专题01 解直角三角形综合的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题01 解直角三角形综合的三种考法 类型一、解直角三角形计算 1．如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿着直线翻折到矩形所在的平面，得到，延长交线段于点．若，则 ， ． 3．如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 4．如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接，若，则 ． 5．在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 类型二、解非直角三角形 1．如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 3．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 4．【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 5．综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 类型三、构造直角三角形求边长或面积 1．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    2．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 3．如图，在中，，D在上，E在上，，连接，作交于F，且，若，，则的长是 ． 4．如图，在中，，，D为上一点，若满足 ，过D作交延长线于点E，则＝ ． 5．如图，在边长为6的正方形中，点是边上的一点，将沿翻折得到，连接，使，则的长是 ． 6．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    7．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 8．如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ． 9．如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P． (1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E． ①求证：； ②的长为 ．（直接写出答案） (2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01解直角三角形综合的三种考法 类型一、解直角三角形计算 1.如图，将长为4，宽为1的矩形纸片ABCD沿EF折叠，使A点落到A?处，B点落到AD边上的B处， 如果△EB'F是正三角形，则折痕EF的长为() B A.1 B.2V5 C.2 D.45 3 3 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，图形翻折的应用，等边三角形和菱形的性质，通过连接EB,证明四边形 BFBE为菱形，从而得出四边相等，对角相等，再利用LABF=90°可推出∠ABE=30°，已知AB=1,在 Rta ABE利用余弦定义可知BE的长度即为折痕EF的长度. 【详解】解：如图：连接EB, B B F :△EB'F是等边三角形， .EF=EB'=B'F,∠B'EF=∠FEB'=∠EB'F=60°， 又：四边形ABCD为矩形， .AD∥BC,∠ABF=90°， ·.四边形BFB'E为菱形， .BE=BF=B'F=B'E,∠EBF=EB'F=60°， :四边形ABFE沿EF翻折成四边形A'B'FE, :BF B'F, .∠ABE=90°-∠EBF=30°， 1/33 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12W3 在Rt△ABE中， BE=AB cos30°√33， 2 ÷BE=BF=EF=2 3 故选：B 2.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接DE,交对角线AC于点F,将△DEC沿着直线DE翻折 到矩形ABCD所在的平面，得到△DEG,延长EG交线段AD于点H.若tan∠4CB=】,DF=3E,AB=4, 则EF=一，AH= H G B 【答案】 13 11 3 【分析】证明△4DF∽△CEF,可得4D=3CE,再由an∠ACB=),可得和=BC=2AB=8,从而得 到CE-,再由勾股定理可得DE=,从而得到EP-上E- 2；由折叠的性质得： 3 3 ∠DEH=∠DEC,BG=CB=8,DG=CD=4,∠DGE=∠DCE=90°，再结合AD∥BC,可得 3 ∠EDH=∠DEH,从而得到DH=EH,设DH=EH=,则G=X-S在R1△DGH中，利用勾股定理 可求出x的值，即可求解 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=4, .CD=AB=4,AD=BC,AD /BC, .△ADF∽△CEF, AD DF CE EF DF=3EF, :AD =3CE,EF=IDE, tanLACB=2 1 :B1 8C2,即AD=8C=2AB=8, 2/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cE多 .DE =CE2+CD2 8 +42 4V13 3 ER=DE= V13 4 折叠的性顶待：LDEH=LDEC,BG=CE三，DG=CD=4,，∠DGE=∠DCE90 :AD∥BC, .∠EDH=∠DEC, .∠EDH=∠DEH, :DH=EH, 设DH=EH=x,则GH=X-8 在Rt△DGH中，DG2+GH2=DH2, .42+X 8)2 3 =x2, 解得：x= 即DH=I3 ， .AW AD DH =11 故答案为： 13.11 2；3 3 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等角对等边，折 叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键， 3.如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，且BE=AB=1,点F在边BC上，点G在边CD上， 4 ∠GFE=90°. D G (1)若tanLGEF=3,则GE的长为 3/33 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△EFG与△FCG相似，则GE的长为 【答案】 25 4或5 【分析】(1)利用正方形性质推出∠BEF=∠CFG,从而证明BEF ACFG,得到FC-CG-FG EBBFEF 利用 角的正切值求出FC的长，再利用勾股定理求出结果即可； (2)分两种情况①△EFG∽aGCF;②aEFG∽△FCG,利用相似三角形性质结合正方形性质，利用勾股定 理求出最后结果 【详解】解：(1)：8E=4B=1, AB=4. :四边形ABCD是正方形， ∠B=∠C=90°， LBEF+∠BFE=90°. :∠GFE=90°， ∴.∠CFG+∠BFE=90°， .∠BEF=∠CFG, △BEFn△CFG, EB BF EF FC CG FG 在Rt△EFG中，tan∠GEF= G=3, EF 1 BF 1 FC CG3' FC=3, BF=BC-FC=4-3=1, CG=3,EF2=12+12=2, ∴.FG2=32+32=18, ∴.GE2=EF2+FG2=2+18=20, .GE=√20=2V5 (2)有两种情况： ①EFGAGCF, 即LEGF=LGFC, 4/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .EG∥BC, 则四边形BCGE为矩形， :GE =BC=4; ②AEFGAFCG, DG E / B F 则EF.FG FC CG 由(1)，得EF-BF FG CG' 即EF、FG BF CG EFEF FC BF :FC=BF=2. 由C1),得EB=BF FC CG' :12 2 CG CG=4, 即点G和点D重合. :AE=AB-BE=4-1=3, GE=V32+42=5 综上，GE的长为4或5. 故答案为：(1)25；(2)4或5. 【点晴】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，解直角三角形的相关计算， 勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键， 4.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=I0,AB=8,将AB沿AE翻折，使点B落在B处，AE为折痕；再 将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C处，EF为折痕，连接AC',若CF=3,则 tan∠B'AC'= 5/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 7B1 【答案】/0.25 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键。 连接AF,设CE=x,用x表示AE、EF,再证明∠AEF=90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方 程便可求得x,再进一步求出B'C',便可求得结果 【详解】连接AF,设CE=x,则C'E=CE=x,BE=B'E=10-x, D C B -·C :四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=8,AD=BC=10,∠B=∠C=∠D=90°， .AE2=AB2+BE2=82+(10-x)=164-20x+x2, EF2=CE2+CF2=x2+32=x2+9, 由折叠知，∠AEB=∠AEB',LCEF=LCEF, :∠AEB+∠AEB'+∠CEF+∠C'EF=I80°， .∠AEF=∠AEB'+∠C'EF=90°， .AF2=AE2+EF2=164-20x+x2+x2+9=2x2-20x+173, :AF2=AD2+DF2=102+(8-32=125, .2x2-20x+173=125, 解得x=4或x=6, 当x=6时，EC=EC'=6,BE=B'E=86=2,EC>B'E,不合题意，应舍去， .CE=C'E=4, .B'C'=B'E-C'E=(10-4)-4=2, 6/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠B'=∠B=90°，AB'=AB=8, ÷tanZB'HC'=B'C'_21 AB'8 4 1 故答案为： 4 5.在矩形ABCD中， =k,点E是AD上一点，M是BC上一点，将四边形CDEM沿ME折叠，使点D BC 的对应点F恰好落在AB边上，连接DF. E 图1 图2 图3 (1)【特殊呈现】当k=1时.求证：EM=DF; (2)【类比探究】当k≠1时，（1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明 (用含k的式子表示)： B)【拓展应用】当k=三时，沿矩形ABCD对角线剪开后得到4BC,点M是BC上一点，连接AM,过点 d B作BE上AM于E,BE的延长线交AC于F,若ABC的周长为24，CF=,求CM的长. 【答案】(1)见解析 日a)中的猫论不成立，瓷行理由吧得新 9 【分析】(1)作CG∥EM,交AD于G,交DF于Q,由平行四边形的判定方法得四边形CGEM是平行四 边形，由ASA可判定△DAF≌aCDG,由全等三角形的性质得EM=CG=DF; (2)作CG∥EM,交AD于G,交DF于Q,由相似三角形的判定方法得△DAF∽aCDG，由相似三角形的 性质得D5.4ADBC1 CG CD ABk (3)作F0LBC于Q,可求得AB=6,BC=8,4C=10,由三角函数得sinC=4B-, cosC= BC 4 AC 5 O,C9,BQ,由正切函数求得an∠CBP,可证得an∠BAM=an∠CBF=。 【详解】(1)证明：如图1， 7/33 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 作CG∥EM,交AD于G,交DF于Q, E G D 点D和点F关于EM对称， MC 图1 .EM⊥DF, CG⊥DF, ∴.∠CQD=90°， ∠DCG+∠FDC=90°， :四边形ABCD是正方形， :LBAD=∠ADC=90°，AD=CD,AD∥BC, :∠ADF+∠FDC=90°，四边形CGEM是平行四边形， :∠ADF=∠DCG,CG=EM, .△DAF≌△CDG(ASA), :.DF=CG, :EM DF; 2)解：1中的结论不成立，C-, EMk' 理由如下： 作CG∥EM,交AD于G,交DF于Q, D MC 图2 :四边形ABCD是矩形， CD=AB,AD=BC,∠A=∠ADC=90°， 由(1)可知：∠ADF=∠CDG,CG=EM, 8/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △DAF∽△CDG, DF AD BC 1 CG CD ABK (3)解：作FQ⊥BC于O, E B OM C 图3 AB 3 .可设AB=3k,BC=4K,则AC=VAB2+BC2=5k, 3k+4k+5k=24, k=2, .AB=6,BC=8,AC=10, ..sinc3 cosC=BC=4 AC 5 AC 5 FO=CF.sinc=163_16 355 CQ=CF·cosC= 16、464 3515 B0=BC-C0=8-64_56 1515 16 .tan∠CBF= BO 15 :BE⊥AM, .∠BEM=90°， ∠CBF+∠AMB=90°， :∠ABC=90°， ∴∠BAM+∠AMB=90°， ∠CBF=∠BAM, 9/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 气tan∠BAM=tan∠CBF=), 636 .BM=AB.tan∠BAM=6x 77 3620 ∴CM=BC-BM=8- 77 【点晴】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 解直角三角形等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，能熟练利用解直角三角形的知识进行求解是解题的关键 类型二、解非直角三角形 1.如图，在菱形ABCD中，LB=60°，E,F分别是边AB,BC的中点，连接EF,DF,若EF=2,则DF的长 为() A.2N2 B.25 C.25 D.27 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，连接 AF,AC,证明ABC为等边三角形，可得AC=2EF=4,AF⊥BC,然后在Rt△ABF中，求出AF,在 Rt△AFD中，利用勾股定理解答即可， 【详解】解：如图，连接AF,AC, A D :四边形ABCD为菱形， B ∴.AD∥BC,AB=AD=BC, :∠B=60°， :ABC为等边三角形 E,F分别是边AB,BC的中点，EF=2, 10/33