以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 等腰三角形存在性问题 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 考点一 等腰三角形存在性问题 例1.(2025广东湛江·模拟预测)如图，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=-x2-2x+3与 x轴交于A,B两点，与y轴交于点C. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ (I)如图①，连接BC,在y轴上存在一点D,使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点E,使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由； (③)如图③，连接BC,在直线AC上是否存在点F,使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标； 若不存在，请说明理由； (④)如图④，若抛物线的顶点为H,连接AH,在x轴上是否存在一点K,使。AHK是等腰三角形？若存在，求出点 K的坐标；若不存在，请说明理由； (⑤)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)D0, ) ②存在点E,使AEAC是以AC为底的等腰三角形，E(-+下，I-E)或(-1-，+匝) 2 2 2 2 (3)存在点F,使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的点F(-2,)或(5，√5+3)或(-√5,3-√5) (4)存在点K,使△AHK是等腰三角形，K点坐标为1，O或(2√5-3，O或(-2√5-3，O或(2，O (⑤)存在点G,使△ACG是等腰三角形，G点坐标为(1，)或(-1，√14)或1，-√14)或(-1,3+√7)或(-1， 3-17) 【详解】(1)解：令x=0,则y=3, C(0,3), 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 令y=0,则x=-3, A(-3,0), 令y=0,则-x2-2x+3=0, 解得x=-3或x=1, B1,0, 设D0,t), ∴DC=BD, 3-=+2, 州1一手 00,: (2)解：存在点E,使△EAC是以AC为底的等腰三角形，理由如下： A(-3,0,C(0,3), 4C的中直为（号，. 0C=0A, “aAOC是等腰直角三角形， 过AC的中点与AC垂直的直线为y=-x, y=-x 联立方程组 y=-x2-2x+3' -1+V13 -1-13 x=- X= 解得 2 或 2 1-13 1+V13 y= 2 P= 2 E(-1+,1-3)或(-1-，1+E): 2 2 2 2 (3)解：存在点F,使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，理由如下： 设F(t,t+3), 当BC=BF时， (t-1)2+(t+3)2=10, 解得t=0(舍去)或t=-2, F(-2,1): 当BC=CF时，2+t2=10, 2 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 ∴1=t√5， F(√5，√5+3)或(-5,3-5)， 即满足条件的点F(-2,)或（√5，√5+3）或（√5,3-5）； (4)解：存在点K,使。AHK是等腰三角形，理由如下： y=-x2-2x+3=-(x+102+4, 顶点H(-1,), 设K(m,O, ①当AH=HK时，4+16=(m+1)2+16, 解得m=1或m=-3(舍)， K,O); ②当AH=AK时，4+16=(m+3)2, 解得m=2√5-3或m=-2√5-3， ∴K(25-3,0或(-25-3,0； ③当HK=AK时，(m+1)2+16=(m+3)2, 解得m=2, K(2,O); 综上所述：K点坐标为1,0)或(2√5-3,0)或(-2√5-3,0)或(2,0)； (5)解：存在点G,使△ACG是等腰三角形，理由如下： 抛物线的对称轴为直线x=-1, 设G(-1,), ①当AG=CG时，4+t2=1+(1-3)2, 解得t=1, G(-1,1): ②当AG=AC时，4+t2=18, 解得t=±14， G(-1,14)或(-1，-14)； ③当AC=CG时，1+(t-3)2=18, 解得1=3+V17或1=3-√17， ∴G(-1,3+17)或(-1,3-√17)： 综上所述：G点坐标为(-1,1)或(-1,14)或(-1，-√14)或(-1,3+√17)或(-1,3-√7). 例2.(24-25九年级下·广东潮州月考)综合与探究： 3 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条 轨迹可以用抛物线来描述，如图，抛物线的顶点M的坐标为亿，-2)与y轴交于点C0,-与x轴交于小B两点 (A在B的左边) A M (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点P、Q,点P在线段OB上（不与点B重合），点Q在线段BM上且 ∠P2-45”,设尿点到E的距离OP:,数西到地物线顶点的距离0=号，求与m的函数大系式。并 写出自变量m的取值范围； (3)数学建模 ①在(2)的条件下是否存在点P,使△PQB是以PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理 由； ②在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐 标。 【答案】0 3 ②=n-a+05m<3引 1 3)①2，-1)；②1，-2-2W2)或1,0)或1，-2+2√2或1,2). 【详解】(1)抛物线的顶点为M(1,-2可设y=a(x-1)2-2, 将点c0-引代入，4a-2=多 2, q= 2 y-x 3 29 (2)解：令y=0,得-x 3 =0, 2 解得：x=-1,x2=3 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 A-1,0,B(3,0) 如图，过点M作x轴的垂线，垂足为H, 2 HP B M 则∠MHB=90°， M(1,-2), ÷MH=2,OH=1, :.BH =0B-OH=2, ∴△MHB是等腰直角三角形， ∴∠MB0=45°，MB=22, ∴∠MPQ=45°， .∠MBO=∠MPQ, '∠M=∠M, .△MPQ~aMBP, MP MO MB MP' ∴MP2=MB.MQ, P(m,0),MB=V1-3)2+(-2-0)2=2W2, ∴Mp2=(1-m)2+(-2-0)2=m2-2m+5, m-2m+5=22.2 当， y=}m2-m+(0≤m<3): 2 (3)解：①存在点Q,理由如下： ~△PQB是以PB为底的等腰三角形， :.OP=OB ∴.∠QPB=∠MBP=45 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 又∠MPQ=45° 此时MP⊥x轴， P为1,0)， ∴△MBP是等腰直角三角形， ∴PB=MP=2. '∠QPB=∠MBP=45 ∠PQB=90° ∴PQ⊥MB, 点Q是MB的中点，则+3=2,2+0=-1， 2 2 Q的坐标为2，-； ②如图， F市 M(1,-2),B(3,0), “BM=V1-3)2+(-2-02=22, 当MF=BM=2√2时，F(山，-2-22)，FL,-2+2N2: 当MF=BF时，F2(1,0): 当BF=BM=2√2时，F,(1,2); 综上，点F的坐标为：山，-2-22)或1,0)或山，-2+2V2或1,2). 例3.(24-25九年级上海南月考)已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A, B(1,0)两点，A点在B点左侧. 6 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 B x (1)求抛物线的解析式： (②)在抛物线上是否存在一点D,使S。MD=2SBC,若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点P是y轴上一个动点，求使△ACP为等腰三角形的点P的坐标. 【答10+号-3 9 4 -3±57 (2)D 2,6 (ePQ或P02暖P0-8成P0 【详解】(1)解：把C(0,-3),B(1,0)代入y=ax2+3ax+ca>0)可得 0=a+3a+c -3=c 3 a=- 解得 4, c=-3 抛物线的解析式为：y=2+x-3: 4 4 2)解：令1=0可得2X+9x-3=0, 9 4 4 解得x1=1,x2=-4 A-4,0), 3 9 设Dmm+m-3 1 3 AB.yp=ABt m-3, 4 4 5m-25·S方4B.0C-46x3 2 /3 9 m2+2m-3=2×3, 4 4 m+9m-3=60或2m2+9m-3=-6②， 3 9 4 4 解方程O得m=-3±57，方程②无解 2 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 -3±V57 (3)解：点P是y轴上一个动点， 设P(0,n, A-4,0),C0,-3, AC2=32+42=25,AP2=42+n2,Cp2=(n+3)2, △ACP为等腰三角形， ∴当AC=AP时，AC2=AP2,则25=42+n2,解得n,=3,n2=-3,此时P(0,3)或(0，-3)（舍去）； 当AC=CP时，AC2=CP2,则25=(n+3),解得m=2,n2=-8,此时P(0,2)或(0，-8； 当PC=P时，pC=,则a+3=4+,解得=名此时P0引 踪上所述，存在P使△4CP为等腰三角形，P0,3或P0,2或P0,-8或P0,6 例4.(25-26九年级上·重庆武隆·月考)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B(-3,0),C(0,3)两点，与x轴的另一 个交点为A. (1)求抛物线的解析式： (②)在抛物线对称轴上找一点E,使得AE+CE的值最小，求点E的坐标： (③)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使△BPC为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程 写出来. 【答案】(1)y=-x2-2x+3 (2)E(-1,2 (3(0,0)或(3,0)或32-3,0或-32-3,0) -9-3b+c=0 【详解】(1)解：将点B(-3,0),C(0,3)代入抛物线解析式得 c=3 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 「b=-2 解得 c=3 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)解：抛物线解析式为y=-x2-2x+3=-(x+12+4, 抛物线的对称轴为直线x=-1, 点A、B关于对称轴对称， :.BE =AE, .AE +CE BE +CE, ∴当B、C、E三点共线时，BE+CE最小，即此时AE+CE最小， ∴BC与对称轴的交点即为点E,如下图， B 设直线BC解析式为y=mx+n, [-3m+n=0 n=3, m=1 解得 (n=3’ 直线BC的解析式为y=x+3; 当x=-1时，y=x+3=2, …E(-12: (3)解：B-3,0),C0,3, ∴0B=0C=3, 六BC=V32+32=3√2， 当B为顶点时，则PB=BC=3√2， ∴点P的坐标为3√2-3,0或-3√2-3,0； 当C为顶点时，则PC=BC, 0 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 ∴点P与点B关于y轴对称， 点P的坐标为3,0： 当BC为底边时，则PC=PB, 设点P的坐标为(m,0), -3-m2=m2+32, 解得m=0 “点P的坐标为0,0)； 综上，点P的坐标为(0,0)或3,0)或3V2-3,0或-3V2-3,0 变式1.(25-26九年级上·陕西商洛月考)如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0),B(2,0) 两点，与y轴交于点C. AO B x (I)求抛物线的解析式及点C的坐标； (②)若F为抛物线上一点，连接BC,是否存在以BC为底的等腰BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)y=-2x2+2x+4;C0,4 (2)存在，点F的坐标为 3+√8927+V89 3-V8927-V89 8 816 【详解】(1)解：已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0),B(2,0)两点， 「a-b+4=0 4a+2b+4=0’ a=-2 解得： (b=2’ 抛物线解析式为：y=-2x2+2x+4, 令x=0,解得：y=4, 10以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 等腰三角形存在性问题 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 考点一 等腰三角形存在性问题 例1．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25九年级下·广东潮州·月考）综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3)数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 例3．（24-25九年级上·海南·月考）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 例4．（25-26九年级上·重庆武隆·月考）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，写出所有使为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来． 变式1．（25-26九年级上·陕西商洛·月考）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知抛物线和直线都经过点，为坐标原点，为抛物线上的动点，直线与轴，轴分别交于点，． (1)求，的值； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 变式4．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)①求线段长度的最大值； ②连接，当为等腰三角形时，求的值． 考点二 直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 例2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 例3．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． (1)直接写出坐标：点__________，点______________； (2)当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； (3)若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； (4)点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·四川南充·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．点P为抛物线上一点，横坐标为m，且． (1)求此抛物线的解析式． (2)当点P位于x轴上方时，面积的最大值为________． (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①当时，求m的值． ②当为直角三角形时，直接写出m的值． 变式3．（25-26九年级上·四川巴中·月考）如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点为抛物线上的一个动点，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求此时点的坐标； (3)在抛物线上有另一个动点，点在第四象限，当点到的距离最大时，求出此时点的坐标及这个最大距离． 考点三 等腰直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2025·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与相似时，求出点P的坐标； (3)D为的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接，使的值最小． (4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·广东潮州·月考）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、．设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接、，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为轴上方抛物线上的一个的动点，点为轴上的动点，是否存在这样的点和点，使得以为腰的等腰直角？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $