精品解析：陕西省汉中市某校2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

汉中市龙岗中学2028届高一上学期第二次月考数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在区间上单调递增，则的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 或-3 4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 若函数在上为减函数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 13 D. 14 7. 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知为全集，、均为其子集，若，则 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“，”是真命题，则的取值范围为 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是___________． 13. 已知，则的取值范围为___________． 14. 已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 17. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数的定义域为，，当时，. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并给出证明； （3）解不等式. 19. 已知函数． （1）当时，方程的解的个数； （2）对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方，求的取值范围； （3）在上单调递增，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市龙岗中学2028届高一上学期第二次月考数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：. 故选：B. 2. 集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据补集和交集的概念计算. 【详解】， 所以或， 所以. 故选：C. 3. 幂函数在区间上单调递增，则的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 或-3 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可. 【详解】由于为幂函数，则， 解得或3， 又因为在区间上单调递增，则， 综上， 故选：B. 4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 5. 若函数在上为减函数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，解三个不等式得解． 【详解】由于该函数是减函数，所以函数的每一段都必须是减函数，所以，且； 同时左边函数的图象的最小值大于等于右边函数的最大值，所以， 解以上三个不等式得． 故选：B. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法，结合基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，，所以，， 又，令， 则，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可. 【详解】如图所示， ， 设，， 则，，是方程，即的两个正根，所以， 令，解得或， 所以，由题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知为全集，、均为其子集，若，则 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“，”是真命题，则的取值范围为 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据补集的性质判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B，参变分离，即可判断C，利用韦达定理即可判断D. 【详解】对于A，已知为全集，、均为其子集，因为，根据补集的性质可知，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故的取值范围为，故C正确； 对于D，关于的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，直接根据一元二次不等式恒成立的条件进行求解判断即可； 对于B，根据抽象函数定义域的要求进行求解判断即可； 对于C，首先根据的范围求解的取值范围，进而求解函数值域即可判断； 对于D，根据方程组法求解解析式即可判断. 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为，故A正确； 对于B，已知函数的定义域为，则， 即得，因此函数的定义域为，故B正确； 对于C，已知，得，故， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，由，则， 由方程组，解得：，故D错误. 故选：AB 11. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD. 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图象，如图： 由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图象可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式组求解即得． 【详解】要使得函数有意义，必须满足， 解得：或，则的定义域是. 所以答案为：. 13. 已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法求出，再利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则，解得， 由可得，， 由可得， 则两式相加可得， 故答案为：. 14. 已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性列出方程组，求得，再由题设条件推得，设，可知其在区间上为减函数，最后根据含参数的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围. 【详解】因是奇函数，是偶函数，则有， 对于①，用替换，整理得②， 联立①和②，解得：， 由时，等价于， 则，记，则， 即在区间上为减函数， 显然，的对称轴为直线. ①当时，，显然不符合题意； ②当时，需使，解得. 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求得函数的解析式后，根据题设不等式，等价转化后，需构造函数，利用其单调性数形结合即可求得参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|－2≤x≤7}；(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由a＝2，得到A＝{x|1≤x≤7}，然后利用集合的基本运算求解. （2）由A∩B＝A，得到A⊆B．然后分A＝∅，A≠∅两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}， 则A∪B＝{x|－2≤x≤7}，∁RA＝{x|x<1或x>7}，(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}． （2）∵A∩B＝A， ∴A⊆B． 若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4； 若A≠∅，由A⊆B，得， 解得－1≤a≤ 综上，a的取值范围是或 ． 【点睛】本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 【答案】（1） （2）单调增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）先画出时的图像，再根据奇函数图像关于原点对称画出时的图像即可； （2）由图像得出单调区间，根据单调性来求最值即可； （3）根据奇函数的性质求出函数的解析式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 由于是奇函数，所以， ，， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 【小问3详解】 当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. 17. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 18. 已知函数的定义域为，，当时，. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并给出证明； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）单调递减， 当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，利用函数的单调性建立不等式组，解之即得. 【小问1详解】 在中，令，则，得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）当时，方程的解的个数； （2）对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方，求的取值范围； （3）在上单调递增，求的范围． 【答案】（1）当或时，方程有两个解；当或时，方程一个解；当时，方程有三个解；（2） （3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）当a=3时，结合函数图像可得到m取不同范围时对应的方程的根的个数；（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，由此能求出所有的实数a；（3）将函数式转化为分段函数,利用二次函数单调性求得其单调区间，与区间比较，从而得到a的不等式，求解其范围 试题解析：（1）当a=3时，， 当或时，方程有两个解； 当或时，方程一个解； 当时，方程有三个解. （2） 由题意知恒成立，即在x∈[1,2]上恒成立，在x∈[1,2]上恒成立 在x∈[1,2]上恒成立，∴ （3） ①且，即，f（x）在R单调递增，满足题意； ②且，即，f（x）在（−∞，a）和（，+∞）单调递增， ∵f（x）在（-4，2）上单调递增，∴a≥2或-4，∴； ③且，即且，舍去； ④且，即，f（x）在（−∞，）和（a，+∞）上单调递增， ∵f（x）在（-4，2）上单调递增，∴或a≤-4，∴a>2 综上： 考点：函数恒成立问题；二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $