(5分) (2)当a=1时，由)≥x及x>0,得m≤x+1-血x, 设g)=x+1-x,则g)=1-1-h-+h-1, x2 x2 令g'(x)=0,得x=1.（7分) 当xe(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈1，+w)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以函数g(x)的最小值为gI)=2,所以≤2.(9分) 设h(x)=e-x(x>0),则(x)=e1-1, 由h1(x)=0,得x=1, 当x∈(0,1)时，(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(L,+o)时，(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)≥h)=0,所以当x>0时，x≤e-1,所以x≤2x≤2e-1, 所以x≤2e-1.(12分) 21.（12分) 【解析】(1)因为四棱柱ABCD-AB,CD,为直四棱柱，所以A4⊥平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以AA⊥BD,(1分) 因为AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC, 由AB=AD可得BD⊥AC.(3分) 因为A4∩AC=A,所以BD⊥平面A4CC.(4分) 因为BDC平面BC,D,所以平面BCD⊥平面AACC.(5分) (2)在△ABC中，AB=1,BC=V5,AC=2W2, 由余弦定理可得cos∠BMC=4B+4C2-BC。1+8-5√2 2AB.AC 2×1×2W22 数学全解全析第7页（共9页) 所以∠BAC= 因为BAC=∠DAC,所以AB⊥AD,(6分) 因为四棱柱ABCD-AB,C,D为直四棱柱，所以AA,AB,AD两两垂直，(7分) 以A为坐标原点，直线AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,2),B(1,0,2),C(2,2,2), 所以BD=(（1,1,0),DC=(2,1,2),AB=1,0,0),AD=(0,1,-2),(8分) n BD=0 设平面BCD的法向量为n=(,,),则 ,得+男=0 n.DC1=02x+y1+2z1=01 取x=2,得n=(2,2,-3),(9分) w400海/0 m·AB,=0 设平面AB,D的法向量为m=(2,y2,z2)，则 y2-2z2=0' 取乙2=1，得m=(0,2,1),（10分) 所以cos日=1m_ 12×0+2×2-3×1 V85 1n‖m|V22+22+(-3)×V02+22+1285 即cos0= V85 (12分) 85 22.(12分) 【解析】(1)由题可得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ae-1,(1分) 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在R上单调递减：(2分) 当a>0时，f"()=a(e-与，令f")=0,可得x=-na, 当x<-na时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>-na时，'(x)>0,f(x)单调递增.(3分) 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间；当a>0时，函数f(x)的单 调递减区间为(-w,-ln),单调递增区间为(na,+o).(4分) 数学全解全析第8页（共9页) (2)由题可得g(x)=axe-(a+2)x-1,g'(x)=a(x+1)e-(a+2), 令t(x)=g'(x)=ax+1)e-(a+2),则t'(x)=a(x+2)e, 因为a>0,所以当x>0时，t'(x)>0,所以函数8'(x)在(0，+o)上单调递增，(5分) 因为g0)=-2,g'm+3)=(a+2)na+2>0, a a 所以gw)在(0，ha+马)上有唯一的零点x, 满足8'0K)=a,+De-a+2)=0,即e=a+ a,+D,(7分) 且函数8(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 所以当x>0时，函数g)的最小值为g)=,e-(a+2X-1=-a+2-1<0. x。+1 因为8(0)=-1<0，所以当x∈(0，x)时，8(x)<0, 所以函数8(x)在(0，x)上不存在零点.(8分) 取飞=1+n+2>X, 则g()=e-(a+2)x-1=x(e-1)(a+2)-1>(e-10(a+2)-1=(e-1)a+2e-3>0,(10分) 所以存在x2∈(x。,x),使得g(x2)=0,所以函数8(x)在(，+0)上有唯一零点.（11分) 综上所述，函数8(x)在(0，+0)上有且仅有一个零点.(12分) 数学全解全析第9页（共9页)