专题10 反比例函数中特殊四边形存在性的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题10 反比例函数中特殊四边形存在性的 四种考法 类型一、平行四边形存在性问题 1．直线交x轴于A，交y轴于B，的垂直平分线交y轴于C． (1)求点C的坐标． (2)点P为射线上任意一点，，求的面积S与t的函数关系式．（并直接写出自变量t的取值范围） (3)在（2）的条件下，当时，过点P作轴交直线于点E，以A、P、E、Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，求点Q的坐标，并判断点Q是否在经过点P的双曲线上． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或，且点在经过点P的双曲线上 【分析】（1）首先确定点坐标，易得，设，则，结合垂直平分线的性质可得，在中，利用勾股定理解得，即可确定点C的坐标； （2）首先求得，的长度，然后分，点在轴左侧和点在轴右侧三种情况，分别求解即可； （3）首先求得，过点作轴于点，分别证明，，利用相似三角形的性质解得，，进而确定；设过点的双曲线的解析式为，利用待定系数法可知该双曲线的解析式为；确定，进而可知，然后分平行四边形以对角线和以对角线两种情况，分别确定点坐标，并判断是否在该双曲线上即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，可得，即， 令，可得，解得，即， ∴， 设，则， ∵的垂直平分线交y轴于C， ∴， 在中，可有， 即，解得， ∴，即； （2）由（1）可知，， ∴，， 当，即时，可有得，即点C、P重合，此时点不能构成三角形， ∴， 当点在轴左侧时，此时，即，如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当点在轴右侧时，此时，即，如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 综上所述，的面积S与t的函数关系式为； （3）由（1）可知，， ∴， 如下图，当时，过点作轴于点， ∵的垂直平分线交y轴于C， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设过点的双曲线的解析式为， 则有，解得， ∴该双曲线的解析式为； ∵轴交直线于点E， ∴， ∴，即， ∴， 当以为对角线时，如图， 此时，且， ∵， ∴， ∵， ∴点不在该双曲线上； 当以对角线时，如图， 此时， 即， 解得， ∴， ∵， ∴点在该双曲线上． 综上所述，点Q的坐标为或，且点在经过点P的双曲线上． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、垂直平分线的性质、一次函数的应用、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，综合性强，综合运用相关知识是解题关键． 2．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点代入一次函数，求出，求出，即可解答． （2）联立和，则，求出，再求出，设，根据轴，得出，结合，列方程求出，得出点F纵坐标，再代入即可求解． （3）根据题意得出，，设，则，根据以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，得出．分为当点M在轴上方时，当点M在轴下方时，列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 则， ∴， 将代入，则，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则， 解得；或， 将代入得， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 将代入，得，解得， ∴． （3）解：∵轴， ， ∴轴， ∵，，， ∴，， 设， 则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴． 当点M在轴上方时，如图， 则， 解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图， 则， 解得：或（舍去）； 或， 解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】该题考查了一次函数和反比例函数综合，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，解析式求解，解一元二次方程，解分式方程，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想和数形结合思想解答． 3．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 4．【问题背景】 如题图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）是上的点，且，连接并延长交反比例函数的图象于点．将矩形沿射线方向平移一定距离后，得到矩形．点的对应点为点，此时点的对应点的坐标为，求的值． 【深入探究】 （3）如题图，是的中点，连接．为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）已知矩形的顶点，，因为矩形对边相等，所以点的坐标可求，再将点坐标代入反比例函数中即可求出的值，进而得到反比例函数解析式． （2）先根据求出点的坐标，再求出直线的解析式，联立直线与反比例函数解析式求出点的坐标，从而得到平移的规律，最后根据平移规律求出点的坐标，进而求出的值． （3）分三种情况讨论，当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质求出点的坐标，再根据点在反比例函数图象上求出点的坐标． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ， 矩形沿射线方向平移一定距离后得到矩形， 平移的规律是向右平移个单位，向上平移个单位， ， ， ，， ； 是的中点，， 设，， 情况一：当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 情况二：当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 情况三：当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、矩形的性质、一次函数的解析式、平移的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握反比例函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点，直线与轴交于点，点是轴负半轴上的一点，，的面积为24． (1)的面积为__________； (2)若点是线段的中点，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)18；(2)；(3)存在，点坐标为或或 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可； （2）设，，，由的面积为18，求得，根据题意求得，，解得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，，，，利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，再根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，的面积为24， ∴的面积为， 故答案为：18； （2）解：设，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵的面积为18， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点，点， ∴，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵点的坐标为，， ∴，即， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点为轴上的一点，点为直线上的一点， ∴设，， 当和是对角线时， ∴，， 解得， ∴点坐标为； 当和是对角线时， ∴，， 解得， ∴点坐标为； 当和是对角线时， ∴，， 解得， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或或 ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，平面直角坐标系内三角形面积问题以及平行四边形的存在性问题，解题的关键是掌握数形结合思想，第三问注意分情况讨论． 类型二、菱形存在性问题 1．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，四边形为菱形时，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大． （1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解； （2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可； （3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入，则， 解得， ∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴ 设直线， 则， ∴， ∴直线， 则当时， ∴， ∴， 联立 整理得：， ， 解得：， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ∵四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ∴当时，则 解得：（舍）； 当时， 解得：或 ∴或； 当时，， 该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 2．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以为一边时和当以为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得： ， 反比例函数的关系式为； （2）解：∵点的横坐标为， ， ， 由图象可知，不等式的解集为； （3）解：当以为一边时，如图所示： 把，分别代入得： ，解得：， ∴， 把代入得：，∴， 且直线与y轴交点坐标为：， 设点， 则， ， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴轴， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴， ∴轴， ∴； 当以为一条对角线时，如图， 设点， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 菱形的对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：， ∴点的坐标为：； 综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 4．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、 (1)______；______； (2)求四边形的面积； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)，12 (2)20 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，则可求出点，点，再根据列式求解即可 （3）根据平移的性质，先设出直线的解析式，表示出，，F的坐标，由两点距离计算公式可得，，的长；再分，为边，、为边和、为边三种情况，根据菱形的四条边相等分别列方程，求解即可． 本题为反比例函数与一次函数的综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， 将点代入中，得， 故答案为：，12； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 点，点， ∴， 轴， ∴； （3）解；设直线的解析式为， 把代入中，得，解得， 直线的解析式：， 由平移的性质可得， 则可设直线的表达式为，直线的解析式为， 设，则点， 将点坐标代入得， 解得， 直线的表达式为：， 在中，当时，， 点， ，，， 当，为边时，， 解得或舍去， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，，解得舍或，点， 综上，点的坐标为或或 5．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数解析式等知识点，掌握交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后运用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）如图：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，可得，则设点B，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标；然后分是平行四边形的对角线三种情况，并通过邻边验证即可解答． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴， 将代入 得：，解得， ∴反比例函数表达式为 ． （2）解：设点，那么点， 由可得：， ∴，解得 （舍去）， ∴． （3）解：如图2：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，则， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点B，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ∴，解得 （舍去）． ∴，． 如图：当是平行四边形的对角线时， 设， ∵，，，四边形是平行四边形． ∴，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是菱形，符合题意； 当是平行四边形的对角线时，同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意； 当是平行四边形的对角线时，． ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意． 综上，存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 类型三、矩形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于点A，B，点A的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)关于x的不等式的解集为________； (3)将直线AB平移，与函数的图像交于C，D两点，且点C在第一象限，点D在第三象限．若四边形是矩形，请直接写出矩形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)10 【分析】本题考查待定系数法，图像交点与不等式的解集，矩形的性质，勾股定理等． （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）设直线与y轴的交点为E，则，延长，交y轴于点F，设，根据勾股定理在中构造方程，求出，待定系数法求出直线的解析式为，进而可求得点，从而根据两点间距离公式求出，，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图像上，且点A的横坐标为2， 当时，． ∴， 将点代入，得， ∴一次函数的表达式为 （2）解：解方程组得，或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． 故答案为：或． （3）解：设直线与y轴的交点为E， 令，则， ∴， 延长，交y轴于点F，设 ∵，，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16． (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标． 【答案】(1)，； (2)点，的坐标分别为：，或，或，或，． 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据的面积为16求出，进一步利用待定系数法即可求出答案； （2）分四种情况画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ， 解得： 把代入，得， ． 正比例函数解析式为： 在反比例函数的图象上， ． 反比例函数解析式为：． （2）设， 由（1）可知，，， 由矩形的性质和中点坐标公式得到， ①如图，当为边，点在轴正半轴时，四边形为矩形， 则 解得， ∴， ②如图，当为边，四边形为矩形，点在轴负半轴时， 则 解得， ∴， ③如图，当为对角线时，则， ∴ ∴ ∴， ∴，或， 综上可知，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，点，的坐标分别为：，或，或，或， 3．如图，直线：的图象与反比例函数： 的图象交于点C，点A在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，的图象经过线段的中点M． (1)求c的值与k的值； (2)求平行四边形OABC的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，使得四边形是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）把代入，即可求出c的值，将点代入即可求出点k的值； （2）过点C作轴交x轴于点D，过点M作轴交x轴于点E，通过证明得出，进而求出点M的坐标，求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）过点A作于点A，交y轴于点F，则点Q在上，通过证明，得出点F的坐标，再求出直线的函数表达式为，根据矩形的性质可得所在直线的函数表达式为，将点M的坐标代入，求出m的值，最后联立所在直线的函数表达式和反比例函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得； ∴， 将代入，得． 综上：，； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M是中点， ∴ ， 如图，过点C作轴交x轴于点D，过点M作轴交x轴于点E， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由（1）可得，则反比例函数表达式为：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点A作于点A，交y轴于点F，则点Q在上， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵四边形为矩形， ∴， 设所在直线的函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴所在直线的函数表达式为：， 联立反比例函数和直线的表达式得： ， 解得：，， ∴存在，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确画出辅助线，构造全等三角形和相似三角形求解． 4．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 5．函数与的图象交于点和两点． (1)求和的值； (2)不等式的解集为__________； (3)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点．若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据点和两点都在函数图象上，建立方程求解即可得到的值，进而可求出的值； （2）由（1）知，，根据图象即可解答； （3）根据关于原点对称的性质可得，分当以为边，四边形为矩形，当以为对角线，四边形为矩形时，两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点和两点都在函数图象上， ∴， 解得， ∴，， 代入到，得， 解得； （2）解：由（1）知，， 由函数图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵点、点关于原点对称，， ∴， 设， 如图，当以为边，四边形为矩形时， 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（与点A重合，舍去）， ∴； 如图，当以为对角线，四边形为矩形时， 则， ∴， ∴， ∴ ∴或， 解得或（与点A重合，舍去）， ∵， ∴， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 类型四、正方形存在性问题 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 2．如图1，已知点，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C和D两点    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置． (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明． 【答案】(1)8 (2)点P的坐标为：或 (3)不变， 【分析】（1）由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）分是边和对角线两种情况，利用数形结合的方法，即可求解； （3）连，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：，解得：， 则点A、B的坐标分别为：， 设点D的坐标为： ， 由点E是的中点，由中点坐标公式得：， 则点D的坐标为：， 由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B， 则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点 将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则点的坐标分别为：； 则； （2）∵由（1）知， ∴反比例函数的解析式为， ∵点双曲线上，点在y轴上， ∴设， ①当为边时： 如图1所示：若为平行四边形，    ∵，则， 解得， 此时； 如图2所示，若为平行四边形，    ∵，则， 解得， 此时； ②如图3所示，当为对角线时：，且；    ∵， ∴， 解得， ∴； 故点P的坐标为：或； （3）如图4，连接，    ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， 四边形中，，而 所以，， 因为四边形内角和为， 所以． ∴， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②4 (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； ②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）①∵，， 根据函数图象可得当时，或；     ②由得点为， 即的面积为4； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 4．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标； (3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过，从而解决问题； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线的解析式为， 将与代入可得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时， 设直线l的解析式为， ∴方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得或， ∵直线l与y轴交于正半轴， ∴舍去， 解方程，得， ∴， ∴； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵C与B关于原点对称， ∴，， ∴，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点Q在直线上， ∴点Q的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与x轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 综上，Q点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 反比例函数中特殊四边形存在性的 四种考法 类型一、平行四边形存在性问题 1．直线交x轴于A，交y轴于B，的垂直平分线交y轴于C． (1)求点C的坐标． (2)点P为射线上任意一点，，求的面积S与t的函数关系式．（并直接写出自变量t的取值范围） (3)在（2）的条件下，当时，过点P作轴交直线于点E，以A、P、E、Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，求点Q的坐标，并判断点Q是否在经过点P的双曲线上． 2．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 3．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．【问题背景】 如题图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）是上的点，且，连接并延长交反比例函数的图象于点．将矩形沿射线方向平移一定距离后，得到矩形．点的对应点为点，此时点的对应点的坐标为，求的值． 【深入探究】 （3）如题图，是的中点，连接．为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点，直线与轴交于点，点是轴负半轴上的一点，，的面积为24． (1)的面积为__________； (2)若点是线段的中点，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、菱形存在性问题 1．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、 (1)______；______； (2)求四边形的面积； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 5．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 类型三、矩形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于点A，B，点A的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)关于x的不等式的解集为________； (3)将直线AB平移，与函数的图像交于C，D两点，且点C在第一象限，点D在第三象限．若四边形是矩形，请直接写出矩形的面积． 2．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16． (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标． 3．如图，直线：的图象与反比例函数： 的图象交于点C，点A在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，的图象经过线段的中点M． (1)求c的值与k的值； (2)求平行四边形OABC的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，使得四边形是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由． 4．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．函数与的图象交于点和两点． (1)求和的值； (2)不等式的解集为__________； (3)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点．若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、正方形存在性问题 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 2．如图1，已知点，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C和D两点    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置． (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 4．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标； (3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $