专题05 二次函数中特殊四边形存在性的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题05 二次函数中特殊四边形存在性的四种考法 类型一、平行四边形存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别交于点、、，直线经过点，与轴交点为，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点在对称轴上，且的值最小．求点的坐标． (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 类型二、菱形存在性问题 1．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，连接，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，过点作于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点，连接，过作交于点，点为对称轴左侧抛物线上一点，点为平面上一点且，当四边形为菱形，求点的坐标． 3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 4．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、矩形存在性问题 1．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 2．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 4．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 类型四、正方形存在性问题 1．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 3．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 4．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数中特殊四边形存在性的四种考法 类型一、平行四边形存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 2．如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)当时，的面积有最大值 (3)存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先将点B和点C代入抛物线求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标； （2）过点E作y轴的平行线交直线于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段的长度，最后表示出的面积，从而利用二次函数的性质求得的面积最大值； （3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标． 【详解】（1）解：由已知，、代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴ （3）解：如图（3）， ∵，， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时，， 解得：， ； 综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别交于点、、，直线经过点，与轴交点为，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点在对称轴上，且的值最小．求点的坐标． (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先判断出点是直线与对称轴的交点，即可得出结论； （3）设出点坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ， ， 是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点，关于抛物线对称轴对称，且的值最小． 直线与对称轴的交点即为点， 当时，， ； （3）解：设， ，，， 当为对角线时，与互相平分， ，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ， 即：满足条件的点的坐标为或或． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求抛物线解析式； （2）过点P作轴于点D，交AC于点设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t的值，进而求得P点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M的坐标进而求得Q点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于，两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）解：二次函数与y轴交于点C， 当时，得：， ， 设直线AC的表达式为，将点A的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 如图1，过点P作轴于点D，交于点 设，则， ，，， ，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或理由如下： 设， ， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：(不合题意，舍去或， ，； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， ，或， ； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：(不合题意，舍去或， ， 综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或 5．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键 类型二、菱形存在性问题 1．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，连接，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，过点作于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点，连接，过作交于点，点为对称轴左侧抛物线上一点，点为平面上一点且，当四边形为菱形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）首先求出A、B坐标，根据，可得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图2中，作于T，交于R．设．首先证明是等腰三角形，可得，由此即可解决问题； （3）四边形是菱形，点H在对称轴上，推出D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设交于Q，作于K．由，设，，则，推出，，在中，，推出，由，推出，可得，由，可得，由此列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得到， 解得或3， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）如图2中，作于T，交于R．设． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得，，， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）如图3中， ∵四边形是菱形，点H在对称轴上， ∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上， 设交于Q，作于K． ∵，设，则， ∴，，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵抛物线的顶点，， ∴， ∴ ， 解得或（不合题意舍去）， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常压轴题． 3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，由得， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式为， ， ， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ∵，， 当时，S取最大值，最大值为， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴①当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ，即， ， ， ； ②当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或； ③当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ，，或 综上：或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点及分类讨论思想的运用． 4．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 5．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或 类型三、矩形存在性问题 1．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)，，，． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答； （3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H， 设点E的坐标为， ∵，矩形， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ①时，整理得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或． ②时，整理得：， 解得：或（不合题意、舍弃）， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设，， ①如图：当为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：或4， ∴或 ∴，； ②如图：当为矩形的边时， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：，， ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为，，，． 2．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴，∴或， 当时，，∴， 当时，，∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 4．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 5．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 类型四、正方形存在性问题 1．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的交点式求出函数表达式即可； （2）①用m和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，根据，列出方程，求出m，即可求出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴抛物线的解析式可写为：； （2）解：①把代入得：， ∴直线与y轴交点为， 设直线与y轴交于点N，则， 把代入得：， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 令， 解得， ∴， ∵，且轴， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∵， ∴，且， ∴ 解得：，； ②存在，点P的坐标为或； ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，且轴， ∴，． 分以下两种情况讨论： （i）当时，如图1，点F在的左侧， ∴ ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （ii）当时，如图2，点F在的右边， 同理得， 解得，（舍去）， 同理得； 故存在点P，使四边形为正方形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第①小问通过面积关系列出关于m的方程是解题的关键，第②小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题． 2．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 3．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 4．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为； (3)Q点为、、、 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及动点问题，待定系数法求解析式，正方形的性质； （1）抛物线解析式中有两个待定的系数a、b，又已知抛物线上的两个点，，将这两个点的坐标代入解析式中即可求出； （2）利用，先求出直线的解析式为，由轴得出点D、点E的横坐标相同，可设出两点的坐标，，即可表示出面积，从而利用二次函数求出最大值； （3）以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形则等腰直角三角形，分类讨论，在①中利用抛物线和直线解析式，设出P点的坐标，再利用正方形的性质求出P点坐标，进而求出Q点坐标；②③④可根据①的结论进行画图推导得出． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 将，代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， 可令，则 ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∵轴， ∴点D、点E的横坐标相同， 设点D、点E在的横坐标为m， ∵点D在抛物线上方， ∴， ∵点D在抛物线上方，点E在直线上， ∴由抛物线解析式和直线解析式可知点，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴. （3）解：∵点P在抛物线上，抛物线解析式为， ∴设P的坐标为， ∵以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形， ∴等腰直角三角形， ①当B为直角顶点，即，，F在B的左侧，如图1，交x轴于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，轴， ∴， 解得或， ∵时P、B重合， ∴舍去， ∴P点为， ∵轴，且点F在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ②当B为直角顶点，即，，F在B的右侧，如图2，交于E，作轴， 同理点P为， ∵， ∴轴， ∴F点纵坐标为1，且在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ③当F为直角顶点，即，如图3，此时为图1中P、Q两点交换位置所得， ∴Q点为， ④当P为直角顶点，即，如图4， 此时P点坐标为，B点坐标为，F点坐标为， ∴，且， ∵四边形为正方形， ∴， ∴Q点为， 综上所述：Q点为、、、 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $