精品解析：2025年青海省西宁市第二十一中学中考数学第二次模拟试卷

2025年青海省西宁市第二十一中中考数学第二次模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 7 2 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》征求意见稿提出“财政性教育经费支出占国内生产总值比例不低于”，2010年我国全年国内生产总值为397983亿元，397983亿元的，也就是约人民币15900亿元．将15900用科学记数法表示应为 A. B. C. D. 3. 已知、的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距可能取的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 如图，经过怎样的平移得到（ ） A. 把向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 把向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 把向右平移个单位，再向上平移个单位 D 把向左平移个单位，再向上平移个单位 5. 某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一节电池如图2所示，则它的三视图是 A. B. C. D. 7. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3 C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3 8. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）. A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 9. 反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则的边长为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 11. 计算________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 13. 如表1给出了直线l1上部分点(x，y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x，y)的坐标值．那么直线l1和l2直线交点坐标为____． 表1： x 0 2 4 y 3 1 表2： x 0 2 y 14. 关于x的方程的解为_______． 15. 反比例函数图象的对称轴有____条． 16. 如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝ ． 17. 如图，在的方格纸中（共有个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，将线段绕点O逆时针旋转得到线段（顶点均在格点上），则阴影部分面积等于____． 18. 如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为______． 19. 如图10，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为___． 20. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ____ ． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 21. 计算：． 四、解答题：本题共7小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 给出三个整式，和． （1）当，时，求的值； （2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 23. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 24. 国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不少于1小时”．西宁市某中学为了了解学生体育活动的情况，随机抽查了520名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”．以下是根据所得的数据制成的统计图的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： （1）随机抽查的学生中每天在校锻炼时间超过1小时的人数是 ； （2）请将图2补充完整； （3）2011年我市初中应届毕业生约为11000人，请你估计今年全市初中应届毕业生中每天锻炼时间超过1小时的学生约有多少人？ 25. 阅读对话，解答问题： （1）试用树状图或列表法写出满足关于x的方程的所有等可能结果； （2）在（1）中方程有两个实数根的概率是 ． 26. （11·西宁）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC与E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长； （3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． 27. 国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择： ①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？ 28. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青海省西宁市第二十一中中考数学第二次模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，相反数等知识点，首先求出的值，再求出3的相反数，即可求出答案． 【详解】解：， ∵3的相反数是， ∴的相反数是， 故选：B． 2. 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》征求意见稿提出“财政性教育经费支出占国内生产总值比例不低于”，2010年我国全年国内生产总值为397983亿元，397983亿元的，也就是约人民币15900亿元．将15900用科学记数法表示应为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数． 详解】解：． 故选：． 3. 已知、的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距可能取的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法．本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则．表示圆心距，，分别表示两圆的半径）． 【详解】解：两圆半径差为2，半径和为6， 两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和， ． 符合条件的数只有选项． 故选：． 4. 如图，经过怎样的平移得到（ ） A. 把向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 把向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 把向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 把向左平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移变换的性质以及网格图形，准确识别图形是解题的关键．根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 【详解】解：由图可知，向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得到， 故选：A． 5. 某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 6. 一节电池如图2所示，则它三视图是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是画三视图，从正面看是下面大矩形上面是小矩形；从左面看下面大矩形上面是小矩形；从上面看是一个圆环，找出符合要求的图形即可． 【详解】解：根据三视图的观察方法，分别得出三视图的形状，从正面看是下面大矩形上面是小矩形；从左面看下面大矩形上面是小矩形；从上面看是一个圆环． 如图， 故选：D． 7. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3 C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，由此得到顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，而抛物线还经过（0，0），由此即可确定抛物线的解析式． 【详解】解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米， ∴顶点坐标为（，3）， 设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3， 而抛物线还经过（0，0）， ∴0=a（0-）2+3， ∴a=-12， ∴抛物线的解析式为y=-12（x-）2+3． 故选C． 8. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）. A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：B． 9. 反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断． 【详解】解：反比例函数在第一象限， ， 当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1， ， 故选：B． 10. 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则的边长为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的判定和性质，证明，可得，用等边三角形的边长表示出的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的边长即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 11. 计算________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，正确计算是解题的关键． 将代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 解：根据二次根式有意义，得：1-2x≥0， 解得：x≤． 故答案是：x≤． 13. 如表1给出了直线l1上部分点(x，y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x，y)的坐标值．那么直线l1和l2直线交点坐标为____． 表1： x 0 2 4 y 3 1 表2： x 0 2 y 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交的问题：如一个点的坐标同时满足两个直线的解析式，则这个点是这两直线的交点．通过观察直线上和上部分点的坐标值，会发现当时，的值都是，即两直线都经过点，即交点． 【详解】解：通过观察表可知，直线和直线交点坐标为． 故答案为： 14. 关于x的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 观察可得最简公分母是x，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘x，得， 解得， 检验：把代入， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 15. 反比例函数的图象的对称轴有____条． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，掌握其性质是关键． 任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条． 【详解】解：沿直线或折叠，直线两旁的部分都能够完全重合， 所以对称轴有2条． 故答案为：2． 16. 如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝ ． 【答案】50°##50度 【解析】 【详解】解：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°， ∵∠2和∠4是两平行线间的内错角， ∴∠2=∠4=50°． 故答案为50°． 17. 如图，在的方格纸中（共有个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，将线段绕点O逆时针旋转得到线段（顶点均在格点上），则阴影部分面积等于____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 根据勾股定理求得，再由旋转的性质得出，根据扇形面积公式（是扇形的圆心角的度数）得出答案即可． 【详解】解：如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分子式规律探索，通过已知条件找到变化规律是解题关键．根据题目中分子结构式的变化，易得第个化合物有个，的个数为，即可得到所求的分子式． 【详解】解：根据题意，第1个分子中有1个C，个H， 第2个分子中有2个C，个H， 第3个分子中有3个C，个H， … ∴第个化合物有个，的个数为， ∴第4个化合物有4个C，个H， ∴第4个化合物的分子式为． 故答案为：． 19. 如图10，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为___． 【答案】5cm 【解析】 【分析】首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA长． 详解】解：连接OA， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AE=AC=×6=3（cm），AD=AB=×8=4（cm），∠OEA=∠ODA=90°， ∵AB、AC是互相垂直的两条弦， ∴∠A=90°， ∴四边形OEAD是矩形， ∴OD=AE=3cm， 在Rt△OAD中，OA= 故答案为5cm． 20. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用一次函数的图象解不等式； 由于直线经过和两点，那么把A、B两点的坐标代入，用待定系数法求出k、b的值，然后解不等式组，即可求出解集． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为： 解不等式组 得：． 故答案为． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 21. 计算：． 【答案】20 【解析】 【分析】考查了实数的运算，实数运算是中考的基本运算，其中主要涉及了负指数，零指数的运算以及绝对值的代数意义，即），绝对值的代数意义为：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0，熟练掌握法则及意义是解本题的关键． 第一项利用负指数的运算法则计算，第二项根据零指数的运算法则计算，第三项先根据乘方的运算法则计算后再根据绝对值的代数意义化简，并把所得的结果相加即可求出值． 【详解】原式= ． 四、解答题：本题共7小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 给出三个整式，和． （1）当，时，求的值； （2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 【答案】（1）49 （2）若选，，则；若选，，则；若选，，则． 【解析】 【分析】此题考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）将利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值； （2）对所选的整式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：当，时， ； 【小问2详解】 解：若选，，则； 若选，，则； 若选，，则． 23. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 【答案】（1）证明见解析；（2）矩形 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可； （2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可． 【详解】解：（1）∵矩形ABCD， ∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD， ∴OA=OD， ∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是菱形． （2）∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∴平行四边形AODE是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键． 24. 国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不少于1小时”．西宁市某中学为了了解学生体育活动的情况，随机抽查了520名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”．以下是根据所得的数据制成的统计图的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： （1）随机抽查的学生中每天在校锻炼时间超过1小时的人数是 ； （2）请将图2补充完整； （3）2011年我市初中应届毕业生约为11000人，请你估计今年全市初中应届毕业生中每天锻炼时间超过1小时的学生约有多少人？ 【答案】（1）390 （2）图见解析 （3）8250 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合运用以及用样本估计总体，解题的关键是从统计图中获取有效信息，掌握扇形统计图中圆心角与数量比例的关系． （1）通过扇形统计图中“超过1小时”对应的圆心角，计算其占总人数的比例，进而求出对应人数； （2）先算出“未超过1小时”的总人数，再结合图2中已知的“不喜欢”“其它”人数，求出“没时间”的人数，补充条形统计图； （3）利用样本中“超过1小时”的比例，估计全市总体中相应的人数． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：390． 【小问2详解】 每天锻炼未超过1小时的人数为：（人）， 则每天锻炼未超过1小时的人数中没时间锻炼的人数有： （人）， 补全图形如图所示： ； 【小问3详解】 样本中“超过1小时”的人数占抽查总人数的此例为， 全市初中应届毕业生约11000人， 因此估计超过1小时学生人数为人． 答：今年全市初中应届毕业生中每天锻炼时间超过1小时的学生约有8250人． 25. 阅读对话，解答问题： （1）试用树状图或列表法写出满足关于x的方程的所有等可能结果； （2）在（1）中方程有两个实数根的概率是 ． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）分2步实验列举出所有情况即可； （2）看△≥0的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】（1）如图所示： 所有可能结果为：−1，1；−1，2； 1，−1； 1，2； 2，1； 2，−1； ∴①x2＋2x＋1＝0；②x2＋2x−1＝0；③x2＋x＋2＝0；④x2＋x−1＝0；⑤x2−x＋2＝0，⑥x2−x＋1＝0； （2）对于①△=4-4=0；对于②△=4+4=8；对于③△=1-8=-7；对于④△=1+4=5；对于⑤△=1-8=-7；对于⑥△=1-4=-3； 共6种情况，其中①②④3个方程有解，所以概率为． 故答案为：． 【点睛】本题结合一元二次方程的解的问题考查概率问题；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．一元二次方程有解，根的判别式为非负数． 26. （11·西宁）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC与E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长； （3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）直线FA与⊙O相切，理由见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB． （2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长． （3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可． （1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C（等边对等角）， ∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等）， ∴∠ABC=∠D（等量代换）， 又∵∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， （2）解：∵△ABE∽△ADB， ∴， ∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12， ∴AB=． （3）解：直线FA与⊙O相切，理由如下： 连接OA，∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∴=4 BF=BO=， ∵AB=， ∴BF=BO=AB， ∴∠OAF=90°， ∴OA⊥AF， ∵AO是圆的半径， ∴直线FA与⊙O相切． 27. 国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择： ①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）每次下调10%；（2）第一种方案更优惠． 【解析】 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可． （2）求出打折后的售价，再求出不打折减去送物业管理费的钱，再进行比较，据此解答． 【详解】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得 5000×（1-x）2=4050 解得x=10%或x=1.9（舍去） 答：平均每次下调10%． （2）9.8折=98%， 方案一的总费用为：100×4050×98%=396900（元） 方案二的总费用为：100×4050-100×1.5×12×2=401400（元）， 396900＜401400，所以第一种方案更优惠． 答：第一种方案更优惠． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键. 28. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得． （2）求出点B的坐标，由点B、 C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式． （3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝ 90°，∠ACO＋∠OAC＝90° ， ∴∠BCD＝∠OAC． ∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝ AC． 在△BDC和△COA中，∠ BDC＝∠COA＝90°，∠BCD ＝∠OAC，BC＝AC， ∴△BDC≌△COA（AAS）． （2）∵C点坐标为 (－ 1，0)，∴BD＝CO ＝1． ∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)． 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx ＋b， ∴ ，解得 ．∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－． （3）存在 ． ∵y＝x2 ＋x－2＝ (x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝-． 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1 ，使CP1⊥AC， ∵BC⊥AC，∴点P1 为直线BC与对轴称直线x＝－ 的交点． 由题意可得： ， 解得， ．∴P1（－，－ ）． 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2 ，使AP2⊥AC， 则过点A作A P2∥BC ，交对轴称直线x＝－于点P2 ， ∵CD＝OA，∴A（ 0，2）． 设直线AP2的解析式为：y＝－ x＋m，把A（0 ，2）代入得m＝2． ∴直线AP2的解析式为：y＝－ x＋2． 由题意可得： ，解得， ． ∴P2（－，）． ∴P点坐标分别为P1（－ ，－）、P2（－ ，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $