精品解析：湖南省常德芷兰实验学校2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试数学试题

高三数学试题 一．单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得. 【详解】在中，由得，即， 又由可得：，解得：，即， 故. 故选:B. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令， 所以复数的共轭复数为， 故选：C 3. 已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为 A. 5 B. 40 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】 由题意，二项式的展开式中各项的系数和为， 令，则，解得， 所以二项式的展开式为， 令，则，即的系数为，故选B. 4. 等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】等差数列与的前n项和分别为和，因为， 所以. 故选：A. 5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解. 【详解】将圆化为， 圆心，半径， 因为，所以点在圆C内， 记圆心C到直线l的距离为d，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：A 6. 设是双曲线（，）与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果. 【详解】因为是双曲线（，）与圆在第一象限的交点， ∴是圆的直径，则， 根据双曲线定义：，， ∴， ∴，， ∴在中，，即，所以． 故选：B 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定函数定义域为，分别画出函数与函数的图象，再根据在端点处的斜率关系求出零点个数为6个，再由对称性可求出所有零点之和为9. 【详解】易知，可得，即函数的定义域为， 函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标. ，，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 且两个函数的图象都关于直线对称. 函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图所示： 半圆在、处的切线斜率不存在， 而在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9 故选：C 8. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系. 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系. 二．多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由降幂公式，辅助角公式可得答案； B由周期计算公式可得答案； C将代入由A选项所得化简式中可得答案； D由函数图象平移知识可得答案． 【详解】Ａ选项，，故A正确； B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为，故B错误； C选项，将代入，在此时得最大值，故是函数图象的一条对称轴，故C正确； D选项，的图象向右平移个单位得，故D正确． 故选：ACD 10. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. B. C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百分位数的计算方法判断D. 【详解】对A：因为，且，所以，故A正确； 对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为：，则 ，， 因为， 所以 .故B正确； 对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为，是相等的，故C错误； 对D:因为，则剩下18个数据的分位数为；又，所以原样本数据的分位数也是，故D错误. 故选：AB 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 三．填空题 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得且不共线，列出不等式求解即可. 【详解】与的夹角为锐角， 且与不共线， ，解得：且， 故答案为： 13. 近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目，“1”由考生在物理､历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出选科的总情况，再求出有两门选考科目相同的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲、乙两名考生选科的总情况有，其中恰有两门选考科目相同的情况有以下两种： ①在物理、历史两科中选科相同：； ②在物理、历史两科中选科不同：， 因此甲、乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率. 故答案为： 14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案. 【详解】， ， ， ， ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 四．解答题 15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明:因为△PAD为正三角形，E为AD中点， 所以， 因为平面平面ABCD， 平面平面， 平面PAD， 所以平面ABCD． 因为平面ABCD， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，平面ABCD． 取BC中点F，连结EF, 因为底面ABCD为矩形，E为AD中点， 所以, 所以EA，EF，EP两两垂直． 分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz， 则，，，， 所以，． 设平面PAC的法向量， 由，得， 令，得，， 所以， 平面ABCD的法向量可取． 设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角， 则， 所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为． 16. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若对于任意成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得， 两式相减得， 因为，故， 所以及均为公差为4的等差数列： 当时，由及，解得， 所以，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 当，即时， 当，即时， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在曲线取一点． 过点作的切线分别交于， 因为， 可得， 即． （2）① 由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由（1）的结论知， 与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合； ② 【解析】 【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证； （2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证； ②根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 一．单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为 A. 5 B. 40 C. 20 D. 10 4. 等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 设是双曲线（，）与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 8. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二．多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 10. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. B. C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三．填空题 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是__________． 13. 近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目，“1”由考生在物理､历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为__________. 14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________． 四．解答题 15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值． 16. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若对于任意成立，求实数的取值范围． 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $