精品解析：2025-2026学年四川省成都七中育才学校学道分校九年级上学期定时练习数学试卷（一）

2025-2026学年（上）初三数学定时练习（一） A卷（共100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：从上面看该几何体，得到的是矩形，矩形的内部有两条纵向的实线，如图： 故选：A． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 若点在反比例函数的图象上，则的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由知，函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减．据此解答即可． 【详解】解：， 函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减， 点在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∴，，， 又∵， ∴在第一象限内，， 综上，． 故选：B． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（　　） A. B. C. ﹣1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求出AB=，再由BD=BC=1，得AE=AD=AB-BD=，即可得出结论． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB=， ∵BD=BC=1， ∴AE=AD=AB-BD=， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质、轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形的相关性质． 根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，“矩形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，“菱形的对角线互相垂直平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，“正方形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，平行四边形不是轴对称图形，“矩形、菱形、正方形都是轴对称图形”不正确，符合题意，选项正确． 故选：． 6. 一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为（ ） A. 40 B. 30 C. 16 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得，． 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（　　） A. （4，2） B. （1，1） C. （﹣4，2） D. （4，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案． 【详解】解：∵△ABO与的相似比为，且在第四象限， ∴点A的对应点的坐标为，即(4，-2)， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的中项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 10. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D， AD=3，BD=4， ∴AB=5， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出sin∠ABC是解决问题的关键． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，先根据菱形的面积求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】由题意得：，解得： ∵ ∴ 故答案为：2． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，的面积为5，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键，由，得，由反比例函数的几何意义得，再由反比例函数的图象在第二象限可得答案． 【详解】， ， ， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 连接，根据已知条件得到垂直平分，求得根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，于是得出答案． 【详解】解：连接交于O，如图： ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 四边形ABCD的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程或计算： （1）计算： （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加减，因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，再进行二次根式的加减即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ， ， ． 15. 新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】（1）； （2） 补全的条形统计图如图所示： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其百分比，即可求解； （2）先计算的数据，再画条形图； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 （人） 【小问3详解】 列表如下： 由表可知，一共存在种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 16. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】广告牌CD的高约为7.4米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、， 由题意可知，，，，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，米， （米， ， 答：广告牌CD的高约为7.4米． 17. 已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）求：的值． （3）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） （3）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，中位线，全等三角形的判定与性质，线段的和差，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； (2) 分别作的中点M，N，连接，先证明，继而证明，得到，推导出， 即，则，即可解答． （3）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分别作的中点M，N，连接，如图 ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．求的面积； （3）以线段为对角线作正方形（如图），点G是线段（不与点B、F重合）上的一动点，M是的中点，交于N，当点G在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1）， （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点C作轴交于点G，连接，分别求出，，，则，再由； （3）过点A作轴交于点L，连接，，，先证明，可得，再证，可得，可证明是等腰直角三角形，则，过点F作轴交于点K，同理可证，由，可得答案． 【小问1详解】 解：将代入， ∴， 解得， ∴， 将代入， ∴； 【小问2详解】 过点C作轴交于点G，连接， ∵， ∴A点是的中点， ∵，D点在x轴上， ∴C点的纵坐标是6， ∵C点在反比例函数y上， ∴， ∴， 直线与y轴的交点为， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 过点A作轴交于点L，连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作轴交于点K， 同理可证， ∴，， ∴， ∵， ， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，反比例函数，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． B卷 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2023． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CM，由题意易证，即得到PC=DC=3．设AN=x，则PN= x，BN=3-x，CN=3+ x．在中利用勾股定理即可求出x，即可得到CN的长． 【详解】如图，连接CM， 由题意可知， 在和中，， ∴， ∴PC=DC=3． 设AN=x，则PN= x，BN=3-x，CN=3+ x． 在中，，即， 解得：， ∴CN=3+． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键． 21. 已知M(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M(a，b)在直线x+y=n上”为事件（2≤n≤7，n为整数），则当的概率最大时，n的所有可能的值为__________． 【答案】4和5 【解析】 【详解】试题解析：a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，共12种取法， M（a，b）在直线x+y=n上，n的值也有12种情况，分别是2、3、3、4、4、4、5、5、5、6、6、7， 则当Qn的概率最大时，即n的情况最多为4或5． 考点：1．列表法与树状图法；2．一次函数图象上点的坐标特征． 22. 如图，菱形中，，顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，且经过点O．若，则菱形面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先构造出COM∽△OBN，得出，再判断出△BCD是等边三角形，得出OC=OB，进而得出OM=BN，CM=ON，设点B的坐标为（m，），求出C（，m），进而得出k1=-3k2，进而求出k1=12，k2=-4，进而求出OB，OC，最后得出S菱形ABCD=2(m-)2+16，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC， ∴∠OMC=∠BNO=90°， ∴∠COM+∠OCM=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC⊥BD， ∴∠BOC=90°， ∴∠COM+∠BON=90°， ∴∠OCM=∠OBN， ∴△COM∽△OBN， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠ABC=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵OC⊥BD， ∴OC=OB， ∴， ∴OM=BN，CM=ON， 设点B的坐标为（m，）， ∴BN=m，ON=， ∴OM=m，CM=×(-)=， ∴C（，m）， ∵点C在反比例函数y=图象上， ∴×m=k1， ∴k1=k2， ∵k1+k2=8， ∴k1=12，k2=-4， ∴，， ∴， ∴S菱形ABCD=2×BD•OC=2OB•OC ， ∴当m=时，S菱形ABCD最小=16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，构造出相似三角形是解本题的关键． 23. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形是格点三角形，其中；图中格点多边形所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为，其中a，b，c为常数，则当时， _______．（用数值作答） 【答案】 ①. 7，3，10 ②. 11 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，求出S与N，L的关系是解答本题的关键．根据S，N，L的含义可解答空1，根据图可知四边形由四个小正方形组成求出，，，然后根据题意组成三元一次方程组，解出a，b，c的值，进而求出，然后代入，可解答空2． 【详解】解：对于格点多边形：，，， ∴图中格点多边形所对应的S，N，L分别是7，3，10； 由图可知四边形由四个小正方形组成，此时， ，，， ∵格点多边形的面积， ∴结合图中的格点三角形，格点四边形及格点多边形可得， ， 解得： ∴， 当时， ． 故答案为：7，3，10；11． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ； （2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？ 【答案】（1）10% （2）单价应降低15元 【解析】 【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1-下降率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38-m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为10%． 故答案为：10%． 【小问2详解】 设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个， 依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150， 整理得：， 解得：m1＝15，m2＝13． ∵要减少库存， ∴m＝15． 答：单价应降低15元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如图1，已知（x＞）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连结AQ，取AQ的中点为C． （1）如图2，连结BP，求△PAB的面积； （2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为，求此时P点的坐标； （3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长． 【答案】解：（1）． （2）如图1，∵四边形BQNC是菱形， ∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC． ∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，∴BC=CQ=AQ．∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°． 在△ABQ和△ANQ中，∵，∴△ABQ≌△ANQ（SAS）． ∴∠BAQ=∠NAQ=30°．∴∠BAO=30°． ∵S四边形BQNC=，∴BQ=2．∴AB=BQ=．∴OA=AB=3． 又∵P点在反比例函数的图象上，∴P点坐标为（3，2）． （3）∵OB=1，OA=3，∴AB=． ∵△AOB∽△DBA，∴．∴BD=3． ①如图2，当点Q在线段BD上， ∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=AQ． ∵四边形BNQC是平行四边形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD． ∴，∴BQ=CN=BD=． ∴AQ=2． ∴C四边形BQNC=． ②如图3，当点Q在线段BD的延长线上， ∵AB⊥BD，C为AQ的中点， ∴BC=CQ=AQ． ∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ． ∴．∴BQ=3BD=9． ∴． ∴C四边形BNQC=2AQ=． 【解析】 【详解】（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积． （2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后根据SAS证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S四边形BQNC=求出OA=3，于是P点坐标求出． （3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段考点：反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类思想的应用． BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长． 26. （1）问题提出：如图，在正方形中，连接对角线、，E、F分别是对角线和边上的点，且，求证：； （2）尝试应用：如图2，在等腰梯形中，，，连接，若，，点E、F分别为边和对角线上的点，且满足，，求的长； （3）拓展提升：如图3，在菱形中，交的延长线于点H，且，E、F分别是线段和对角线上的点，且，，若满足：，则________． 【答案】（1）证明： 设正方形对角线交于点， ∵在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得； （2）连接交于点，延长，交于点，先证，再证，列式求解即可； （3）连接交于点，设，，求出，可得，证，得，列式解得，利用列式解得，可得，求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接交于点，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵菱形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 解得：（负值舍）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的综合运用，涉及相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，全等三角形的判定与性质，正方形、菱形的性质，勾股定理，比例的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）初三数学定时练习（一） A卷（共100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（　　） A. B. C. ﹣1 D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 6. 一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为（ ） A. 40 B. 30 C. 16 D. 50 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（　　） A. （4，2） B. （1，1） C. （﹣4，2） D. （4，﹣2） 8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 10. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为_____． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，的面积为5，则k的值为______． 13. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为___________． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程或计算： （1）计算： （2）． 15. 新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 16. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 17. 已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）求：的值． （3）若，求菱形的面积． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．求的面积； （3）以线段为对角线作正方形（如图），点G是线段（不与点B、F重合）上的一动点，M是的中点，交于N，当点G在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围． B卷 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为_____． 21. 已知M(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M(a，b)在直线x+y=n上”为事件（2≤n≤7，n为整数），则当的概率最大时，n的所有可能的值为__________． 22. 如图，菱形中，，顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，且经过点O．若，则菱形面积的最小值是______． 23. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形是格点三角形，其中；图中格点多边形所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为，其中a，b，c为常数，则当时， _______．（用数值作答） 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ； （2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？ 25. 如图1，已知（x＞）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连结AQ，取AQ的中点为C． （1）如图2，连结BP，求△PAB的面积； （2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为，求此时P点的坐标； （3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长． 26. （1）问题提出：如图，在正方形中，连接对角线、，E、F分别是对角线和边上的点，且，求证：； （2）尝试应用：如图2，在等腰梯形中，，，连接，若，，点E、F分别为边和对角线上的点，且满足，，求的长； （3）拓展提升：如图3，在菱形中，交的延长线于点H，且，E、F分别是线段和对角线上的点，且，，若满足：，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $