精品解析：河南省南阳市南阳六校2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试题

2025—2026学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】设倾斜角为，依题意， 由于，所以. 故选：A 2. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质． 3. 记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解. 【详解】由题意知，， 因为， 所以， 即，解得. 故选：B 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设对称点为，由，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A 5. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. | 故选：C 6. 已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心到直线的距离，， 则，解得. 故选：A 7. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D. 【详解】解析 对于A，由条件可知，又， 当时，， 当时，，A正确； 对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确. 故选：AD 10. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为. ①若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得； ②若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得； ③若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得. 故选：BCD. 11. 已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最小值为2 B. 当直线的倾斜角为时， C. 线段的中点到的准线的距离等于 D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D. 【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程，得 消去整理得，则，. 对于A，， 故时，的面积取得最小值，为2，故A正确； 对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为， 将代入，得，解得，， 所以，，所以，故B错误； 对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，， 所以， 又， 所以，故C正确； 对于D，由前面的分析，知，， 设，则 ， 所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由焦点在轴上，得到，求解即可. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案. 【详解】由题意知，， 设，则，， 所以，整理得，对照椭圆方程可知， 所以，故椭圆的焦距为. 故答案为： 14. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设直线与交于点P，已知直线l过点P. （1）若l与直线平行，求l的方程； （2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案； （2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 联立得，解得，即. 若l与直线平行，则l的斜率， 所以l的方程为，即. 【小问2详解】 若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得， 所以l的方程为. 若l不经过坐标原点，设l：， 代入P点坐标，得，解得， 所以l的方程为，即. 所以l的方程为或. 16. 已知点，，，的外接圆为圆C. （1）求圆C的方程； （2）设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的一般式方程，代入已知点，可得答案. （2）由已知点求得直线方程，利用点到直线方程以及弦长公式，可得答案. 【小问1详解】 设圆C的方程为， 将，，三点的坐标代入， 得解得 故圆C的方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1， 又过，所以：. 圆的圆心到的距离， 则被圆截得的弦长为. 17. 已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设C的半焦距为. 由题意得得 C的方程为. 【小问2详解】 设，. 联立，得化简得， ，. . 18. 已知直线l：与抛物线C：相切于点P. （1）求C的方程以及点P的坐标. （2）过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）， （2）（i）； （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值. 【解析】 【分析】（1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案. （2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. 【小问2详解】 （i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）略 19. 已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. （1）求C的方程. （2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）15 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. 【小问1详解】 由题意知解得 所以C的方程为. 【小问2详解】 （i）设l：，点，，. 由可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 3. 记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 5. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 10. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最小值为2 B. 当直线的倾斜角为时， C. 线段的中点到的准线的距离等于 D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______. 13. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______. 14. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设直线与交于点P，已知直线l过点P. （1）若l与直线平行，求l的方程； （2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 16. 已知点，，，的外接圆为圆C. （1）求圆C的方程； （2）设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长. 17. 已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，求. 18. 已知直线l：与抛物线C：相切于点P. （1）求C的方程以及点P的坐标. （2）过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 19. 已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. （1）求C的方程. （2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $