湖南长沙麓山国际实验学校2026-2027学年高二上学期9月入学学情检测数学试卷

**基本信息** 高二开学学情检测卷，全面覆盖复数、立体几何、概率统计等高一核心知识，通过基础与综合题梯度设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理运算）及语言（数据意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8小题|复数虚部、立体几何命题、圆锥体积等|基础概念辨析，如复数虚部考查数学抽象| |多选题|3小题|统计方差、三角形命题、正方体中点线面|多角度辨析，如三角形命题考查推理能力| |填空题|3小题|空间向量共面、复数模、三棱锥外接球|空间想象与运算，如外接球考查空间观念| |解答题|5小题|三角形证明与面积、频率分布直方图、四棱锥体积与线面角等|综合应用，如统计题结合频率分布直方图考查数据意识，四棱锥问题考查空间推理|

麓山国际2025级高二9月入学学情检测数学参考答案与试题解析 一.选择题（共8小题） 1.【解答】解：，复数z=i(2+i)=-1+2i,.z的虚部为2.故选：B. 2.【解答】解：对于A,若mCa,ncB,a∥B,则m与n平行或异面，故A错误： 对于B,若∥n,nC,则m∥a或Co,故B错误； 对于C,若o⊥B,m⊥B,则∥或mca,又nLm,则n与o可能平行也可能相交，故C错误； 对于D,若m⊥，⊥n,则n∥a或nCa,又nLB,则a⊥B,故D正确.故选：D. 】解：设该圆锥底面圆的半径为”，由圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为号 可得2m=2×号π=青，解得7=系所以该圆锥的商为=、4-号=号 2 所以该圆锥的体积为y-Sh=(}×-16二。 81几.故选：B. 4【答】解：因为问=2怎，谁a上的股影向证为d-:-Va,所以后石=12w.放话：4 97 lap2 a= 5.【解答】解：设点P在面ABC内的投影为点0，连接OA,则OA=号×3V5=23, 所以OP=VPA2-0A2=V36-12=2W6, 由VPQ2-0p2=V25-24=1,知T表示的区域是以0为圆心，1为半径 的圆，所以其面积S-π.故选：B. 6.【解答】解：己知a=(1,2),b=(k,-4),c=(m,3), - 对于A:则aⅡb,整理得-4-2k=0,解得k=-2,故A正确： 对于B:由于2c=(2m,6),故a·(2c)=2m+12=0,解得m=-6:故B正确： 对于C:a+c=(m+1,5),所以(+1)+25=29，解得m=1或-3，故C正确； 对于D由于b和c的坐标中含有k和，故求不出结果，故D错误.故选：D. 7.【解答】解：甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获 奖的概率为0.2，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为： P(AB)+P(AB)=P（A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-0.2+0.4-0.2=0.5. 故选：B. 8.【解答】解：a-一名+号：=cos号+isn号∴o=cos号n+ism受n, 第1页（共8页） 2π 2π “=co3x,=si3x的周期均为T=3,六w也是以3为周期， 1+o+w=-1+(-+号》+(-名+号)-1-+9+子是-=0. 1+ata+a中a=1ta号+号.故选：D. 二.多选题（共3小题） 9.【解答】解：对于A,x1,x2,…,axn的平均数为 ay1tax2++ax2=a1t2++=成，故A正确： 之 n 对于B,+h,+b,,+b的平均数为a1+b+a2+b++a+也=匠+b, n 其方差为(ax1+)-(a成+b2+[ax,+)-(成+b2+…+[an+)-(a成+b]3 =[ax1-网2+ax2-网2+…+(ax-网]=a2[x1-习2+(m2-习2+…+(x.-习] =a2s2,故B正确： 对于C,举反例，如1,2,3这3个数的平均数为2，但12,22,32这3个数的平均数 2+2+32-14+2, 3 3 故C不正确： 对于D.s2=[x1-刀2+(x2-刀2+…+(xn-习] =[0好-2x++(6G-2xx++…+(G-2x元+〗 =+号+…+x-2xx1+名+…+x)+n的=[+x号+…+)-2x版+n] =1号-子，故D不正确.故选：AB 10.【解答】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得 A>B台a>b台sinA>sinB,故A选项正确： 对于B选项，由于sin2A=sin2B=sin(π-2B),由于A,B是三角形的内角， 所以2A=2B或2A=T~2B,即A=B或A+B=因此△4BC可能为等腰三角形或直角三角形， 故B选项不正确； 对于C选项，由acosB-bcosA=c以及正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sinC, sinAcosB-sinBcosA=sin (A+B)=sinAcosB+cosAsinB;2sinBcosA=0, 由于sinB>0,所以cosA=0,所以A=受，故△4BC定为直角三角形，故C选项正确； 对于D选项，，△ABC的三边之比为3：5：7，.设三边长依次为3t,5t,7t,其中t>0: 第2页（共8页） 设最大角是C,由余弦定理知，49=9+252-2X3×51c0sC,c0sC=-号“C=120°.故D选项 正确.故选：ACD. 11.【解答】解：正方体中，由QA>AC=AB1,故△QAB1中，AB1不可能是直角三角形的斜边， 即不存在入使得QA⊥QB1,A选项正确； D R,S分别是棱A1D1,AB的中点，点Q为CC1中点时，平面MNP在正方体 上的截面为正六边形MRNSPO, 则Q,M,N,P四点共面，有入=，B选项错误： D 若=子，则0为CC1上靠近C点的三等分点， 取BB1上靠近B1的三等分点G,B1C1的中点H,连接A1H,A1G,GH, 则在正方形BB1C1C中，可得GH∥PQ, B GHt平面APQ,PQc平面APQ,则有GH∥平面APO, 同理可由A1H∥AP,证明A1H∥平面APQ, D A1H,GHC平面A1GH,A1H∩GH=H,所以平面A1GH∥平面APQ, .w.... B 点F在侧面BB1CC内，且A1F∥平面APQ,所以GH即为点F的轨迹， GH=VB,+B,G=、12+(》-零，C选项正确： 若入=2则Q为CC1的中点，平面M0分割该正方体所成的两个空 间几何体01和22， 平面MNQ在正方体上的截面为正六边形MRNSPO, 某球能够被整体放入Ω1或2，该球的表面积最大时，是以B1为顶点， 1 底面为正六边形MRNSPO的正六棱锥的内切球， 正六边形MRNSPQ的边长为N2,面积为6×号×V2×V2×=3V3, 3 正六棱锥B1-MRNSPO,侧棱长V5,每个侧面面积为，棱锥的高为V3, 设该球的半径为R,由体积法可衡×3V×V5-V+6×爱R,解得R-3 3 所以该球的表面积为S=4rR2=(12-6V3)π，D选项正确.故选：ACD, 三.填空题（共3小题） 12.【解答】解：BD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+PC, 第3页（共8页） 整理得PD=6PA-3PB+λPC,由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6-3+入=1，解得入=-2，故答案为：-2 13.【解答】解：复数z1,z2满足z1=lz=2,z1+z2=√3+i,所以z1+z=2,∴.lz1+222=(21+22)·z1+z2=4, .8+z1Z+Z122=4.得z1Z2+z1z2=-4..z1-z到2=8-（z1Z+Z1z2)=12. 又21-z2>0,故z1-z2=2W3.故答案为：2V3. 14.【解答】解：因为在三棱锥S-ABC中，若S4=SC=1,AB=BC=AC=V2, S 二面角S-AC-B为好所以作出示意图如下： 取AC中点D,因为AB=BC=AC=V2,所以△ABC为等边三角形. 、D 因为S4=SC=1且AC=√2，所以△SAC为直角三角形，由对称性可作 E.-H B SE⊥BD于点E. 因为SDLAC,BDLAC,故∠SDB为二面角S-AC-B,∠SDE=星 50=A0-号s8=80=青专 因为△1BC外接圆圆心位于O,△S4C外接圆圆心位于D,且0，D-号9-气所以球心0满足O0, 1平有A8C且0DL平面8aC,故20验解得00=票所以球半径R=、得P+(2- ED 2 因此表面积5=4R2-4名-号，放答案为： 10 3π. 四.解答题（共5小题） 15.【解答】证明：1)号(cosB+1)+号(co4+1)=多， b 1+cOsA 3 .由正弦定理可得，sinA 1+cosB 2 +sinB· 2 inc, .sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC,sinA+sinB+sin (B+A)=sinA+sinB+sinC=3sinC, ,∴.sinA+sinB=2sinC, .由正弦定理可得，tb=2c, .a=2b, .cb c034= 42-2_02+2-子<0，即4为钝角. 2bc 2×b×b 故△ABC为钝角三角形. 第4页（共8页） (2)在△MBC中，“c084=-子 .in-5 ,△ABC的面积为3V15, .1,V15 be. 4 =3V15,e=24,则有2b2=24, .b=4. 16.【解答】解：(1)根据题意，频率分布直方图中，各组频率之和为1， 则有(0.015+0.020++0.025+0.010)×10=1， 解得a=0.030, [50,60)的频率为：0.015×10=0.15， [60,70)的频率为：0.020×10=0.20， [70,80)的频率为：0.030×10=0.30， 因为0.15+0.20=0.35<0.5,0.15+0.20+0.30=0.65>0.5， 则中位数在[70,80)内，设中位数为， 则有0.15+0.20+(-70)×0.03=0.5，解得m=75, 平均数x=(55×0.015+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.01)×10 =8.25+13+22.5+21.25+9.5=74.5: (2)根据题意，因为[80,90)的人数为200×0.025×10=50，[90,100]的人数为200×0.01×10=20， 所以在[80,10]平均成绩为2=84×50198x20=6160=88, 50+20 70 在[80,100]的成绩的方差为： g2-号×6+84-88)1+号×B+(98-881=104216-325≈4657. 7 (3)根据题意，因为[80,90)[90,100]这两组的频率之比为0.25：0.1=5：2， 从[80,90)和[90,100]的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团， 则需要在[80,90)中抽5人，在[90,100]中抽2人， 设从[80,90)学生中抽取的5人为a,b,c,d,e, 从[90,100]学生中抽取的2人为A,B, ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB,AB), 故n(2)=21, A=(ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB), 第5页（共8页） 则n(A)=20, 故P(A)-nA=20 Γn(2-21 17.【解答】解：(1)D为BC中点，S△4Bc=V3, 5D-停 过A作AE⊥BC,垂足为E,如图所示： 8 D E △ADB中，DB=AB=号5D=cD- 2 解得CD=2, :.BD=2.BE= 5 故tanB=A5=」 3 (2)法-：AD=(AB+Ag, AD2c+2bccosA). AD=1,b2+c2=8, 则1=8+2 bcosA), .bccosA=-2①， SAMc=besinA=V5,即besinA=2V3②， 由①②解得tanA=-V3, ∴A- .bc=4,又b2+c2=8, ∴.b=c=2 法二，设∠ADC=, cosa 1+2b2 21号， cos(π-)= ()2+1-c2 21 第6页（共8页） 两式化简整理可得，2+受-B-C=0, b2+c2=8, 则a=23, △ABC面积为V3,D为BC的中点， 则SAaD-之x1×V后×snm-怎解得ma=1,即a-受 故b=c=2. 18.【解答】解：(1)因为侧面PAD是边长为2的正三角形，N为AD的中点， 因此PNLAD,PN=, 因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PNC平面PAD, 因此PN⊥平面ABCD,即PN为棱锥的高， 因为底面ABCD为正方形， 因此四楼锥P-8CD的体积为写×2×2×V后= 3 (2)证明：因为DMC平面ABCD,PN⊥平面ABCD,因此PNLDM, 在正方形ABCD中，易知△DAM与△CDN全等， 因此∠ADM什∠AMD=∠ADM什∠CND=90°，因此DM⊥CN, 又PNn CN-=N,PN,CNc平面PNC,因此DM⊥平面PNC, 又PCc平面PNC,因此DMLPC; (3)设CNO DM=E,连接PE,PM,MN, 因为DM⊥平面PNC, 因此∠MPE为直线PM与平面PNC所成的角， 在Rt△CDN中，CN=V1+4=5,又2CD·DN=CN·DE, 时x1×2=安×V5DE÷DE=2g因tEw-29 5 又在Rt△PMM中，PM=√PN2+MWZ=√5， 风tm4pR-微-普-号 19.【解答】解：(1)证明：，PD⊥底面ABCD,且ADC底面ABCD,则PD⊥AD, 又，AD⊥PC,PCO PD=P,PC,PDc平面PCD, 可得AD⊥平面PCD,由CDC平面PCD,∴，AD⊥CD, .'DB=2,AD=1,AB=V3,AD2+AB2=DB2, 第7页（共8页） P 可得AD⊥AB,则AB∥CD, 且CDC平面PCD,AB￠平面PCD, D AB∥平面PDC. (2)若2CLCn,设∠BDC-2∈0，).则cD-2cos号 过C作CMLBD,垂足为M,过M作MNLPB,垂足为N,连接CN, 0 20 CM=CDsin=2sincos=sine,DM CDcos=2cos2=1+cos0, ,PD⊥底面ABCD,且BDC底面ABCD,则PD⊥BD, 且PD=D,则∠PBD-景可得MN-号BM-号(1-os0), 2 ,PD⊥底面ABCD,且CMC底面ABCD,则PD⊥CM, 且PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,可得CM⊥平面PBD, 由PBC平面PBD,可得CMLPB, 且CMOMN=M,CM,Nc平面CW,可得PB⊥平面CMN, 由CNWc平面CN,可得PB⊥CN, 可知二面角C-PB-D的平面角为2CNM∈(O,受)，则cos∠CNM=号 可得sin/CNM=VT-cos2zCN7=1-(号)2-孚，tanLCNM=aCw √42 COSLCNM =√6， √7 7 则ltan-CNM=C0- sine MN =6, 2(1-cos0) 即sin0=V3(1-cos0), 可得sin0+cos20=3(1-cos0)2+cos20=1, 整理可得2cos20-3cos0+1=0, 即(2cos0-1)(c0s0-1)=0, 解得c0s0-或cos0=1(舍去)， 且c(0.,则0-号号-君 ∴cD=20号=2×c0sg=5. 第8页（共8页） 麓山国际2025级高二9月入学学情检测数学试卷 高二年级 数学试卷 总分: 150分 时量：120分钟 一.选择题(共8小题) 1.已知复数z=i(2+i),则z的虚部为( ) A. 1 B. 2 C. i D. 2i 2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若m⊂α, n⊂β, α∥β,则m∥n B.若m∥n, n⊂α,则m∥α C.若α⊥β, m⊥β, n⊥m,则n⊥α D.若m⊥α, n⊥β, m⊥n,则α⊥β 3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( ) 4.已知向量，满足 在上的投影向量为 则 C. 12 D. 6 5.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合，设集合T={Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为( ) B. π C. 2π D. 3π 6.已知 则下列结论不正确的是( ) A.若 则k=-2 B.若 则m=-6 C.若 则m=1或m=-3 D.若与的夹角为钝角,则k<3且k≠-2 7.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为( ) A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 8.任意一个复数z=a+bi(i为虚数单位)均可以表示为z=r(cosθ+isinθ)的形式，由棣莫弗定理可知：若 则 已知 则 （ ） A. 1 B. 0 二.多选题(共3小题) (多选)9.有一组样本数据x₁，x₂， …，xₙ的平均数为，方差为s²，则下列说法正确的是( ) A. 设a∈R, 则样本数据ax₁, ax₂, …, axn的平均数为 a B. 设a, b∈R, 则样本数据ax₁+b, ax₂+b, …, axn+b的方差为a²s² C. 样本数据的平均数为 (多选)10.在△ABC中,下列命题正确的是 ( ) A. 若A>B, 则 sinA>sinB B. 若sin2A=sin2B, 则△ABC定为等腰三角形 C. 若acosB-bcosA=c,则△ABC定为直角三角形 D.若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角 (多选)11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, 已知M,N,P分别是棱C₁D₁,AA₁,BC的中点，点Q满足=λ,λ∈[0, 1],下列说法正确的是( ) A. 不存在λ使得QA⊥QB₁ B. 若Q,M,N,P 四点共面,则 C. 若 点F 在侧面BB₁C₁C内,且A₁F∥平面APQ,则点F的轨迹长度为 D. 若 由平面 MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体Ω₁和Ω₂，某球能够被整体放入Ω₁或Ω₂，则该球的表面积最大值为( 三.填空题(共3小题) 12.已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若 则λ= . 13. 设复数z₁, z₂满足 则|z₁﹣z₂|= . 14. 在三棱锥S-ABC中,若SA=SC=1, 二面角S-AC-B为,则三棱锥S-ABC外接球的表面积为 . 四.解答题(共5小题) 15. 在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 a=2b. (1) 证明: △ABC为钝角三角形; (2) 若△ABC的面积为3, 求b的值. 16.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50，100]，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)若样本数据在[80，90)的平均成绩 方差 在[90,100]的平均成绩 方差 求在[80, 100]的平均成绩和方差s²;(方差s²精确到0.01). (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从[80，90)和[90，100]的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至多有1人测试成绩位于区间[90,100]”,求事件A 发生的概率. 17. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知△ABC面积为,D为BC的中点, 且AD=1. (1) 若 求tanB; (2) 若 求b, c. 18.如图，四棱锥P-ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别为AB,AD的中点. (1) 求四棱锥P-ABCD的体积; (2) 证明: DM⊥PC; (3)求直线PM与平面 PNC 所成角的正弦值. 19. 如图, 四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DB=2,AD=1, (1) 若AD⊥PC, 证明: AB∥平面PDC; (2) 若BC⊥CD,且二面角C-PB-D的余弦值为 求CD. 学科网（北京）股份有限公司 $