专题09 反比例函数中特殊三角形存在性的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题09 反比例函数中特殊三角形存在性的 三种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC（）放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B (1)求反比例函数的关系式； (2)直接写出当时的解集； (3)若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P坐标为或或或 【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，正确应用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． （1）过点B作轴于点F．根据题意得，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出点B的坐标为，即可求解； （2）结合点B的坐标及图象可知在的情况下，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方即可求解； （3）分三种情况求解，①当时，②当时，则，③当时，设；结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点B作轴于点F． ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴点B的坐标为． 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得， 解得 ∴反比例函数解析式为． （2）解：结合点B的坐标及图象可知在的情况下，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方． 所以当时，的解集为：． （3）解：分三种情况求解，如下图所示． ①当时 ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ②当时，则 ∴ ∴ ③当时，设．∴ ∴ ∵ ∴ ，解得． ∴ 综上所述，点P坐标为或或或． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点M为一次函数图象上的动点（不与F，C重合），问：是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为4或， (2)存在点M使是等腰三角形．这样的点有3个，它的坐标分别是； 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与坐标轴的交点坐标，设，利用勾股定理求出等腰三角形的三边的平方，然后根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得，， ∴m的值为4或； 反比例函数解析式为：； （2）解：存在点M，使是等腰三角形， 理由：∵轴，轴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得， 解得，， ∴直线的解析式是：， ∵一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F， 当时；当时； ∴， ∵点M在一次函数上，设， ∴， ， ， 要使是等腰三角形，则应分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标为； ②当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标为； ③当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标分别与点重合，与点M不与F，C重合相矛盾，故应舍去． 综合所述，存在点M使是等腰三角形．这样的点有3个，它的坐标分别是：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用等腰三角形的性质得出点的坐标，解一元二次方程，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质及分类讨论的数学思想． 3．如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，根据图象即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：把点代入中得：， ∴， 联立得：， 解得：，， ∴点， 由图象可知，当时，或； （3）解：∵点， ∴， 当时，如图： ∴点的坐标为或， 当时，作轴于点，则，如图： ∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时，作轴于点，则，如图： ∵，， ∴点是的中点， ∵点， ∴点，即， 设点，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴点， 综上，点的坐标为或或或． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接和，求的面积； (4)在轴上找一点，使的值最大，求满足条件的点的坐标及的最大值． (5)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)点的坐标， (5)或或或 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）设直线与轴交于点C，则，再根据列式求解即可； （4）作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，则点即为所求．此时．求出直线的关系式为，即可求出满足条件的点的坐标，此时，的最大值为； （5）求出．设点M的坐标为，则，，当，则，当时，则， 当时，则，三种情况分别解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入，得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， 将、代入，得：，     解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得，不等式的解集为或； （3）解；如图，设直线与轴交于点C， 令，则，解得： ∴， ∴ ； （4）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点， 则点即为所求．此时． 设直线的关系式为． ∴， 解得：， ∴直线的关系式为， 令，则， ∴满足条件的点的坐标， 此时，的最大值为； （5）解：， ． 设点M的坐标为，则，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为或； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，等腰三角形的等腰，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值； （3）记直线与轴交点为点，先求出，根据即可求解； （4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标． 【详解】（1）解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得： ， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：如图，由图象得：时的取值范围是：或； （3）解：记直线与轴交点为点， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴； （4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况： 当时，如图， ， ， 或； 当时，如图，    设， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ； 当时，如图，过作轴于，    设，则，， ， ， ， ； 综上，的坐标为或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)写出当一次函数值不大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积； (4)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：； (2)或 (3)的面积为9； (4)P点坐标为标为：或或或． 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． （1）先求得点，利用待定系数法求得反比例函数的表达式和点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数表达式； （2）结合点，B点的坐标为，且运用数形结合思想进行作答即可． （3）的面积，据此计算即可求解； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设 则 ∵过点A作轴于点D，， ∴， 即 解得（负值已舍去） ∴ ∴点， 则， 故反比例函数的表达式为：， ∵B点的坐标为 ∴ 故B点的坐标为， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得， 故一次函数的表达式为：； （2）解：由（1）得点，B点的坐标为， ∵一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴结合函数图象得，当一次函数值不大于反比例函数值时，或 （3）解：设一次函数交y轴于点为M， 令，则， 故， ∵点，， ∴的面积； （4）解：设点，而点A、O的坐标分别为：、， ，，， 当时，，解得：或0（舍去0）； 当时，同理可得：； 当时，同理可得：； 综上，P点坐标为：或或或． 类型二、直角三角形存在性问题 1．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． （1）先把代入，求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当点P在y轴上， 时，④，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． （3）当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 3．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)若反比例函数图像经过P点、Q点，求a的值； (2)若是以为底的等腰直角三角形，求a的值； (3)若垂直平分，求a的值； (4)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了反比例函数，坐标与图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用． （1）先用t表示出P，Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论； （2）证明，推出，，，即可解答； （3）先根据垂直平分得出，求出t的值，再由即可得出a的值； （4）分与两种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动， ∴， ∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴， 解得； （2）解：如图，是等腰直角三角形，且，， 根据题意得，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得； （4）解：存在，的值为， 如图， ∵Q为的中点， ∴， 当时，， 即， 整理得，， ∵， ∴此方程无解，即此种情况不存在； 当时，，即， 整理得，，解得， ∵， ∴，即，解得； 综上，存在a使为直角三角形，的值为． 4．如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）根据平移后点的对应点坐标为，代入反比例函数解析式即可求出答案； （3）求出，，是，的直角三角形，则点P在直线上，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，反比例函数的图象经过点． ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为， ∵平移后点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， （3）解：存在点，使得是，的直角三角形， ∵四边形是矩形，顶点，， ∴，， ∵是，的直角三角形， ∴点P在直线上， ∵， ∴， ∴点P的坐标为或 6．如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，也考查了利用轴对称求最短路径，勾股定理等知识； （1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k和的值； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解； （3）利用坐标两点距离公式，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 把点代入，得， 解得； ∴， 把代入，得， ∴； 把点、代入，得， 解得， ∴； 综上所述：，，． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． （3）解：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形．理由如下， 设x轴上存在点M，其坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 综上所述：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 1．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或或 【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可； （3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ，， 直线的解析式为， 当，， ， ， ， ， ，解得：， ； （2）设的坐标为， 四边形为矩形， 为直角三角形， 当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， 设点， ， ， ， ， 设过点的反比例函数为， ，解得：， 过点的反比例函数为； （3）使是等腰直角三角形， 设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， ，解得：， ； 在下方，如下图，过点作交轴于，延长线交于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， 此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 综上所述点坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 2．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 3．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 4．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；；3 (2)当时，；当时，； (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点， ，， ，，反比例函数解析式是， 把，分别代入得， ， 解得：， 故答案为：，，； （2）由（1）知，一次函数解析式为， 由题意得，，， ，， 当时，； 当时，； （3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下： 由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴， ∴，， ∴，，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，同①的方法得，； 即满足条件的点Q的坐标为或． 5．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点或 ． 【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限，即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 6．如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 【答案】(1)y， (2) (3)或或 【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过、两点， ∴， 解得：， ∴、，反比例函数的解析式是y， ∵一次函数（）的图象过点、， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意得，，， ∴，， 当时，点M在点N的上方，则； 当时，点M在点N的下方，则； 综上，d与t之间的函数关系式为 （3）解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当，时， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 过点作轴于点G， 同理可证， ∴，， ∴∴； ③当，时， 过点作轴于点K，作轴于点L， 同理可得，，∴，， ∴设（），∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 反比例函数中特殊三角形存在性的 三种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC（）放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B (1)求反比例函数的关系式； (2)直接写出当时的解集； (3)若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点M为一次函数图象上的动点（不与F，C重合），问：是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接和，求的面积； (4)在轴上找一点，使的值最大，求满足条件的点的坐标及的最大值． (5)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)写出当一次函数值不大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积； (4)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 类型二、直角三角形存在性问题 1．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 3．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)若反比例函数图像经过P点、Q点，求a的值； (2)若是以为底的等腰直角三角形，求a的值； (3)若垂直平分，求a的值； (4)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 4．如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 1．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 3．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $