专题04 二次函数中特殊三角形存在性的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题04 二次函数中特殊三角形存在性的三种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 1．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为， (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解；熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入， 得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解： 令， 得， ∴，， ∴， 令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解： ∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时， 如图所示有，， ②当时， 过点C作，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时， 由四边形为矩形知， ， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，面积与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为 (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； （2）解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； （3）解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数解析式、二次函数中求三角形面积、等腰三角形性质、两点之间距离求法等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的求解方法是解决问题的关键． 4．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 类型二、直角三角形存在性问题 1．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 2．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】解方程，可得：，，所以点的坐标是，点的坐标是； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式是，设点的坐标为，可得：点的坐标是，所以，根据三角形面积公式可得：，根据二次函数的性质可以求出面积的最大值； 当为直角三角形时，应分两种情况讨论，一种情况是当时，另一种情况是当时． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 当时，， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，， 则点的坐标是， ， ， 面积最大值是； （3）解：如下图所示，当时， 则有轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴是， 点的坐标是； 如下图所示，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：(与点重合，舍去)，， 当时，， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 3．如图，已知抛物线与y轴正半轴交于点A，顶点为B，连接，其中 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题． 由为等腰直角三角形推导出，，进而得到抛物线解析式； 设，首先求得、、；当和时，分别由勾股定理解得p的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线， ，， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 由（1）知，， ， ； ； 分两种情况讨论： ①当为直角三角形，且时，则， ， 设，则方程可化为： ， 又， ， 代入可得： ， ， ， ， 将代入得： ， ，即， 解得或， 当时，点P与点B重合，不符合题意，舍去；当时，， ， ②当为直角三角形，且时，则， 即： 同样设，可得， 代入可得：， ， ， ， 将代入得： ， ，即， 解得或， 当时，点P与点A重合，不符合题意，舍去；当时，， 综上，点P的坐标为或． 4．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 5．如果过抛物线与的交点作轴的垂线与该抛物线有另一个交点，并且这两点与该抛物线的顶点构成正三角形，那么我们称这个抛物线为正三角拋物线． (1)抛物线______正三角抛物线；（填“是”或“不是”） (2)如图，已知二次函数的图像是正三角抛物线，它与轴交于两点（点在点的左侧），点在轴上，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)不是 (2)或 【分析】（）由函数解析式可得抛物线的顶点的坐标为，与轴的交点坐标为原点，抛物线与轴的另一个交点的坐标为，过点作轴于，可得，即可判断求解； （）设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴交抛物线于点，由抛物线解析式可得，，，根据正三角形的性质可得，可得，即得，进而得到，，设，利用勾股定理可得，解得，即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的几何应用等，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 把代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为原点， 把代入，得， 解得，， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 过点作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴不是正三角形， ∴抛物线不是正三角抛物线， 故答案为：不是； （2）解：设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴交抛物线于点， ∵二次函数， ∴，，， ∵是正三角形， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 即， 整理得，， ∴， ∴点的坐标为或． 6．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)①四边形的面积的最大值为，；②点坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及相似三角形的判定与性质，与面积的综合等知识点，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，利用二次函数的性质求解面积的最大值，而，即可求解四边形的面积的最大值； ②分三种情况讨论，构造一线三等角的相似求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当，得， 解得：，， 点， ∴ 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ∵， ∴当取得最大值时，四边形的面积取得最大值， 此时四边形的面积的最大值为：； 设点， 当时，如图，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可得：， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴整理得：， 解得：， ∴或， 综上：点坐标为或或或． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 1．已知二次函数的图象（如图），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)已知轴上存在一点．二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角．请求出点的坐标． 【答案】(1)（或） (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一次函数相交问题，二次函数与几何问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由顶点式、顶点坐标及图象经过点即可求解； （2）先求出点、，再求出直线与轴的交点坐标，即可求解； （3）设，过作轴于点，则，分点在轴上方和下方两种情况进行讨论． 【详解】（1）根据题意可得， ， 将代入得， ， 解得，， （或）； （2）令， 整理得，， 解得，， 把分别代入得， ，， ； 如图1，设直线与轴相交于点，则， ． ， ； （3）如图2， 设，过作轴于点，则． 第一种情况，当点在轴上方时， ， 解得，或，即图2中的前两图， 此时，点坐标为或． 第二种情况，当点在轴下方时， ， 解得，，即图2中的最后一图， 此时，点坐标为． 故满足题意的点坐标可以为或或． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 4．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)存在，点R的坐标为或或 【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可得解； （2）连接，求出，作轴于，设，则，，结合计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，求出，分两种情况：当是等腰直角的直角边时；当是等腰直角的斜边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 由（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 作轴于， 设，则，， ∴， 解得：或（与点重合，不符合题意）或， 当时，，即， 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q， ∴设，则点的纵坐标为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， 当是等腰直角的直角边时，则， 解得：， 此时当为直角边时，的坐标为， 当为直角边时，的坐标为； 当是等腰直角的斜边时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上，点R的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】(1)，顶点； (2)； (3)或时，以为直角边的是等腰直角三角形． 【分析】求出直线与轴，轴的交点的坐标分别为点，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出的解析式，根据点是与抛物线的对称轴的交点求出点的坐标，可得的长度，再设点，则点，根据平行四边形的性质可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 当以为直角边的是等腰直角三角形时，需要分两种情况讨论：情况一、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点；情况二、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点时． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得：， 解得：， 点，， 抛物线过点，点， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， ， 抛物线为：， 时，， 顶点； （2）解：如下图所示， 设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 轴交于点， 则点的横坐标为， 把代入， 可得：， ， ， 设点，则点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：(与点重合，舍去)或， ； （3）解：设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，以为直角边的是等腰直角三角形 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质知识． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数中特殊三角形存在性的三种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 1．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 类型二、直角三角形存在性问题 1．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 2．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 3．如图，已知抛物线与y轴正半轴交于点A，顶点为B，连接，其中 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 4．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 5．如果过抛物线与的交点作轴的垂线与该抛物线有另一个交点，并且这两点与该抛物线的顶点构成正三角形，那么我们称这个抛物线为正三角拋物线． (1)抛物线______正三角抛物线；（填“是”或“不是”） (2)如图，已知二次函数的图像是正三角抛物线，它与轴交于两点（点在点的左侧），点在轴上，当时，求出点的坐标． 6．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 1．已知二次函数的图象（如图），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； (3)已知轴上存在一点．二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角．请求出点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 4．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $