4.4一次函数的应用讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

一次函数的应用 4.4一次函数的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 正比例函数的图像画法 2 课前复习 正比例函数的图像 正比例函数的图像与性质 一次函数的图像与画法 一次函数的图像与性质 一次函数的平移转换 一次函数的对称变换 新课探索 简单应用 6 新课探索 分段函数 题型练习 分配方案 8 题型练习 最大利润 行程问题 梯度计价问题 与坐标轴交点求方程的解 利用图像法解一元一次方程 易错点 15 易错点 总结 16 总结 课前复习 正比例函数的图像画法 作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 根据两点确定一条直线，我们可以选两个点来画正比例函数图象. 正比例函数的图像 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 正比例函数的图像与性质 当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大. 当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小. 一次函数的图像画法 作一次函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 根据两点确定一条直线，我们可以选两个点来画一次函数图象.画法：一般选直线与两坐标轴的两交点，即(0,b)和((一,0) 一次函数的图像与性质 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线. (1) 当k>0时，y的值随着x的增大而增大； (2) 当k<0时，y的值随着x的增大而减小； (2)图象经过点(0,b). 当b>0时，直线与y轴的交点在正半轴； 当b<0时，直线与y轴的交点在负半轴； 一次函数的图像与性质 一次函数的平移转换 (1)k相等，直线平行： 直线y=kx+b(b≠0)平行于直线y=kx; (2)当b>0时，把直线y=kx向上平移b个单位长度，可得直线y=kx+b; (3)当b<0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位长度，可得直线y=kx+b. ①直线y=kx+b(k≠0)平移时，系数k的值不变； ②直线y=kx+b(k≠0)向上或下平移m(m>0)个单位时，解析式变为y=kx+b+m或y=kx+b-m; ③直线y=kx+b(k≠0)向左或右平移m(m>0)个单位时，解析式变为y=k(x+m)+b或y=k(x-m)+b; 一次函数的对称变换 直线y=kx+b(k≠0,且k,b为常数) ①关于x轴对称，x不变，y变成-y: -y=kx+b,即y=-kx—b关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数 ②关于y轴对称，y不变，x变成—x: y=k(-x)+b,即y=-kx+b关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数 ③关于原点对称，x和y都变成相反数：-y=k(-x)+b,即y=kx—b.关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数 新课探索 1、 简单应用 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图像去获得检验公式，这种方法的基本步骤是： 1、通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. 2、建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像. 3、观察图像特征，判定函数的类型. 【练习】已知y是的函数，下表是y与x的几组对应值. 小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整： 填空题根据画出的函数图象，写出： ①x=-1对应的函数值y约为____. ②该函数的一条性质：____. 答案：1.5 当x<2时，y随xc的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大；当x=2时，y有最小值为-2.(写出一条即可) 分析：①根据图可知x=-1对应的函数值y约为1.5.②根据图象可知：当x<2时，y随c的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大；当x=2时，y有最小值为-2. (写出一条即可) 2、 分段函数 分段函数的定义：在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或者函数图像时，要根据自变量的取值范围分段描述.这种函数通常称为分段函数. 根据图像读取信息时，要把握住以下三个方面： 1横、纵坐标的意义，以及横、纵轴分别表示的量. 2关于某个具体点，要求横、纵轴作垂线来求得该点的坐标. 3在实际问题中，要注意图像与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义. 【练习】自驾游是当今社会一种重要的旅游方式，五一放假期间小明一家人自驾去灵山游玩，下图描述了小明爸爸驾驶的汽车在一段时间内路程s(千米)与时间t(小时)的函数关系，下列说法中正确的是( ). A汽车在0-1小时的速度是60千米/时 B汽车在2-3小时的速度比0-0.5小时的速度快 C汽车从0.5小时到1.5小时的速度是80千米/时 D汽车行驶的平均速度为60千米/时 答案：C、 分析：汽车在0-0.5小时内的速度是3.5=60千米/时，从0.5小时到1.5小时的速度是1.5-3.5=80千米/时，在2-3小时的速度是153-210=40千米/时，平均速度是150=50千米/时，可知正确答案为C. 题型练习 1、 分配方案 1．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】(1)， (2)当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 (3)当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【详解】（1）解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． （2）解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． （3）解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 2、 最大利润 2．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价元，销售量为千克． (1)求出与的函数关系； (2)当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 【分析】本题主要考查了一次函数实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，列出函数关系式，即可求解； （2）设商场每天获得的利润为w元，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：设商场每天获得的利润为w元，根据题意得： ∴当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 ． 3、 行程问题 3．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地 千米； (2)甲的速度为_________km/时，乙的速度为_________km/时； (3)当t为 时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是 时； (5)当时，甲离A地的距离是 千米． 【答案】(1)10 (2)2,4 (3)5 (4)7 (5)14 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质的实际应用． 体现了一次函数在实际行程问题中的应用，考查对一次函数图像的解读以及相关公式的运用能力． （1）通过观察图像上的点的坐标，可以获取距离和时间的信息，进而计算距离． （2）利用速度 = 路程÷时间的公式来计算速度． （3）通过图像的交点来确定两人距离相等的时间． （4）根据已知的速度和路程即可求出时间的值． （5）根据已知的速度和时间即可求出路程的值． 【详解】（1）解：当时，从图象可知，此时， 即甲离地千米． （2）解：从图象可知，当时，，则甲的速度． 从图象可知，当时，，则乙的速度． （3）解：当甲、乙两人离地距离相等时，与图象相交， 从图象可知，交点的横坐标为， 即当时，甲、乙两人离地距离相等． （4）解：从图象可知，当时，对应的横坐标， 即乙离开地的时间是时． （5）解：从图象可知，当时，对应的纵坐标， 即甲离地的距离是千米． 梯度计价问题 与坐标轴交点求方程的解 利用图像法解一元一次方程 4、 梯度计价问题 4．某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 5、 与坐标轴交点求方程的解 5．已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： (1)关于x的方程的解是 ． (2)关于x的方程的解是 ． (3)关于x的方程的解是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是能利用图象解决问题． （1）（2）（3）都可利用函数图象直接得到答案． 【详解】（1）解：由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （2）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （3）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． 6、 利用图像法解一元一次方程 6．如下图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： (1)关于的方程的解． (2)当时，代数式的值． (3)关于的方程的解． 【答案】(1)方程的解为 (2)当时，代数式的值为 (3)方程的解为 【分析】本题考查了一次函数与方程，（1）题干问一次函数等于即读图即可得出答案；（2）根据图像找到时对应的值即可知道代数式的值；（3）即，读图像即可求得答案. 【详解】（1）解：即； 由图像可知当时，； 的解为： 故答案为：. （2）解：当时，代数式的值即的值 由图像可知，当时， ； 故答案为：. （3）解：由图像可知，当时，； 的解为； 故答案为：. 易错点 1、忽略函数定义域：在解决实际问题时，未考虑自变量的取值范围，导致结果错误。 2、实际问题建模困难：面对应用题时，难以准确建立数学模型，导致列式错误。 3、单位换算疏忽：在涉及实际测量数据的问题中，忽略单位统一导致计算错误。 4、图像绘制不规范：画图时比例失调或关键点标注不清，影响解题准确性。 总结 简单应用 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图像去获得检验公式，这种方法的基本步骤是： 1、通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. 2、建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像. 3、观察图像特征，判定函数的类型. 分段函数 分段函数的定义：在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或者函数图像时，要根据自变量的取值范围分段描述.这种函数通常称为分段函数. 根据图像读取信息时，要把握住以下三个方面： 1横、纵坐标的意义，以及横、纵轴分别表示的量. 2关于某个具体点，要求横、纵轴作垂线来求得该点的坐标. 3在实际问题中，要注意图像与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数的应用 4.4一次函数的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 正比例函数的图像画法 课前复习 正比例函数的图像 正比例函数的图像与性质 一次函数的图像与画法 一次函数的图像与性质 一次函数的平移转换 一次函数的对称变换 新课探索 简单应用 新课探索 分段函数 题型练习 分配方案 题型练习 最大利润 行程问题 梯度计价问题 与坐标轴交点求方程的解 利用图像法解一元一次方程 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 正比例函数的图像画法 作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 根据两点确定一条直线，我们可以选两个点来画正比例函数图象. 正比例函数的图像 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 正比例函数的图像与性质 当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大. 当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小. 一次函数的图像画法 作一次函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 根据两点确定一条直线，我们可以选两个点来画一次函数图象.画法：一般选直线与两坐标轴的两交点，即(0,b)和((一,0) 一次函数的图像与性质 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线. (1) 当k>0时，y的值随着x的增大而增大； (2) 当k<0时，y的值随着x的增大而减小； (2)图象经过点(0,b). 当b>0时，直线与y轴的交点在正半轴； 当b<0时，直线与y轴的交点在负半轴； 一次函数的图像与性质 一次函数的平移转换 (1)k相等，直线平行： 直线y=kx+b(b≠0)平行于直线y=kx; (2)当b>0时，把直线y=kx向上平移b个单位长度，可得直线y=kx+b; (3)当b<0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位长度，可得直线y=kx+b. ①直线y=kx+b(k≠0)平移时，系数k的值不变； ②直线y=kx+b(k≠0)向上或下平移m(m>0)个单位时，解析式变为y=kx+b+m或y=kx+b-m; ③直线y=kx+b(k≠0)向左或右平移m(m>0)个单位时，解析式变为y=k(x+m)+b或y=k(x-m)+b; 一次函数的对称变换 直线y=kx+b(k≠0,且k,b为常数) ①关于x轴对称，x不变，y变成-y: -y=kx+b,即y=-kx—b关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数 ②关于y轴对称，y不变，x变成—x: y=k(-x)+b,即y=-kx+b关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数 ③关于原点对称，x和y都变成相反数：-y=k(-x)+b,即y=kx—b.关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数 新课探索 1、 简单应用 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图像去获得检验公式，这种方法的基本步骤是： 1、通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. 2、建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像. 3、观察图像特征，判定函数的类型. 【练习】已知y是的函数，下表是y与x的几组对应值. 小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整： 填空题根据画出的函数图象，写出： ①x=-1对应的函数值y约为____. ②该函数的一条性质：____. 2、 分段函数 分段函数的定义：在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或者函数图像时，要根据自变量的取值范围分段描述.这种函数通常称为分段函数. 根据图像读取信息时，要把握住以下三个方面： 1横、纵坐标的意义，以及横、纵轴分别表示的量. 2关于某个具体点，要求横、纵轴作垂线来求得该点的坐标. 3在实际问题中，要注意图像与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义. 【练习】自驾游是当今社会一种重要的旅游方式，五一放假期间小明一家人自驾去灵山游玩，下图描述了小明爸爸驾驶的汽车在一段时间内路程s(千米)与时间t(小时)的函数关系，下列说法中正确的是( ). A汽车在0-1小时的速度是60千米/时 B汽车在2-3小时的速度比0-0.5小时的速度快 C汽车从0.5小时到1.5小时的速度是80千米/时 D汽车行驶的平均速度为60千米/时 题型练习 1、 分配方案 1．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 2、 最大利润 2．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价元，销售量为千克． (1)求出与的函数关系； (2)当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 3、 行程问题 3．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地 千米； (2)甲的速度为_________km/时，乙的速度为_________km/时； (3)当t为 时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是 时； (5)当时，甲离A地的距离是 千米． 4、 梯度计价问题 4．某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 5、 与坐标轴交点求方程的解 5．已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： (1)关于x的方程的解是 ． (2)关于x的方程的解是 ． (3)关于x的方程的解是 ． 6、 利用图像法解一元一次方程 6．如下图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： (1)关于的方程的解． (2)当时，代数式的值． (3)关于的方程的解． 易错点 1、忽略函数定义域：在解决实际问题时，未考虑自变量的取值范围，导致结果错误。 2、实际问题建模困难：面对应用题时，难以准确建立数学模型，导致列式错误。 3、单位换算疏忽：在涉及实际测量数据的问题中，忽略单位统一导致计算错误。 4、图像绘制不规范：画图时比例失调或关键点标注不清，影响解题准确性。 总结 简单应用 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图像去获得检验公式，这种方法的基本步骤是： 1、通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. 2、建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像. 3、观察图像特征，判定函数的类型. 分段函数 分段函数的定义：在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或者函数图像时，要根据自变量的取值范围分段描述.这种函数通常称为分段函数. 根据图像读取信息时，要把握住以下三个方面： 1横、纵坐标的意义，以及横、纵轴分别表示的量. 2关于某个具体点，要求横、纵轴作垂线来求得该点的坐标. 3在实际问题中，要注意图像与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义. 1 学科网（北京）股份有限公司 $