专题15 压轴题路径最短问题几何最值问题讲义及动图视频讲解 2025-2026学年人教版八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练

同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们首先学习八年级数学上册最值问题，今天我们学习第十三讲，先根据距离定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型解决问题。如图，在三角形ABCDABC中，AB垂直BCAD是垂足为DAD等于BCP为直线BC上方的一个动点，三角形PBC等于三角形ABC面积的2分之1。则当PB加PC最小时。叫PPC的度数是多少？因为三角形PBC的面积等于三角形ABC面积的一半，所以我们做ph。垂直BC则PH就等于2分之1AD。因为点P在，所以点P就在AB的垂直平分线上。所以点P的运动轨迹就是这个直线FG。BC是FG. 同侧。的两个定点，所以这是一个坚决仪模型。我们要找到PB加PC最小的时候，点P的位置，我们就可以做B或者C的对称点。我们选择做点C的对称点。CP在零基BCP和PCP我们可以发现PC就等于PCP，所以BP加PCP就等于BP加PCP它就大于等于BCP。所以当点BPCP3点共线时。BP加PC最小，最小值就是BCP的长度。我们要求的，就是这个时候的叫PBC的度数。我们把CCP连起来。因为PH等于。二分之1CCPPH又等于2分之1. AD所以。AD等于CCP。他们都等于RB的PH因为AD等于BC所以CCP等于BC。所以三角形BCCP是等腰直角三角形，所以角PBC等于45度，go选B。好，下面我们继续学习，根据距离定值找出动能轨迹再利用，坚决以马模型解决问题。我们来看辨识训练。如图，在三角形ABC中，角BAC等于30度。AB等于AC等于。2.1. 为射线，AC上的动力DE平行ABDE等于2。我们再看一下，角BAC是30度，AB等于AC等于2，DE也等于2。当AD加BD最小时，求角DBC的度数。我们可以看到，当点E运动的时候，点滴随之运动。根据瓜豆原理，点滴的运动轨迹也是一条直线。那么点滴的运动轨迹是哪条直线呢？因为DE平行AB所以角DEA也等于30度。又因为D一等于2，所以我们可以做DH垂直AE。这样根据30度所对直角边等于斜边的一半，所以DH就等于1。这样点D到ac的距离始终为一，所以点D就在平行于AC并且到AC距离为一的直线上运动。我们做过点D作直线，平行于AC那么点D的运动轨迹就是DPEP。大家看AB是直线同侧的两个定点，所以这就是一个将军饮马模型，我们就可以做A的对称点AP。这样的话DA就等于DAP，所以BD加DA就等于BD加DAP它就大于等于BAP。就是当叫点BDAP3点共线的时候，AD加BD最小。好，当BDAP3点共线的时候，AD加BD最小就是BAP。因为DH等于一，所以AAB等于2。又因为AB等于2，所以三角形BAAB是个等腰三角形。因为角BAAP等于30度，加90度等于120度。所以我们就可以求到角ABAP。它就等于180度减120度除以2等于30度。这个角30度我们要求的是角DBC的度数，所以我们要求角ABC的度数。角ABC怎么求呢？角ABC等于180度减30度除以二等于75度，所以角DBC。它等于角ABC减。角A. BAP也就是等于75减30度，等于45度，所以角DBC的度数就是45度。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们首先学习八年级数学上册最值问题。我们今天学习第十五讲。构造全等三角形，求两条线的和的最大值。如图，在三角形ABC中，bc等于四根号2，直线L经过边AB的中点。D与BC交。于点M。分别过点AC作直线L的垂线，垂足为E则A1加ACF的最大值为多少？我们要求A1加CF的最大值，就要想方设法把AE和CF接起来。怎么能够把他们接起来呢？我们抓住点D是AB的中点。然后AE又垂直于L这里我们就可以构造三角形全等。过线段的两个端点做中点处直线的垂线，就可以得到八字形全等。所以我们做BH垂直于L那么我们就验证三角形ADE全等于三角形BDH。首先直角相等，第二对顶角相等，第三边AD等于BD所以AE就等于BH。所以A1加CF的最大值就变成了CF加BH的最大值。我们如何把CF和BA值接起来呢？过点B做CF的垂线。做BG垂直CF垂直是G这样BHFG就是一个长方形，所以BH就等于FG所以A1加CF的最大值就等于CG。根据斜大于值，所以CB大于等于CG也就是说当CG和CB重合的时候。AFAE加CF的值最大。AG小于等于。CBCG小于。等于CB所以CG的最大值。就等于CB。就等于四根号2，我们看A一等于BH。等于BH等于FG所以A一加上CF就等于CF加FG所以A1加CF的最大值就等于CG的最大值。CG的最大值就是当CG和CB重合的时候，就等于CB等于四根号2。好，下面我们继续学习构造全等三角形，求两条线的和的最大值。我们来看。如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，L经过点DA垂直于L。垂足BF垂直于L若A一加BF。的最大值可用图中的一条线段表示，那么这条线段是哪条线段？我们抓住点，D是BC的终点。BEBF垂直于L。所以我们可以构造八字形的，怎么构造呢？过点BC。做CH垂直于L所以三角形BDF。就全等于三角形CDH。一是直角相等，第二是对顶角相等，第三是BD等于CD。所以BF就等于CH. 所以。A1加BF的最大值就等于A1加CH的最大值。我们如何把AE和CH再接起来呢？好，我们再做CG，再做CG垂直。在做CG垂直AE。这样CGEHCHEG就是一个长方形，所以CH就等于1G。所以A一加CH就等于A1加EG就等于AG。那么AG它它小于等于AC所以AG的最大值就是AC。是当。AG与ACAG与AC重合的时候取得最大值。AG与AC重合的时候取的最大值，所以最大值就是AC。 同学们好，欢迎来到高三股四微课堂。高三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是装好的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们首先学习八年级数学上册最值问题，今天我们学习第十六讲，我不故意问题。如图，角BAC等于30度，M为射线AB上一个动点。点N在射线AC上AN等于六点M运动的过程中，当MA加2分之1AM取最小值时，角AMN的度数是多少？这个题目有一个2分之1AM。它不同于坚决饮马问题。这个系数2分之1给我们带来了很大的难度，这个类型我们称为佛不贵问题。这个地方是2分之1，也可以是二分之根号2，二分之根号3。那么对于我们要。设法。把2分之1AM转化为一条线段，由于是2分之1，我们就明显到一个重要的定律，30度所对直角边等于斜边的一半，而这里正好有一个30度，所以我们可以做MH垂直于AN这样MH就等于二分之1AM2分之AM转化为了MH所以MN. 加M. H最小值就变成了MA加MH的最小值。MA加MH的最小值。因为点M在AB上运动。这就转化为了将军饮马问题，所以我们可以做点H的对称点HEP。连接ANHEP，那么MN加MH就等于MA加MHAP，它就大于等于NHEP，所以它的最小值就是ANHEP。由于H是动力，所以当AHEB垂直AHEP的时候最短。当角AH1撇0等于90度的时候，MA加MH最小，也就是MA加2分之1AM最小。这个时候M就正好落在。AHEP上面。因为H和HE. P关于。AB对称，所以叫HEBAM等于角MAH等于30度。所以角AMA它。等于角HEP，角HEP等于90度加角HPN所以等于90度加30度就等于120个。我们还有一种思路更加简便的方法，就是构造30度。这个方法应该更具有通信。也就是说。我们可以。做叫。AAB等于30度做角AAB等于30度。然后再做MH垂直AB这样把A2分之1AM转化为了MH所以MA加2分之1AM就等于MA加上MH。做一个角等于30度，所以AM等于2分之1AMH。我们可以发现当AH垂直AB的时候，AH最小，也就是MA加2分之1AM最小，这个时候M就落在等于H上。当AH垂直AB的时候，AH最小，这个时候M就落在NS上。所以角AMN就等于90度，加30度等于120度。当我们到了八年级学习了勾股定理之后，我们就可以求到AMA加二分之AM的最小值了。 同学们好，欢迎来到高三股四微课堂。勾三股思维课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。今天我们学习第一讲，利用角平分线的性质，结合垂线段最短求一丁点一动点的一条线段的最小值。如图，在三角形ABC中，角C等于90度。BD是为。三角形ABC的角平分线过点D做L平行AB点P为直线L上的一个动点。若三角形BCD的面积为16，BC等于8则AP的最小值为多少？A是定点，P是直线L上的动点，所以当AP垂直L的时候，IP的值最小。这个时候AB的长就是直线L和AB之间的距离。所以我们过点D做DH垂直AB于H那么DH的长也就是AP的最小值。因为BD是角平分线角，C等于90度，DH垂直AB所以DH等于DC。所以DH的长就是DC的长。因为三角形BCD的面积为16，所以2分之1乘以BC再乘以CD等于16，BC等于8，就是2分之1乘以8乘以CD等于16，所以CD等于4。所以AP的最小值就是DH，也就是DC的层，也就是4。好，下面我们再来看针对训练。如图，OP平分角AOBPD垂直O于点D点Q是射线OB上的动点。PD等于五则PQ的最小值为多少？由垂线段可最短可知，当PQ垂直OB时，PQ最短。因为PQ垂直OB，PD垂直OA，OP是角平分线，所以PQ的最小值就等于PD而PD等于5，所以PQ的最小值为五，故选B。 同学们好，欢迎来到勾三组四微课堂。勾三组四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们首先学习八年级数学上册最值问题，今天我们学习第17讲面积最值问题。如图，在四边形ABCD中，BD平分角ABCCD垂直BDAC等于10，BC减AB等于四则三角形ADC面积的最大值为多少？大家先思考一会儿。根据BD平分角ABC，BD垂直AC我们可以做隐藏构造的辅助线，就是延长CD和BA交于点E这是一条非常重要的辅助线。做了这个辅助性之后，我们既能够得到三角形BDC全等于三角形BDE角边角，从而就得到等腰三角形BEC全等之后，BE等于BC，ED等于EC。由于BE等于BC所以BC减AB等于4，也就是B一减AB等于4。所以A一等于4。A一等于4，AC等于10，我们就可以求到三角形EAC面积的最大值。怎么求呢？又因为点第11岁的终点，所以三角形ADC的面积就是三角形EAC面积的一半，所以只要求到EAC面积的最大值，我们就能求到三角形ADC面积的最大值。我们做CH垂直AB。这样三角形EAC的面积。就等于2分之1乘以4，再乘以CH。因为CH小于等于AC。所以CH就小于等于10。所以三角形EAC的面积。就等于二分，就小于等于2分之1乘以4乘以10。也就是小于等于20。所以三角形ENC面积的最大值就是20，因为D是CE中的，所以。三角形ABC的面积就等于2分之1个三角形EAC的面积。因为EAC面积的最大值是20，所以三角形ADC的面积的最大值就等于10。所以选择B。好，下面我们继续学习。面积最值问题我们来看。针对训练，如图，在四边形ABCD中，BD平分角ABCCD垂直BD。AC等于7，BC减AB等于二则三角形ABC面积的最大值为多少？我们根据BD平分角ABC，BD垂直DC。我们还是通过。延长构造做。辅助线，银行BA和CD交于点E这样我们可以得到三角形BDC全等于三角形BDE从而得到BE等于BC，DE等于DC因为BC等于BE所以BC减AB等于2，也就是B1减AB等于2。也就是说A一等于2，A一等于2，BC的AC等于7，我们就可以得到三角形EAC面积的最大值，就是当角EAC等于90度的时候，使得最大值为。也就是说三角形EAC面积的最大值就是2分之1乘2乘7等于七好，我们再来。理解一下为什么角EAC是90度的时候，三角形EAC面积最大。我们做CCH垂直AB所以三角形EAC的面积它就等于2分之1乘以2，再乘以CH因为CH小于2.7。所以三角形EAC的面积就小于等于7，也就是说三角形EAC的面积的最大值是7，因为D是CE中顶。所以三角形ADC的面积。它的。最大值就等于ESC的一半，就等于2分之7。最大值三角形ADC的面积等于2分之13角形EAC的面积，所以三角形ADC面积的最大值是2分之7。好，下面我们继续学习面积最值问题。我们来看如图，角AOB等于45度。点MN分别在射线OAOB上，MN等于6。三角形MOA的面积为12。点P是MA上的动点点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点是P2，当点P在。直线MA3运动时，三角形OP1P2的面积的最小值是多少？由于PPE关于OA对称，PP2关于OB对称，所以我们应该连接OP。这样OP就等于OP1，OP也等于OP2，所以OP1等于OP2，它们都等于OP然后角。POM等于角PEOM。POA等于9PRON。角AOB是45度，所以角P1OP2等于2B的角AOB。等于90度。所以三角形OP1P2就是一个等腰直角三角形。所以三角形OP1P2的面积的最小值就是当OP1最小的时候，或者说当OP最小的时候取得。那么OP的最小值是多少呢？就是当OP垂直于MA的时候最小。我们做OH垂直MA，那么OP的最小值就是MO就是OH。根据三角形OMN的面积为12，所以2分之1乘以MA. 乘以。OH等于12，其中MA等于6。所以OH等于4。所以OPE的最小值就是4。OP的最小值就是4，OP的最小值也是4，所以三角形OP1P2的最小值。就等于2分之1乘4乘4就等于8。Go选B。当角。O. MA是钝角的时候，这个时候OH就到了舷外。由于点P是在直线MA3越大，所以。OP的最小值还是OH，也就是说三角形OPP2命令的面积的最小值还是8。 同学们好，欢迎来到高354微课堂。高三古四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题，共十九讲，今天我们学习第八讲。将军饮马的拓展，求两条线段差的最大值的思路。如图，在三角形ABC中，AB等于ACAC的垂直平分线交AC于点A交AB于点MAB等于10，三角形BMC的周长是16，如果点P在直线MN上，求PA减PB的最大值。AB是直线MA一侧的两个定点点，P在直线MN上以运动，所以要求PA减PB的最大值。我们就应该找A或者B的对称点在与另一个点连接，因为MN垂直平分ac所以点A的对称点就是C0，CB就是PA减PB的最大值。CB的延长线与MA的交点就是点P所在的位置。我们连接PC来理解一下，大家看PA减PB因为PA等于PC所以就等于PC减PB。PC减PB它小于等于BC就说明PC减PB的最大值就是BC也就是说PA减PB的最大值就是BC就是BC是多少呢？三角形BMC的周长是16。BMC的周长是16，就是BM加MC加BC等于16。MC等于MA所以AB加BC就等于16。因为AB等于10，所以10加BC就等于16，所以BC等于6，所以PA减PB的最大值就等于6，等于BC等于6。好，我们下面继续学习，坚决以马的拓展求两条线段差的最大值。我们看针对训练一如图，已知三角形ABC为等腰直角三角形，AC等于BC等于4。角BCD等于15度，P为射线BD上的动点。求pa减PB绝对值的最大值。点A点B是。射线。CD预测的两点，点P在CD上运动，所以我们。要求。PA减PB的最大值。就是做A的A关于。CD的对称点和B连接，或者B关于CD的对称点和A连接。我们先做B的对称点BP连接ABP。和PBP那么ABP就是PA减PB绝对值的最大值。因为。因为那个B和BP关于PD对称，所以PBP等于PB所以PA减PB。就等于PA减PBP。它根据三角形两边之差小于等于第三边得到小于等于AB撇，所以说明PA及PB的最大值就是AB瞥。那么如何求AB撇呢？连接CBP之后，因为角BCP是BCD是15度，就是角BCP15度，所以角BBCP也是15度，所以角BCB撇等于30度。所以角ACB撇它等于角ACB，角ACB是90度减去角BCB撇，所以就等于60度。又因为。ACAC等于CBCB等于CB撇，所以AC等于CB撇，所以三角形ACB撇是等边三角形，所以AB撇就等于AC。等于4，也就是说PA减PB的最大值为四。下面我们看第二种方法。我们可以做A的对称点和B连接。做A关于直线CD的对称点AP连接APB。这样。AP就等于A撇PAPP减去PB它就小于等于APB所以AP减BP的最大值就是APB。如何求APBA呢？我们连接APC。连接ABC之后，大家看到叫BCP是15度，所以角ACB是75度，所以角A撇CD也是75度，所以角A撇CB就等于75减15等于60度。又因为AC等于ABCAC等于BC所以ABC等于BC所以ABCB所以三角形ABCB就是等边三角形，所以APB就等于BC等于4，也就是说PA减PB的绝对值的最大值就等于4，你知道了吗？好。下面我们继续学习将军饮马的拓展，求两条线段差的最大值思路。我们来看。如图三角形ABC是等边三角形M4，AC的中点Q是BC的中点，P是AB上任意一点P关于AC的对称点是P撇。AB等于二分之根号6。求NP撇减MP的最大值为。这条题目的话有两个动力，我们先假定背影定下来不动。因为点PP撇是关于AC的对称点，所以我们应该连接MPP。这样AP撇减MP我们就转化为。因为MP等于MP撇就转化为NP撇减去MP瞥，那么我们就要求NP撇减MP撇的最大值。那么我们根据三角形两边之和小于第三边，我们连接MA。就可以发现NP撇减MP撇就小于等于MN也就是说AP撇减MP撇的最大值就是MN的最大值。因为A是动力因为A是动力，所以MN的最大值是多少呢？我们看。但M. AA在CQ上运动，所以MN的最大值。就是MQ. 就是MQ那么MQ是多少呢？AB是二分之根号6，三角形ABC是等边三角形，所以AB等于BC。等于AC等于二分之根号6。P是AB中点，Q是BC中点，所以BP等于BQ等于四分之根号6。M是中点，所以CM等于CQ角C等于60度，所以三角形CMQ是等边三角形。所以mq。MA的最大值就是MQ，所以MQ就等于CQ等于BQ。等于四分之根号6。所以NP撇减MP的最大值就是四分之根号6。 同学们好，欢迎来到高三股市微课堂。高三股市微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动作帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题，共十九讲。今天我们学习第三讲，利用不等式结合垂线段最短求两个端点的一条线段的最值。如图2T3角形ABC中角ACB等于90度，角B等于30度。AC等于2D为BC上一动点EF垂直平分AD交ac于E交ABF则BF的最大值为多少？要求BF的最大值，可以考虑求AF的最小值。因为EF垂直平分AB所以FD等于AF。要求FD的最小值。由于FD都是动力，所以不可以用垂线段最短解决怎么办呢？我们做FH垂直BC与H如果我们设AF等于FD等于X。我们就可以利用X表示FH的长。BF等于。多少？Ac. 等于二角。B等于30度，所以AB等于4，所以BF等于4减X。所以FH就等于2分之4减X根据谁大于值，我们可以得到FD大于等于FH。从而我们可以得到一个关于X的不等式。这样我们就可以求出X的范围，也就是能求到AF的最小值。我们可以得到2X大于等于4减X所以X大于等于3分之4，也就是说AF的最小值是3分之4。所以BF的最大值等于。4减3分之4就。等于3分之8故，最大值为3分之8。下面我们继续学习第四讲，利用等量代换结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最小值。如图，在RT3角形ABC中，角A等于30度。BC等于三角形ABC面积等于八点P是边BC上一动点点P关于直线ABAC的对称点分别是MIN连接MN则MN的最小值为多少？我们看动图，当点P在BC边上运动的时候，MN的长度在变化。它的最小值大概是55点几毫米，它什么时候最小呢？根据PN是关于AB对称，PM关于ac对称，所以我们应该连接PM. PA. N连接APAMA。因为AB垂直平分AMP所以AN等于AP。AC垂直平分PM所以AM等于AP所以AN等于AM。叫BAP等于角BAN角PAC等于角MAC因为。角B. AP加角CAP等于30度，所以角BAN加角BAC也等于30度，所以角MAN等于60度。AM等于。AA所以。三角形AMN是等边三角形。这样MA它就等于AM也等于AN就等于AP所以我们要求MN的最小值就可以换成求AP的最小值。因为AP它一个定点一个动点，根据垂线段最短，当AP垂直BC的时候，ap最短。好在AP垂直BC的时候，AP最短。由于三角形ABC的面积等于8，所以2分之1乘以BC乘以AP就等于8。其中BC等于3，BC等于3，所以2分之1乘以3。乘以AP等于8。所以AP等于3分之16。也就是说MA的最小值等于3分之16。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题中都是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。今天我们开始学习八年级数学上最值问题。我们今天学习第十二讲，构建手拉手模型，解决瓜豆原理最值问题。已知如图，在三角形ABC是边长为四的等边三角形，AF垂直BC点D是直线AF上移动的。以BD为边，在BD的右侧作等边三角形BDE连接EF则EF的最小值为多少点？D在直线AF上移动，要求EF的最小值，我们考虑的是垂线段最短，因为D点在。直线AF3移动。所以我们可以设法找一个定点和地点起来，使得它的它的长度就等于EF的长。那么这个地点怎么走呢？我们考虑到F点是BC的中点，所以我们。可以考虑。取AB的中点G连接GD。因为。三角形DBE是等边三角形，DB等于。BE. BF等于2分之1，BCBG也等于2分之1BA而BA等于BC所以BG等于BC高顶点B有2个60度角角A角DBE等于60度，角ABC也等于60度，所以角DBG等于角EBF所以这里面有一个手拉手模型，三角形BDG就全等于三角形BEF，从而DG就等于EF因此EF的最小值就是DG的最小值。因为点D是动点，所以当地为垂足的时候基地最短。但GD垂直AF的时候，GD最短。因为ABC是等边三角形，AF是BC边的中线，也就是角平分线。所以角GAD等于30度，所以GD等于2分之1个A. G因为我们。取的是AB的中点G所以AG就等于2分之1AB。而AB等于4，所以。GD等于4分之1乘以四等于一，所以GD的最小值是一，所以EF的最小值也就是一。好，我们再看第二种方法。在点地运动的过程中，一点也随之运动。根据瓜豆原理，点D在直线上运动，衣领也在一条直线上运动。那么衣领在哪条直线上运动呢？我们可以想象当点D在A点的时候，E点在哪里？E点在C点，所以CE就是直线，CE就是点E运动的轨迹。我们连接CE。所以当FE垂直CE的时候，FE最短，我们做FH垂直CE，那么FH就是EF的最小值。由于三角形ABC是等边三角形，AB等于BC。BD等于B. E共顶。点B2个60度，所以角ABD等于角ABC。所以三角形abc就全等于三角形CBE，所以角BCE等于角BAD因为角BAD等于30度，所以角CBE等于30度。这也就是说明了CE和DBCB成一个顶角30度，所以点E的运动轨迹就是射线CE我们做FH垂直于CE那么FH就是F1的最小值，FH就等于2分之1个FC。FC等于2分之1，BC等于二等于2分之1乘以4等于2，所以FH等于1。好，下面我们继续学习构建手拉手模型，解决瓜豆原理最值问题。如图，三角形ABC和3角形CDE都是等边三角形，BC等于4，F是BC的中点。如果点D在直线AF上运动，连接EF则在点地运动过程中，线段EF的最小值是多少？点D在直线上运动，根据瓜豆原理。点E也在直线上运动，当点D在BA点的时候，我们发现点E在B点，所以说衣领的运动轨迹就是射线BE。那么为什么就是首先必异呢？高顶点C霜等边三角形ACB和DCE，AC等于BCCD等于CE高顶点C3两个60度，所以我们验证角ACD等于角BCE，所以三角形ACD就全等于三角形BCE，所以角CBE等于角CAD因为AF是三角形ABC的中线，ABC是等边三角形，所以AF也是角平分线，所以角CAD等于30度，所以角CBE也就是30度。这样BE和丁丙BC就成一个顶角30度，所以点E的运动轨迹就是设计BE。所以当FE垂直BE的时候。FE最短，我们可以做FH垂直于BE那么FE的最小值就是FH那FH等于。2分之1. BF因为BC等于4，所以BF等于2，所以FH等于1，所以F1的最小值即为一好，我们再看第二个思路。因为点D是AF上的动点。我们要求EF的最小值，我们要设法找一个顶点和点D连起来。如果它的长度正好等于。EF那么它的最小值。就是EF的最小值。考虑到点F是BC的中点，所以我们可以考虑是AB的中点。我们可以考虑指AC的中点G。在公顶点C共顶点C有等边三角形ECD。因为角BCA也是60度，角ECD也是60度，所以我们验证角DCG等于角F的CE。因为F是BC的中点，G是AC的终点，所以CF等于二分之1CBCG的二分AC所以CF等于CG又因为CD等于CE。所以根据边角边我们可以证得三角形DCG全等于三角形ECF。所以DG就等于FE。所以当。DG最小的时候FE就最小，G是丁点D是东顶。所以当DG垂直于AF的时候，当点D为垂足的时候，基地最小我们连接。因为。角CAF等于30度，AG等于2分之1，AC等于2分之1，BC等于2，所以GD等于1，所以EF的最小值就为一。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们现在开始学习八年级数学上最值问题。今天我们学习第十讲将军牛马问题。已知如图，点A12点B74MN是X轴上的两个动点。MA等于3，请在X轴上画出当AM加MN加NB的值最小的时候，MA年龄的位置。这里面有两个定点，AB一个动点，一个动线段，MN等于3，所以MN是定性段。当AM加NB最小的时候，我们应该设法。把AM和BN接起来，也就是说要让M和AN接起来，把AM向右平移三个单位。A的对应点是A1，连接A1A0。AM加NB就是AN加AB这样就变成一个将军已满问题。所以我们在做AE的对称点，AEP连接APB。这样点M点N就在A1B与X轴的交点处。我们再把N向左平移三个单位就得到M的位置。如图。纪委说话。好，当我们学过了勾股定理，我们就可以求AM加MN加NB的最小值了。好，下面我们继续学习，坚决牛马问题。我们来看如图矩形ABCD中，AB等于4，BC等于8，E为CD边的中点。点PQ为BC上的两个动点。当PQ等于2的时候，求那个四边形，当AP当BP等于多少时，四边形APQE的周长最小。我们看到PQ在BC上动AE是两个定点，所以这也是一个坚决牛马问题。我们解决的策略依然是设法将。AP和QE接起来，因为这个四边形的周长AE和。AE加。AP加PQ加QE其中AE和PQ是两个定长，所以要使得周长最小，就是要使得AP加QE最小。所以我们要把P顶先右移动两个长度，同时将A0也向右平移两个单位长度。再做AE的对称点，AEP连接APE，ABE与BC的交点就是周长最小时的Q点。我们把Q再向左移动两个单位就得到P点。大家可以看到这个时候的APQA1是一个平行四边形，所以AP等于AEQ，AP加PE就等于AEQ加QE就是。一个。将军饮马问题，它就等于AEPQ加QE。所以当APQE3点公心的时候最小。如果我们学过了勾股定理，我们就可以求到周长的最小值了。现在我们可以求BC的长，BP的长。怎么求BP的长呢？我们过AP向CD做垂线，做APH垂直于CD您垂足为H。AAE是等于2，所以AD就等于6。E点是CD的终点，所以CE等于ED等于2，CH它等于2分之1，A1A1撇，A1A1撇等于8，所以CH等于4。APH等于AD等于6，所以EH等于APH也等于6，所以角APEH等于45度。APHE是一个等腰直角三角形，所以三角形QCE也是一个等腰直角三角形，所以QC等于EC等于2，所以PC等于4，所以BP等于BC减BCBP等于8，所以等于8减4等于4。 同学们好，欢迎来到高354微课堂。高三五四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题，共十九讲。今天我们学习第十一讲，立等线段构造全等山三角形，求最值问题。如图，在等腰三角形ABC中，角BAC等于80度DE分别是ABAC上的点，并且AE等于CD当AD加BE的值最小时，求角ADC的度数。这里边AD加BE的值最小，这是两条交叉的相交的线段，我们不太好求，我们就要想办法把它们接起来。怎么接呢？我们就要根据线段AE等于CD，AE等于CD我们就称为叫力等线段去构造全等三角形。这里边AE在三角形ABE中，所以我们可以构造一个三角形和ABE全的。因为角BAC是80度，所以我们可以做角DCF等于80度，并且使得CF等于。AB. 这样大家看到BC等于AE角BAE等于角DCFCF等于AB所以根据边角边三角形BAE就全等于三角形DCF，所以BE就等于DF这样AD加BE就等于。AD加DF。那么AD加DF最小的。时候。就是当三角形，当ADF3点公斤的时候最小。所以我们让ADF3点共线。所以我们要求的就是角ADC的图数。那么角ADC等于80度加角F怎么求角F呢？我们看到CF它等于AB所以CF也等于AC。所以199F999ACF。所以我们就要求角ACB，角ACB怎么求呢？角ACB等于180，因为AB等于AC角BAC80度，所以角ACB等于180减80，再除以二等于50度，所以角ACF就等于50度，加80度等于130度，所以角F等于。180度减130度除以2就等于25度。所以角ADC等于角DCF加角F就等于80度，加25度等于105度，所以角ABC的度数就是105度。好。下面我们继续学习一等线段构造全等三角形求最值问题。我们来看针对。训练一如图。在三角形ABC中，AB等于AC角BAC是65度。BD是ac边上的高点，EF分别在ABBD上，并且A一等于BF当AF加CE的值最小时，求角AFD的度数。AF加CE的值最小，AF和CE也是两条相交的线段。所以我们也要想办法把AF和CE接起来。也就是说我们要根据立等线段AE等于BF去构造全等三角形。我们可以想方设法构造一个三角形与三角形ABF全等。怎么构造呢？大家按下暂停键想一想。我们可以做AG垂直AC并且使AG等于AC然后连接记忆。这样我们就可以得到三角形AGE和三角形BFA全等。大家考虑一下为什么全等？一个是AG等于AC。AC等于AB所以AG和AB相等。然后你等线段AE和BF相等，然后他们的夹角。我们看到。要在这两个夹角相等，就要有AG平行于BD。因为AG垂直，ACBD也垂直AC所以AD平行于BD所以角GAE等于角ABF所以根据边角边三角形AGE就全等于三角形b fa。所以AF加CE最小的时候就是。这两个三角形全等之后，AF就等于GE。所以AF加CE最小的时候就是GE加CE最小。GE加CE最小就是GEC3点共线的时候最小，gec 30更新的时候最小。当GEC30公心的时候，角AFD等于多少度？角AFD，我们用外角的性质。它就等于。角。BAF。加上角ABF。角ABF等于多少呢？角BAFU是多少？角ABF。加角BAD等于90度。角AB. F. 等于90度减角BAC。就等于90减去65度，等于25度。那么角BAF是多少度呢？角BAF。我们看到三角形ABF和三角形GEAGAE全等，所以角BAF就等于角G。因为AG等于AC角GAC等于90度，GC3点共线，所以三角形AGC是等腰直角三角形，所以角G是45度，所以角BA. F也是45度. 所以角BAF等于角G等于45度，所以角AFD. 等于。25度，加45度就等于70度。 同学们好，今天欢迎来到高三股四位课堂，高三古思维课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点，老师将用动作帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题，共十九讲。今天我们学习第二讲，利用等积法结合垂线段最短求一条线段的最小值。如图，在三角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于15，BC等于20，AB等于25点，P是AB上的一个动点，连接PC则线段PC的最小值是多少？根据垂线段最短，当PC垂直AB时，PC最短。这个时候三角形ABC的面积等于2分之1AB乘以PC。也等于2分之1 ac乘以BC。所以AB乘以PC等于AC乘以BC。所以25乘以PC等于20乘以15。得到PC等于12，所以线段PC的最小值为12，故选A。好，下面我们来看针对训练。如图，在三角形abc中，AB等于9，BC等于8。点AE为BC边上的高，AE等于7P为AB上的动点，则PC的最小值是多少？我们看到。C是定点，P是直线AB上的动点，所以当CP垂直AB的时候，这段。当CB垂直AB的时候，CB就是高，所以三角形ABC的面积。它就等于2分之1AB乘以CP。也等于2分之1ABC乘以A。AB是99。乘以CP就等于BC是8，A是7，所以CP等于9分之56。因为垂线段最短，所以CP的最小值就是9分之56。 同学们好，欢迎来到高354微课堂。高三五四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题，这些问题中都是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题，共十九讲。今天我们学习第六讲将军饮马模型，求两条线段和的最小值，如图三角形ABC是等腰三角形，AB等于AC. 等于。八角，ABC等于80度。三角形ABC全等于三角形ADE角DAC是20度，F为AD上的一个动点，则BF加CF的最小值是多少？我们看到点F在直线AB上运动，BC是直线AD同侧的两个定点。所以这是一个将军饮马模型。我们解决的策略就是做点B的对称点和C连接，或者做C的对称点和B连接。我们做哪个点的对称点呢？因为角ABC是80度，AB等于AC所以我们可以求到角BAC等于20度。等于180度，减掉2个80度等于20度。三角形ABC和DAE全等，所以三角，所以角DAE也等于20度。所以角BAE等于多少度呢？就等于222 10度，等于60度。又因为AB等于AE所以三角形ABE就是一个等边三角形，所以我们连接BE。所以连接CE. AC. 等于AEAD角CA. D等于角。EAD所以AD垂直平分CE，所以点C的对称点就是点E。连接B连接FE那么BF。加EC。它就等于BF加FE。它就大于。等于。BE所以BF加FC的最小值就是BE因为三角形ABE是等边三角形，所以BE等于AB等于8，所以BF加CF的最小值即为8。好，下面我们继续学习。我们来看基针对训练第一题。如图，等边三角形ABC和等边三角形A撇B撇C边长都是3BCB撇在同一直线上，点P在线段ABC上，求AP加BP的最小值。我们看到点P在ABC上运动，AB是ABC同旁的同侧的两点。所以这也是一个典型的将军饮马模型。我们考虑做A的对称点还是B的对称点呢？有同学觉得B的对称点不就是B撇吗？但是这里面。有一个问题，B是关于点C的对称点是BP而我们要求的是我们要做的是B点，关于ABC的对称点，那就不是B撇了。我们看CA等于CB。角ACA撇是多少度角A撇CB撇是60度，角ACB也是60度，所以角ACA撇也是60度，所以角ACA撇等于角ACB撇。如果我们连接AB撇的话，我们可以发现CA撇就垂直平分AB瞥根据三心合一，所以A的对称点就是BP。BB撇就是。AP加BP的最小值，AP加BP就等于。BPP加BP那就大于。等于。BB撇，所以AP加BP的最小值就是BB撇。BC等于3，BPC也等于3，所以最小值就是6。好。下面我们来看针对训练2。如图三角形ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是ac的中点，P是AB上一个动点。当PC与PE的和最小值角CPE的度数是多少？当PC与PE的和最小的时候，要求角CPE的度数，我们关键是把这图给画下来。那么C点E点在直线AB的同侧，点P在直线AB上运动，所以这也是一个将军饮马问题。AD是BC边上的高，ABC是等边三角形，所以点C关于AB的对称点就是B点。我们连接BEBP可以看到BPC加PE就等于PB加PE就大于等于BE当点BPE3点公斤. 的时候。和最小，那么这个时候的角CPE是多少度呢？因为BE是ac边的中线，所以也是高。AD是。高也是。角平分线，BE也是角平分线，所以CP也是角ACB的平分线，所以角PCE等于2分之1，角ACB等于30度，所以角CPE等于60度。好，下面我们继续学习针对训练3。如图，在等边三角形ABC中，BD是中线点，PQ分别在ABAD上，且BP等于AQ等于QD等于一点。E在。BD上。那么PE加QE的最小值为多少？大家看到点E在PD上运动，PQ是BD同侧的两点，因此也是一个将军野马模型。我们是找P的对称点和Q0，还是找Q的对称点和P点呢？考虑到BD是等边三角形的中线，也就是角ABC的平分线，所以点P关于BD的对称点一定落在BC上，所以我们找P的对称点P瞥。那么P1加1Q它就等于P撇E加EQ。PPE加EQ最小的时候就是当PPEQ3点公心的时候最小。P和P撇关于AB对称，所以BP撇等于BP也等于1CA. 等于。CB等于多少呢？AQ等于QD等于1，D是ac的中点，所以DC等于2，所以AC就等于4，所以CB也等于4，所以CP也等于3，CQ也等于3，所以CQ等于CP撇。又因为角C等于60度，所以三角形CPQP瞥就是一个等边三角形。所以P撇Q就等于。CQ等于3，也就是说PE加QE的最小值为三，故选B。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精简课程。本课程包含最值问题、函数参数问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先从学习八年级上册最值问题开始，共十九讲。今天我们学习第五讲，先找动点轨迹确定或先确定一个定点，再利用垂线段最短求一条线段的最小值。如图，三角形ABC和3角形ADE都是等腰三角形，角BAC等于角DAE等于120度，AB等于8，O是ac的中点。若点D在直线BC上运动连接OE，则点D在运动过程中线段OE的最小值为多少？我们让点D在BC上运动，观察点E观察物异长度的变化。点E随着点滴的运动而运动，我们就叫它主从联动。点D在直线BC上运动，那么点E的轨迹是什么呢？在我们数学上有一个原理叫做瓜豆原理。一是点D在直线上运动，那么点E也在直线上运动。如果点D在圆上运动，那么点C也就在一圆上圆动。所以我们可以猜想点一的运动轨迹也是一条直线，而且要求是故意的。最小值跟。垂线段最短。也可以猜想点E是一条直线上运动，那么是哪条直线上运动呢？我们甲点点D如果在B点的话，大家可以发现一就到了C点。所以说点D的运动轨迹，点E的运动轨迹就是射性CE。我们连接CE。因为AB等于ACAD等于AE。角BAC等于角DAE等于120度高鼎鼎双等腰。所以我们可以考虑这是一个手拉手模型。我们验证角BAD等于角EAC，所以三角形BAD全等于三角形EAC是边角边，从而就得到CE等于BD但我们要得到的是角ACE等于角B。因为角B等于多少呢？AB等于ac角BAC是120度，所以角B等于180度减120度除以2等于30度，所以角ACE也就等于30度，其中AC是一个定边，所以点E的运动轨迹就是射线CE。所以当OE垂直CE时，OE最短，但物意垂直CE时勿意最短。因为角ACE等于30度。OC等于二分之1ACAC等于AB等于8，所以OC等于4。但物意垂直。EC时OOE就等于2分之1OC。所以O一的最小值就是2分之1OC，OC等于4，所以等于2分之1乘以4等于2。好，我们再来看第二个思路，大家看到当点D在BC上运动的时候。点翳随着它运动。OE的长在不断的变化。我们可以设法找一个点。找一个顶点和D连接起来，使它的长度等于OE。我们考虑到O4AC的中点。AD等于AE我要找一个长度等于OE，那么就要构造一个三角形，与三角形AOE全等。所以我们可以选择AB的中点P连接DP。我们来看一看DP的场合OE的长是否相等。那么看看点D在运动过程中，它们的长度是否还是相等。我们可以观察到PD的长一直等于OE的长。怎么证明PD的长等于OE的长呢？AD等于AEAB等于ACOP分别是AC和AB的中点，所以AP是二分之1ABA5是2分之1A. C所以AP等于A5角. BAC等于角DAE120度，所以E证角PAD等于角OAE也是手拉手模型，所以三角形ADP全等于三角形AEO，所以PD等于OE这样OE的最小值我们就转化为求OP的最小值。而OP的最小值根据垂线段最短，就是当PD垂直BC时，PD最短。由于角B是30度，所以PD就等于。2分之1PB。所以PD等于2分之1，PBAB等于8，所以OBB等于4，所以等于2分之1乘以4等于2，所以OE的最小值就是2。好，下面我们来看针对训练。如图，在平面直角坐标系XOY中点AC的坐标分别是负三等于减20N角ACB等于90度，AC等于BC。则OB长的最小值为多少？乌斯定理，我们可以猜想B是在一条直线上运动。因为点C的坐标是0，NN是一个参数，所以点C是一个动点点动成线。点C在哪条直线上运动呢？因为点C的横坐标是0，所以点C在Y轴上运动。点B随着点C的运动而运动，所以点B它的运动轨迹也是一条直线。我们现在可以看到B. 点的运动。在一条直线上。由于角ACB等于90度，AC等于BC是个等腰直角三角形。等腰直角三角形置身于坐标系中，我们往往构建一线三垂直模型。也就是说做AG垂直Y轴，BH垂直Y轴，我们意在三角形ACG。全等于三角形CBH。这个角一和这个角二都是角三的余角相等，两个直角相等，AC等于BC所以三角形ACD全等于三角形CBH所以BH就等于CG。CG等于多少呢？C点的纵坐标是020，G点的纵坐标就是A点的纵坐标是N减2，所以等于N减去N减2就等于2。这样我们就得到BH等于2，也就是说B点的横坐标始终等于2，所以点B在直线X等于R上运动。所以当点B到了X轴3的时候，最小值，所以GB的最小值就为二，OB的最小值就为二。 同学们好，欢迎来到高三古四位课堂。高三古四位课堂为大家推出初中数学难题突破精简课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题，今天我们学习第七讲将军饮马与垂线段最短综合求两个动点的最小值问题。如图在RT3角形ABC中，角BAC等于90度。角ABC等于90度，AB等于六角，BAC等于30度。角BAC的平分线BC交BC于点DEF分别是线段AB和AB上的动点，则BE加EF的最小值是多少？这是一个双动点的问题。我们先假定F为定点。那么点E在AB上运动，BF在AB的同侧就是个将军饮马红旗。我们选择做哪个点的对称点呢？B点还是F点？由于AD是角平分线，B和F的对称点都在AC上，一般来讲我们选择做东点的对称点，也就是做F的对称点。FEP连接EFEP，这样BFBE加EF就等于BE加EFEP，所以最小值就是BFEP。由于F是终点，所以BFEP他也有最小值，就是当BFEP垂直AC的时候，BFBP最小。当BFEP垂直AC的时候，BFEP最小。我们做BH垂直于ac那么BFEP的最小值就是BH所以。B. E加EF的最小值就是BH。由于角A角BAC等于30度，所以BH就等于2分之1AB。等于3，也就是BE加EF的最小值就为三，我们也可以选择做点B的对称点。BP. 我们。连接EBP。这样大家可以看到。BE. 加EF的最小值，就是当BPEF3点共线的时候，就是BPF的长度。我们把BF连起来。连接BPF。BE加EF的最小值就是BPF但是F是动力，所以当BF垂直AB的时候当BF垂直AB的时候，BPF值的最小值，也就是说BE加EF的最小值等于BPF的。BPF的F是垂足的时候。因为角BAC等于30度。这个时候一点也应该落在BPF上，因为角BAC是30度，所以BPF就等于2分之1ABP。也就是等于2分之1AB。AB等于6，所以等于2分之1乘以6等于3。所以BE加EF的最小值即为三。好，下面我们来看站队训练。如图，在RT3角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于6，BC等于8，AB等于十点，DE分别是。ABCAB上的动点，那么AD加DE的最小值是多少？我们先假定一是定定，那么AE就是直线BC同侧的2点点D在BC上运动，这也是一个坚决引码问题。考虑到角C等于90度，所以我们选择做点A的对称点和一连接做A的关于BCC的对称点。AP连接APE大家就可以看到AD加APD就等于APD，AD加DE就等于APD加DE就大于等于APE，大于。等于。APE。所以当APE垂直AB的时候，APE最小。所以。AD加DE的最小值就是APE，这时候DP也应该是落在APE上。那么如何求APE呢？APE垂直AB我们可以想到APE其实就是三角形的一个高，所以我们要把APB连起来。我们用面积法，三角形AAPB的面积，它就等于2分之1个AB乘以APE。它也等于。2分之1AAP乘以。BC. AB. 是十。所以10乘以AB1就等于AAPAC是6，AAP就等于12，再乘以BC是8，所以APE等于9.6。故选B。 同学们好，欢迎来到高三古四微课堂。高三古四微课堂为大家推出初中数学难题突破精简课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。咱们首先学习八年级上册最值问题共19讲。今天我们学习第九讲，坚决以马模型的变式拓展两动点与定点求周长最小值问题。如图，已知角AOB等于30度，点C是角AOB内部的一点，且OC等于3DE是OAOB上的动点，则三角形CDE周长的最值等于最小值等于多少？我们做。点C关于。AB关于OB和OA的对称点。CPC2P交OB与EP叫OA与DP连接CDPCEP这个时候三角形CDE周长的最小值就是三角形CD撇一撇的最大值。由于epc等于。EPCPCPDP等于CPC2PDP，所以三角形CDBEP的周长就等于CPC点P。那么为什么三角形CDE的周长的最小值就是CPC连P呢？我们连接ECP和DC2P3又因为EC等于ECP，CD等于C2撇D所以三角形ECD的增长它就等于ECP加ED再加DC点P就大于等于CPC点P刚刚我们已经分析到三角形CPDCDPEP的周长就等于CPC面P所以说三角形CDE周长的最小值就是CPC连平。那么如何求CPC点P呢？我们只要连接OCPOC2边即可。因为点CCP关于OB对称，所以OC等于OCPCC点P关于OA对称，所以OC等于OC点P所以OCP等于OC点P。因为CCP对称可以得到角角一等于角2，我们出0.31元角0.23元等于角4，我们可以得到角一等于角0.23元等角4，所以我们可以得到角CPOOC点P就等于RB的角AOB。因为角AOB等于30度，所以角CPOC点P就等于60度，所以三角形OCPC点P是等边三角形，所以CPC点P就等于OCP，也就是等于OC。OC等于3，所以CPC减P等于3，也就是说三角形CDE周长的最小值为三，故选。A. 好，下面我们继续学习，坚决以马模型的。边式拓展两动。点一定点求周长最小值的问题。我们来看针对训练。如图，在四边形ABCD中，角BAD等于105度角B等于角D等于90度。BCCD上分别找一个点，MA是三角形AMN的周长最小，则角AMA加角ANM等于多少度？要使得三角形AMN的周长最小。我们就应该。我们来看一看，要使得AMA增长最小，所以我们要做A关于CB的对称点A1，A关于CD的对称点A2。那么三角形AMN的周长就等于多少呢？三角形AMN的周长就等于，因为MA等于MA1，A1A等于A1A2，所以这个三角形AMN的周长就等于A1M。加上MN再加上ANA2，它就大于等于A1A2。也就是说，当MN和A1A24点更新新的时候，周长最小。好，那么角AMA加角ANM怎么求呢？因为MA一等于MA所以角A一等于角A1AM所以角AMN它就等于二倍的角A1。同样的NA等于A1A2，所以角AN。M就等于2B的角A2。因为角BAD是105度，所以角A一再加角A2就等于180减105度，等于75度，所以角AMA加角ANM。就等于。二倍的角A1加角A2。就等于R乘以75度，等于150度。 专题15 八年级数学上压轴题最短路径问题最值问题讲义（共19讲） 专题解读： 最值问题是中考的重点，也是八年级期中期末的重点，也是同学们学习的难点。老师将八年级上册的最值问题进行了海选和筛选，并归类总结了突破方法或解题思路，共19讲。几乎涵盖了八上所有的类型。每一讲都精选一个例题和若干针对训练，每一题老师都制作了精美的动图，并用视频的方法讲解，从而让难题变得简单，让同学们理解变得容易，思维变得深刻，学习变得轻松。如果同学你在八年级上学期掌握了突破最值的方法，那么在八年级下学期，在九年级你学最值问题都会很轻松。在店铺里有讲解视频，如果你对试题解析感到模模糊糊的，模棱两可的，弄不清楚的，可以下载看看哦。 讲义预览： 第1讲 利用角平分线的性质结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段最小值 第2讲 利用等积法结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段的最小值 第3讲 利用不等式结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最值 第4讲 利用等量代换结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最小值 第5讲 先找动点轨迹或先确定一个定点再利用垂线段最短求一条线段的最小值 第6讲 利用将军饮马模型求两条线段和的最小值 第7讲 将军饮马与垂线段最短综合求两个动点的最小值问题 第8讲 将军饮马的拓展求两条线段差的最大值的思路 第9讲 将军饮马模型的变式拓展两动点一定点求周长最小值问题 第10讲 将军“遛马”问题（两定点一动线段） 第11讲 逆等线段构造全等三角形求最值问题 第12讲 构建手拉手模型解决瓜豆原理最值问题 第13讲 先根据距离定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型解决问题 第14讲 先根据角度定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型或垂线段最短解决问题 第15讲 构造全等三角形求两条线段和的最大值 第16讲 胡不归问题 第17讲 面积最值问题 第18讲 一条线段的最大值问题 第19讲 由三角形的角平分线性质得到动点轨迹，再利用将军饮马模型解决 第1讲 利用角平分线的性质结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段最小值 【典例】（2024秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　4　． 【思路引领】过点D作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E， ∵△BCD的面积为16，BC＝8，∠C＝90°， ∴CD＝4， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4， 当AP⊥直线l时，AP的值最小， 此时四边形APDE为矩形， ∴AP＝DE＝4， ∴AP最小值为4， 故答案为：4． 【总结提升】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•东台市月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD＝5，则PQ的最小值为（　　） A．PQ＜5 B．PQ＝5 C．PQ＞5 D．以上情况都有可能 【思路引领】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD． 【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PQ＝PD＝5， 即线段PQ的最小值是5． 故选：B． 【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并判断出角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD是解题的关键． 第2讲 利用等积法结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段的最小值 【典例】（2025春•海安市月考）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，AB＝25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【思路引领】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时△ABC的面积•AB•PC•AC•BC， ∴25PC＝15×20， ∴PC＝12， ∴线段PC的最小值是12． 故选：A． 【总结提升】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是掌握三角形的面积公式、垂线段最短的运用． 【针对训练】 1．（2025春•界首市期末）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝8，AE为BC边上的高，AE＝7，P为AB上一动点，则PC的最小值为 　　 ． 【思路引领】过点C作CD⊥AB于点D，利用等积法求出CD长．根据垂线段最短，得出当CP⊥AB时，即点P与点D重合时，PC最小． 【解答】解：在△ABC中，AB＝9，BC＝8，AE为BC边上的高，AE＝7，如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∴， ∴AB•CD＝BC•AE， ∴9CD＝8×7， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，PC最小， 即PC最小值为， 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 第3讲 利用不等式结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最值 【典例】（2024秋•思明区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为（　　） A． B． C． D．2 【思路引领】要使BF最大，则AF需要最小，而AF＝FD，从而通过垂线段最短来解决问题． 【解答】解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF， Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4， ∵EF垂直平分AD， ∴AF＝DF， 若要使BF最大，则AF需要最小， 设AF＝x，则BF＝4﹣x， ∵∠B＝30°， ∴FHBF＝2x， ∴x≥2x， 解得x， ∴AF最小值为，BF的最大值为4， 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键． 第4讲 利用等量代换结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最小值 【典例】（2024秋•启东市期中）如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 　　 ． 【思路引领】由轴对称的性质得出MN＝AP，即可求解． 【详解】解：连接PM，PN，AM，AP，AN，ρ ∵点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N， ∴AB垂直平分PM，AC垂直平分PN， ∴AM＝AP，AN＝AP， ∴∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC， ∵∠PAB+∠PAC＝30°， ∴∠MAB+∠NAC＝30°， ∴∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴MN＝AM＝AP， 当AP⊥CB时，AP最小，此时NM最小， ∵S△ABC＝8， ∴BC•AP＝8， ∴AP， ∴MN的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段最小值的问题，关键是应用轴对称的性质得出MN＝AP． 第5讲 先找动点轨迹或先确定一个定点再利用垂线段最短求一条线段的最小值 【典例】（2024秋•息县期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，AB＝8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为 　2　． 【思路引领】取AB的中点G，连接GD，过点G作GH⊥BC于点H．先证得△GAD≌△OAE，得出GD＝OE，当GD⊥BC时，GD的长最小，为GH的长．据此进行解答． 【解答】解：如图，取AB的中点G，连接GD，过点G作GH⊥BC于点H． ∵△ABC和ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠B＝30°． ∴O为AC的中点，G为AB的中点， ∴AG＝AO． 又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠GAD＝∠OAE． 在△GAD和△OAE中， ， ∴△GAD≌△OAE（SAS）， ∴GD＝OE． 当GD⊥BC时， GD的长最小，为GH的长． ∵AB＝8， ∴BG＝AGAB＝4， ∴GHBG＝2． ∴OE的最小值为2． 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•如皋市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C的坐标分别为（﹣3，n﹣2），（0，n）（n为任意实数），∠ACB＝90°，AC＝BC，则OB长的最小值为 　2　． 【思路引领】作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F，则E（0，n﹣2），先推导出∠EAC＝∠FCB＝90°﹣∠OCA，再证明△EAC≌△FCB，则EC＝FB＝n﹣（n﹣2）＝2，作直线BG⊥x轴于点G，则G（2，0），可知点B在直线x＝2上运动，由OB≥OG，得OB≥2，则OB长的最小值为2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F，则∠AEC＝∠CFB＝90°， ∵A（﹣3，n﹣2），C（0，n）， ∴E（0，n﹣2）， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EAC＝∠FCB＝90°﹣∠OCA， 在△EAC和△FCB中， ， ∴△EAC≌△FCB（AAS）， ∴EC＝FB＝n﹣（n﹣2）＝2， ∴点B的横坐标为2， 作直线BG⊥x轴于点G，则G（2，0）， ∴点B在直线x＝2上运动， ∵OB≥OG， ∴OB≥2， ∴OB长的最小值为2， 故答案为：2． 第6讲 利用将军饮马模型求两条线段和的最小值 【典例】（2024秋•崇川区期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝8，∠ABC＝80°，△ABC≌△ADE，∠DAC＝20°，F为线段AD上一动点，则BF+CF的最小值为　8　． 【思路引领】连接EF，BE，CE，证明△ABE是等边三角形，得到BE＝AB＝8，再证明△AFC≌△AFE，推出CF＝EF，由此得到BF+CF≥BE，当B，E，F三点共线时，BF+CF有最小值，即为线段BE的长． 【解答】解：连接EF，BE，CE， ∵∠ACB＝∠ABC＝80°，∠BAC＝20°， 由题意可得：AB＝AC＝AD＝AE＝8，∠DAE＝∠BAC＝20°， ∴∠BAE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝8， ∵∠CAF＝∠EAF，AC＝AE，AF＝AF， ∴△AFC≌△AFE（SAS）， ∴CF＝EF， ∵BF+EF≥BE，即BF+CF≥BE， ∴当B，E，F三点共线时，BF+CF有最小值，即为线段BE的长， ∴BF+CF的最小值为8， 故答案为：8． 【针对训练】 1．（2023秋•上期末）如图，等边三角形ABC和等边三角形A′B′C的边长都是3，点B，C，B′在同一条直线上，点P在线段A′C上，则AP+BP的最小值为 　6　． 【思路引领】连接PE，证明△ACP≌△B'CP，可得AP＝B'P，所以AP+BP＝AP+B'P，当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BB'的长，进而可得AP+BP的最小值． 【解答】解：如图，连接PB'， ∵△ABC和△A′B′C都是边长为3的等边三角形， ∴AC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB＝60°， ∴∠ACA'＝60°， ∴∠ACA'＝∠A'CB'， ∴△ACP≌△B'CP（SAS）， ∴AP＝B'P， ∴AP+BP＝BP+B'P， 当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BB'的长， 所以AP+BP的最小值为：2×3＝6． 故答案为：6． 2．（2024•惠阳区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 　60°　． 【思路引领】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题； 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故答案为60°． 【总结提升】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 3．（2023秋•行唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路引领】在BC上其一点P'，使BP'＝BP＝1，连接PP'，P'Q，EP'，证明出PE+QE的最小值为线段P'Q的长，△CP'Q是等边三角形，即可求出P'Q的长，从而解决问题． 【解答】解：如图，在BC上其一点P'，使BP'＝BP＝1，连接PP'，P'Q，EP'， ∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D， ∴直线BD是△ABC的对称轴，点P'与点P关于BD对称，AC＝2AD， ∴PE＝P'E， ∴PE+QE＝P'E+QE≥P'Q， ∴PE+QE的最小值为线段P'Q的长， ∵AQ＝QD＝1， ∴AC＝2（AQ+QD）＝2×2＝4， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠C＝60°， ∵AQ＝BP'＝1， ∴CP'＝CQ， ∴△CP'Q是等边三角形， ∴P'Q＝CQ， ∵CQ＝AC﹣AQ＝4﹣1＝3， ∴PE+QE的最小值为3， 第7讲 将军饮马与垂线段最短综合求两个动点的最小值问题 【典例】 （2024秋•双台子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是　 　． 【思路引领】根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，根据30°直角三角形的边的性质即可求解． 【解答】解：方法一：如图1所示： 在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AB′E（SAS）． ∴BE＝B′E， ∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF， ∵垂线段最短， ∴此时BE+EF最短． ∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°， ∴B′FAB′＝3． 故答案为3． 方法二：如图2所示： 在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H， 同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS） ∴EG＝EF， ∴BG＝BE+EG＝BE+EF， 当BG垂直于AC时最短， 即BH的长最短， ∵AB＝6，∠BAC＝30°， ∴BH＝3． 故答案为3． 【总结提升】本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点． 【针对训练】 1．（2024秋•高坪区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【思路引领】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D．则AD＝A'D，所以AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E． 【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D. 则AD＝A'D， ∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E． 即AD+DE的最小值为A'E． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，AA'＝12， ∵S△AA'B， ∴A'E9.6， 即AD+DE的最小值为9.6． 故选：B． 【总结提升】此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键． 第8讲 将军饮马的拓展求两条线段差的最大值的思路 【典例】（2023秋•高新区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，PA﹣PB的最大值为 　6　． 【思路引领】先找出BC的长，再确定PA﹣PB的取得最大值为BC的长即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分AC， ∴MA＝MC， ∵△BMC的周长是16，AB＝10， ∴BC＝△BMC的周长﹣（MC+MB）＝16﹣（AM+MB）＝16﹣AB＝16﹣10＝6， 点P在直线MN上，如图，连接PA，PC，PB， ∵点P在AC的垂直平分线MN上， ∴PA＝PC， ∴PA﹣PB＝PC﹣PB≤BC＝6， 故PA﹣PB的最大值为6，此时点P是直线MN与直线BC的交点． 故答案为：6． 【针对训练】 1．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，求|PA﹣PB|的．最大值． 【思路引领】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，|PA﹣PB|＝A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，根据三角形的内角和得到∠ACD＝75°，于是得到∠CAA′＝15°，根据轴对称的性质得到A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，|PA﹣PB|＝A′B， 连接A′C， ∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°， ∵∠BCD＝15°， ∴∠ACD＝75°， ∴∠CAA′＝15°， ∵AC＝A′C， ∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°， ∴∠ACA′＝150°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A′CB＝60°， ∴△A′BC是等边三角形， ∴A′B＝BC＝4． 故|PA﹣PB|的最大值为：4． 2．（2024春•锦江区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，M是AC边上的中点，Q是BC边中点，N是线段CQ任意一点，P是AB边上任意一点，P关于AC对称的点为P′，已知AB，则NP′﹣MP的最大值为 　　 ． 【思路引领】连接MP′，MN，由对称性和三角形三边关系可知，NP′﹣MP＝NP′﹣MP′≤MN′，且当点M与点Q重合时，取得最大值，根据等边三角形的性质与判定可得出最大值． 【解答】解：如图，连接MP′，MN， ∵点P，P′关于AC对称， ∴MP＝MP′， ∴NP′﹣MP＝NP′﹣MP′， 在△MNP′中，由三角形三边关系可知，NP′﹣MP′＜MN， 当M，N，P′三点共线时，NP′﹣MP′＝MN， ∴NP′﹣MP′≤MN，且当N与点Q重合时，取得最大值，即NP′﹣MP′≤MQ，即NP′﹣MP的最大值为MQ的长． 在等边△ABC中，AB， ∴AC＝AB＝BC，∠C＝60°， ∵点M为AC的中点，点Q为BC的中点， ∴CQ＝MCAC， 即NP′﹣MP的最大值为． 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查等边三角形的性质与判定，轴对称的性质等相关知识，关键是找到何时取得最大值． 第9讲 将军饮马模型的变式拓展两动点一定点求周长最小值问题 【典例】（2024秋•西华县期末）如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【思路引领】作点C关于OA、OB的对称点，分别作点C关于OA的对称点C1，关于OB的对称点C2；连接C1C2，OC2，OC1，根据题意求得∠C1OC2的度数，进而证明△C1OC2是等边三角形，从而求解． 【解答】解：作点C关于OA、OB的对称点，分别作点C关于OA的对称点C1，关于OB的对称点C2，连接C1C2，OC2，OC1， ∴CD＝C1D，CE＝C2E， 此时△CDE的周长＝CD+DE+CE＝C1D+DE+C2E＝C1C2； 即当D、E为上述所作的交点时，△CDE的周长取得最小值，最小值为C1C2的长度， ∵点C与C1关于OA对称，点C与C2关于OB对称， ∴OA是CC1的垂直平分线，OB是CC2的垂直平分线； ∴∠C1OA＝∠AOC，∠C2OB＝∠BOC， ∵∠AOB＝30°， ∴∠C1OC2＝2∠AOB＝2×30°＝60°； ∴OC1＝OC＝OC2＝3， 在△C1OC2中，OC1＝OC2＝3，∠C1OC2＝60°， ∴△C1OC2是等边三角形； ∴C1C2＝OC1＝OC2＝3， 即△CDE周长的最小值为3； 故选：A． 【总结提升】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【针对训练】 1．（2023秋•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　150　°． 【思路引领】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠A′+∠A″＝75°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案． 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值． ∵∠DAB＝105°， ∴∠A′+∠A′′＝180°﹣∠BAD＝180°﹣105°＝75°， ∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×75°＝150°， 故答案为：150． 第10讲 将军“遛马”问题（两定点一动线段） 【典例】（2024秋•右玉县期末）已知A（1，2），B（7，4），M，N是x轴上两动点（M在N左边），MN＝3，请在x轴上画出当AM+MN+NB的值最小时，M，N两点的位置． 【思路引领】作点A关于x轴的对称点A'（1，﹣2），再将点B向左平移3个单位得到点B'，连接A'B'，与x轴交于点M，将A'向右平移3个单位得到点C，连接CB，与x轴交于点N． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点A'（1，﹣2）， 再将点B向左平移3个单位得到点B'，连接A'B'，与x轴的交点即为点M，将A'向右平移3个单位得到点C，连接CB，与x轴的交点即为N．点M，N即为所求. 【点睛】本题考查了最短路线问题，正确运用轴对称的性质是解题的关键． 【针对训练】 如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2,当BP= 时，四边形APQE的周长最小。 解：如图， 可得BP=4 第11讲 逆等线段构造全等三角形求最值问题 【典例】如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝80°，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD．当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数． 【思路引领】在BC下方，过点C作∠BCP＝80°，且CP＝AB，连接DP．证明△ABE≌△CPD（SAS），得到BE＝PD，则当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小，求出∠ACB＝50°，得到∠ACP＝130°，再由AB＝AC＝CP，得到∠CAP＝25°，即可求出∠ADC＝105°． 【详解】解：如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP＝80°，且CP＝AB，连接DP． ∵AE＝CD，∠BAE＝∠PCD＝80°， ∴△ABE≌△CPD（SAS）， ∴BE＝PD， ∴当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小． ∵AB＝AC，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝50°， ∴∠ACP＝130°， ∵AB＝AC＝CP， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣50°﹣25°＝105°． 【总结提升】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【针对训练】 1．（2023秋•海安市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝65°，BD是AC边上的高，点E，F分别在AB，BD上，且AE＝BF，当AF+CE的值最小时，∠AFD的度数是 　70　°． 【思路引领】过A作AG⊥AC，使得AG＝AB，连接GE，构造全等三角形，依据△AGE≌△BAF（SAS），即可得到AF＝GE，进而得出AF+CE的最小值等于CG的长，再根据△ACG是等腰直角三角形，即可得到∠G＝45°＝∠BAF，进而得出结论． 【解答】解：如图所示，过A作AG⊥AC，使得AG＝AB，连接GE， ∵BD⊥AC，GA⊥AC， ∴BD∥AG， ∴∠ABF＝∠GAE， 又∵AG＝BA，AE＝BF， ∴△AGE≌△BAF（SAS）， ∴AF＝GE， ∴AF+CE＝GE+CE， ∴当G，E，C三点共线时，AF+CE的最小值等于CG的长， 此时，AG＝AC，∠GAC＝90°，即△ACG是等腰直角三角形， ∴∠G＝45°＝∠BAF， 又∵Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝25°+45°＝70°， 故答案为：70°． 【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 第12讲 构建手拉手模型解决瓜豆原理最值问题 【典例】（2020秋•海安市期末）已知，如图，△ABC是边长为4的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为 　1　． 【思路引领】取AB中点H，连接DH，由“SAS”可证△BHD≌△BFE，可得EF＝DH，则当DH取最小值时，EF有最小值，即当DH⊥AF时，DH有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，取AB中点H，连接DH， ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠EBC， ∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC， ∴BFBCAB＝2，∠BAF＝30°， ∵H是AB中点， ∴AH＝BHAB＝BF＝2，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE， ∴△BHD≌△BFE（SAS）， ∴EF＝DH， ∴当DH取最小值时，EF有最小值， 当DH⊥AF时，DH有最小值， ∴DHAH＝1， ∴EF的最小值为1． 故答案为：1． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明EF＝DH是本题的关键． 【针对训练】 1．（2023秋•厦门校级期中）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，BC＝4，F为BC中点，若点D在直线AF上运动，连接EF，则在D点运动过程中，线段EF的最小值为 　　 ． 【思路引领】连接BE，根据题意可证△BEC≌△ADC（SAS），再根据垂线段最短可知，当EF⊥BE时，EF有最小值即可求解． 【解答】解：连接BE， ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， 又∵F为BC中点， ∴，， ∵∠ACD＝∠BCA﹣∠BCD，∠BCE＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△BEC和△ADC中， ， ∴△BEC≌△ADC（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD＝30°， 由题意可知，点D在直线AF上运动，则点E在BE所在直线上运动， ∴当EF⊥BE时，EF有最小值， 在Rt△BEF中，∠CBE＝30°，BF＝2， ∴， 故答案为：1． 【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第13讲 先根据距离定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型解决问题 【典例】（2024秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路引领】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC． 【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的， ∴P点在AD的垂直平分线上， 作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点， 由对称性可知，B'P＝BP， ∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小， ∵AD＝BB'，AD＝BC， ∴BB'＝BC， ∴△BCB'是等腰直角三角形， ∴∠B'CB＝∠B'＝45°， ∴∠B'BP＝45°， ∴∠PBC＝45°， 故选：B． 【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 　45°　． 【思路引领】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将军饮马模型，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图， ∵DE∥AB， ∴∠DEF＝∠BAC＝30°， ∵DF⊥AC， ∴DFDE＝1， ∴点D到直线AC的距离等于定值1． 过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动， 作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知： 此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小． 由题意：AA′⊥l，AG＝GA′， ∵l∥AC，DF⊥AC， ∴四边形AFDG为矩形， ∴AG＝DF＝1， ∴AA′＝AG+A′G＝2， ∵AB＝AC＝2， ∴AB＝AA′， ∴∠ABA′＝∠A′． ∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°， ∴∠BAA′＝120°， ∴∠ABA′＝∠A′30°． ∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2， ∴∠ABC＝∠ACB75°， ∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°． 故答案为：45°． 第14讲 先根据角度定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型或垂线段最短解决问题 【典例】（2024秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　） A． B． C．ab D．a 【思路引领】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小． 【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF＝CFa，BF＝b， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC， ∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b， ∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FMa+b， 故选：B． 【针对训练】 1．（2024•翠屏区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是 　　 【思路引领】如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．证明△CDP≌△TDQ（SAS），推出∠DCP＝∠DTQ＝90°，推出∠CTQ＝30°，推出点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小． 【解答】解：如图在CD的下方作等边△CDT， ∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT， ∴∠CDP＝∠QDT， 在△CDP和△TDQ中， ， ∴△CDP≌△TDQ（SAS）， ∴∠DCP＝∠DTQ＝90°， ∵∠CTD＝60°， ∴∠CTQ＝30°， ∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值）， 当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值CTCDBC＝1． 故答案为：1． 【总结提升】本题主要看考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第15讲 构造全等三角形求两条线段和的最大值 【典例】（2024秋•如东县期末）如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 　4　． 【思路引领】过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，证明△ADE≌△BDH，根据全等三角形的性质得到AE＝BH，得到答案． 【解答】解：过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H， 在△ADE和△BDH中， ， ∴△ADE≌△BDH（AAS）， ∴AE＝BH， ∴AE+CF的最大值是BH+CF的最大值， 由题意可知：BH+CF≤BC， ∴AE+CF的最大值为4， 故答案为：4． 【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•通州区期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F．若AE+BF的最大值可用图中的一条线段长表示，则这条线段是 　AC　 ． 【思路引领】过点C作CK⊥l于点K，过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N，证明△BDF≌△CDK（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝CK，证出AE+BF＝AE+EN＝AN，当AC⊥l时，AN与AC重合，则AN最大，则可得出答案． 【解答】解：过点C作CK⊥l于点K，过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N， ∵BF⊥l，CK⊥l， ∴∠BFD＝∠CKD＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDK中， ， ∴△BDF≌△CDK（AAS）， ∴BF＝CK， ∵∠CKE＝∠KEN＝∠N＝90°， ∴四边形CKEN是矩形， ∴CK＝EN， ∴BF＝EN， ∴AE+BF＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当AC⊥l时，AN与AC重合，则AN最大， 即AE+BF的最大值为AC， 故答案为：AC． 【总结提升】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质并作出正确的辅助线是解题的关键． 第16讲 胡不归问题 【典例】（2024秋•如皋市期中）如图，∠BAC＝30°，M为射线AB上一动点（不与点A重合），点N在射线AC上，且AN＝6．点M运动的过程中，当取最小值时，∠AMN的度数是 　120　°． 【思路引领】作∠BAF＝30°，作MD⊥AF于D，连接XD，作NE⊥AF于E，从得出DM，∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝60°，从而得出MN，可得出MN+DM≥DN≥NE＝3，从而得出（）最小值＝3，此时M是NE与AB的交点，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 作∠BAF＝30°，作MD⊥AF于D，连接XD，作NE⊥AF于E， ∴DM，∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝60°， ∴MN，ENAN， ∵MN+DM≥DN≥NE＝3， ∴（）最小值＝3，此时M是NE与AB的交点， ∴∠AMN＝90°+30°＝120°， 故答案为：120． 【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造AM． 第17讲 面积最值问题 11．（2024秋•海安市期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝10，BC﹣AB＝4，则△ADC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【思路引领】延长CD、BA交于E，过C作CH⊥BE于H，由角平分线定义得到∠CBD＝∠EBD，由垂直的定义得到∠BDC＝∠BDE＝90°，而BD＝BD，判定△BCD≌△BED（ASA），推出BC＝BE，DE＝DC，得到S△ADCS△EAC，当△EAC的面积最大时，△ACD的面积最大，求出AE＝4，求出△EAC面积的最大值＝20，即可得到△ADC面积的最大值． 【解答】解：延长CD、BA交于E，过C作CH⊥BE于H， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵CD⊥BD于点D， ∴∠BDC＝∠BDE＝90°， ∵BD＝BD， ∴△BCD≌△BED（ASA）， ∴BC＝BE，DE＝DC， ∴S△ADCS△EAC， ∴当△EAC的面积最大时，△ACD的面积最大， ∵BC﹣AB＝4， ∴AE＝BE﹣AB＝BC﹣AB＝4， ∵△EAC的面积EA•CH，CH≤AC＝10， ∴△EAC面积的最大值4×10＝20， ∴△ADC面积的最大值为20＝10． 故选：B． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，垂线段最短，关键是判定△BCD≌△BED（ASA），推出BC＝BE，DE＝DC，得到S△ADCS△EAC． 【针对训练】 1．（2024秋•海门区期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC＝7，BC﹣AB＝2，则△ADC面积的最大值为 　　 ． 【思路引领】延长CD、BA，交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC（ASA），即有BC＝BG，CD＝DG，进而有AG＝BC﹣AB＝2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH＝AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD＝DG，可得，则△ACD的最大面积可求． 【解答】解：延长CD、BA，交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBG＝∠DBC， ∵BD⊥CD， ∴∠BDG＝∠BDC＝90°， 在△BDG和△BDC中， ， ∴△BDG≌△BDC（ASA）， ∴BC＝BG，CD＝DG， ∵BC﹣AB＝2， ∴AG＝BG﹣AB＝BC﹣AB＝2， ∵在△AGC中，GH⊥AC， ∴△AGC的面积， ∵AC＝7， ∴， ∵在△AGH中，GH⊥AH， ∴∠GHA＝90°，△AGH是直角三角形，斜边为AG， ∴GH＜AG， ∵AG＝2， ∴GH＜2， 当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH＝AG， 此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△AGC的最大面积为：， ∵CD＝DG， ∴D点为CG中点， ∴， ∴△ACD的最大面积为：， 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大是解答本题的关键． 2．（2025春•梁溪区期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【思路引领】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小． 【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H． ∵S△OMN•MN•OH＝12，MN＝6， ∴OH＝4， ∵点P关于OA的对称点为P1，点P关于OB的对称点为P2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2 ∵∠AOB＝45°， ∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°， ∴△OP1P2是等腰直角三角形， ∴OP＝OH最小时，△OP1P2的面积最小， 根据垂线段最短可知，OP的最小值为4， ∴△OP1P2的面积的最小值4×4＝8， 故选：B． 【总结提升】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型． 第18讲 一条线段的最大值问题 【典例】（2025春•宝丰县期末）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 　19　 ． 【思路引领】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故答案为：19． 【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 【针对训练】 1．（2025春•渠县期末）如图，在面积为48的等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 　　 ． 【思路引领】连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM＝AP＝AN、△MAN为顶角为定值的等腰三角形，当AM的值最大时，MN的值最大，观察图象可知，当点P与B或C重合时，AM的值最大，MN的值最大． 【解答】解：如图1中，连接AM、AN、AP． ∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N， ∴AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC， ∴△MAN为顶角为定值的等腰三角形， ∴当AM的值最大时，MN的值最大， 即点P与B或C重合时，AP＝AM的值最大，如图2中（当点P与B重合）， 设MN交AC于点T． ∵M，N关于AC对称， ∴MT＝TN， ∵S△ABC•AC•MT＝48，AC＝10， ∴MT， ∴MN， ∴MN的最大值为． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了轴对称的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是找出MN最长时点P的位置． 第19讲 由三角形的角平分线性质得到动点轨迹，再利用将军饮马模型解决 【典例】（2024秋•江阴市期末改编）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC上一点，AD＝2，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且不与端点重合，作∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，则DG+CG的最小值为 　　 ． 【思路引领】作GP⊥BA于点P，GQ⊥BC于点Q，GI⊥EF于点I，连接AG、AD，由角平分线的性质得PG＝QG＝IG，则BG平分∠ABC，因为△ABC是等边三角形，所以BG垂直平分AC，由DG+AG≥AD，得DG+CG，所以DG+CG的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：作GP⊥BA于点P，GQ⊥BC于点Q，GI⊥EF于点I，连接AG、AD， ∵EG平分∠AEF， ∴PG＝IG， ∵FG平分∠EFC， ∴QG＝IG， ∴PG＝QG， ∴点G在∠ABC的平分线上， ∴BG平分∠ABC， ∵△ABC是等边三角形，AB＝2， ∴BG垂直平分AC， ∴AG＝CG， ∵DG+AG≥AD， ∴DG+CG， ∴DG+CG的最小值为， 故答案为：． 【总结提升】此题重点考查轴对称﹣最短路线问题、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1，如图，在△ABC中，AB=6，AC=11，BC=12，点D是BC的中点，点E，F分别是AB，BC上的动点，且不与端点重合，作∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，则DG＋CG的最小值是 ． 【解答】解：链接BG，∵EG、FG是角平分线， ∴BG是∠B的平分线 ∵AB=AD=6, ∴D关于BG的对称点是点A， ∴DG+CG的最小值是AC，即最小值是11 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 八年级数学上压轴题最短路径问题最值问题讲义（共19讲）动图视频讲解 专题解读： 最值问题是中考的重点，也是八年级期中期末的重点，也是同学们学习的难点。老师将八年级上册的最值问题进行了海选和筛选，并归类总结了突破方法或解题思路，共19讲。几乎涵盖了八上所有的类型。每一讲都精选一个例题和若干针对训练，每一题老师都制作了精美的动图，并用视频的方法讲解，从而让难题变得简单，让同学们理解变得容易，思维变得深刻，学习变得轻松。如果同学你在八年级上学期掌握了突破最值的方法，那么在八年级下学期，在九年级你学最值问题都会很轻松。在店铺里有讲解视频，如果你对试题解析感到模模糊糊的，模棱两可的，弄不清楚的，可以下载看看哦。 讲义预览： 第1讲 利用角平分线的性质结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段最小值 第2讲 利用等积法结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段的最小值 第3讲 利用不等式结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最值 第4讲 利用等量代换结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最小值 第5讲 先找动点轨迹或先确定一个定点再利用垂线段最短求一条线段的最小值 第6讲 利用将军饮马模型求两条线段和的最小值 第7讲 将军饮马与垂线段最短综合求两个动点的最小值问题 第8讲 将军饮马的拓展求两条线段差的最大值的思路 第9讲 将军饮马模型的变式拓展两动点一定点求周长最小值问题 第10讲 将军“遛马”问题（两定点一动线段） 第11讲 逆等线段构造全等三角形求最值问题 第12讲 构建手拉手模型解决瓜豆原理最值问题 第13讲 先根据距离定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型解决问题 第14讲 先根据角度定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型或垂线段最短解决问题 第15讲 构造全等三角形求两条线段和的最大值 第16讲 胡不归问题 第17讲 面积最值问题 第18讲 一条线段的最大值问题 第19讲 由三角形的角平分线性质得到动点轨迹，再利用将军饮马模型解决 第1讲 利用角平分线的性质结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段最小值 【典例】（2024秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　 　． 【针对训练】 1．（2024秋•东台市月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD＝5，则PQ的最小值为（　　） A．PQ＜5 B．PQ＝5 C．PQ＞5 D．以上情况都有可能 第2讲 利用等积法结合垂线段最短求一定点一动点的一条线段的最小值 【典例】（2025春•海安市月考）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，AB＝25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【针对训练】 1．（2025春•界首市期末）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝8，AE为BC边上的高，AE＝7，P为AB上一动点，则PC的最小值为 　 ． 第3讲 利用不等式结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最值 【典例】（2024秋•思明区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为（　　） A． B． C． D．2 第4讲 利用等量代换结合垂线段最短求两个动点的一条线段的最小值 【典例】（2024秋•启东市期中）如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 　 ． 第5讲 先找动点轨迹或先确定一个定点再利用垂线段最短求一条线段的最小值 【典例】（2024秋•息县期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，AB＝8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为 　 　． 【针对训练】 1．（2024秋•如皋市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C的坐标分别为（﹣3，n﹣2），（0，n）（n为任意实数），∠ACB＝90°，AC＝BC，则OB长的最小值为 　 　． 第6讲 利用将军饮马模型求两条线段和的最小值 【典例】（2024秋•崇川区期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝8，∠ABC＝80°，△ABC≌△ADE，∠DAC＝20°，F为线段AD上一动点，则BF+CF的最小值为　 ． 【针对训练】 1．（2023秋•上期末）如图，等边三角形ABC和等边三角形A′B′C的边长都是3，点B，C，B′在同一条直线上，点P在线段A′C上，则AP+BP的最小值为 　 　． 2．（2024•惠阳区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 　． 3．（2023秋•行唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 第7讲 将军饮马与垂线段最短综合求两个动点的最小值问题 【典例】 （2024秋•双台子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是　 　． 【针对训练】 1．（2024秋•高坪区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 第8讲 将军饮马的拓展求两条线段差的最大值的思路 【典例】（2023秋•高新区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，PA﹣PB的最大值为 ． 【针对训练】 1．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，求|PA﹣PB|的．最大值． 2．（2024春•锦江区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，M是AC边上的中点，Q是BC边中点，N是线段CQ任意一点，P是AB边上任意一点，P关于AC对称的点为P′，已知AB，则NP′﹣MP的最大值为 　 ． 第9讲 将军饮马模型的变式拓展两动点一定点求周长最小值问题 【典例】（2024秋•西华县期末）如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【针对训练】 1．（2023秋•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°． 第10讲 将军“遛马”问题（两定点一动线段） 【典例】（2024秋•右玉县期末）已知A（1，2），B（7，4），M，N是x轴上两动点（M在N左边），MN＝3，请在x轴上画出当AM+MN+NB的值最小时，M，N两点的位置． 【针对训练】 1.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2,当BP= 时，四边形APQE的周长最小。 第11讲 逆等线段构造全等三角形求最值问题 【典例】如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝80°，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD．当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数． 【针对训练】 1．（2023秋•海安市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝65°，BD是AC边上的高，点E，F分别在AB，BD上，且AE＝BF，当AF+CE的值最小时，∠AFD的度数是 　 　°． 第12讲 构建手拉手模型解决瓜豆原理最值问题 【典例】（2020秋•海安市期末）已知，如图，△ABC是边长为4的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为 　 　． 【针对训练】 1．（2023秋•厦门校级期中）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，BC＝4，F为BC中点，若点D在直线AF上运动，连接EF，则在D点运动过程中，线段EF的最小值为 　　 ． 第13讲 先根据距离定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型解决问题 【典例】（2024秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【针对训练】 1．（2024秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 　 　． 第14讲 先根据角度定值找出动点轨迹，再利用将军饮马模型或垂线段最短解决问题 【典例】（2024秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　） A． B． C．ab D．a 【针对训练】 1．（2024•翠屏区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是 　　 第15讲 构造全等三角形求两条线段和的最大值 【典例】（2024秋•如东县期末）如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 　 ． 【针对训练】 1．（2024秋•通州区期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F．若AE+BF的最大值可用图中的一条线段长表示，则这条线段是 　 　 ． 第16讲 胡不归问题 【典例】（2024秋•如皋市期中）如图，∠BAC＝30°，M为射线AB上一动点（不与点A重合），点N在射线AC上，且AN＝6．点M运动的过程中，当取最小值时，∠AMN的度数是 　 　°． 第17讲 面积最值问题 11．（2024秋•海安市期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝10，BC﹣AB＝4，则△ADC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【针对训练】 1．（2024秋•海门区期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC＝7，BC﹣AB＝2，则△ADC面积的最大值为 　 ． 2．（2025春•梁溪区期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 第18讲 一条线段的最大值问题 【典例】（2025春•宝丰县期末）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 　 　 ． 【针对训练】 1．（2025春•渠县期末）如图，在面积为48的等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 　 ． 第19讲 由三角形的角平分线性质得到动点轨迹，再利用将军饮马模型解决 【典例】（2024秋•江阴市期末改编）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC上一点，AD＝2，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且不与端点重合，作∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，则DG+CG的最小值为 　　 ． 【变式训练】 1， 如图，在△ABC中，AB=6，AC=11，BC=12，点D是BC的中点，点E，F分别是AB，BC上的动点，且不与端点重合，作∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，则DG＋CG的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们首先学习八年级数学上最值问题，今天我们一起来学习第十四讲。现根据角度定值找出动顶轨迹，再利用将军饮马模型解决问题。如图，边长为A的等边三角形ABC中，BF是ac上的中线，BF等于B且点。D. 在BF上连接AD在AD的右侧做等边三角形，ADE连接EF。则三角形AEF周长的最小值是多少？要求三角形AEF周长的最小值。我们知道三角形AEF的周长，它等于AF加AE加FE其中AF是定值等于二分之A所以它的周长的最小值就等于二分之A加上。AE加EF。这个2分之2000万不能忘记写，我们可以把它先写下来。而AE加EF让我们感觉到像将军饮马的那个模型。我们。要探索一点在什么样的。直线上运动，因为点D在直线BF上运动，根据刮的原理，点E也在一条直线上运动。点滴在哪条直线上运动呢？我们考虑到三角形ABC和3角形ADE都是等边三角形。根据手拉手模型我们可以猜想三角形ABD和3角形ACE全等。所以我们应该连接CE01。C一之后，我们就议证叫BAD等于角CAE。因为角BAD加角DAC等于60度，角CAE加角DAC也等于60度，所以角BAD等于角CAE然后AB又等于ACAD又等于AE根据边角边三角形ABD就全等于三角形ACE，所以角ACE等于角ABD也就是说等于角ABF因为F是中点，BF是等边三角形，三角形的中线，也就是角平分线，所以角ABF等于2分之1，角ABC就等于30度，所以角ACE也等于30度。这样CE就和定边AC成定角30度，因此ECE就是点E的运动轨迹。CE就是点E的运动轨迹。那么我们要求A1加EF的最小值就要做A点或者F点。关于CE的对称点，我们选择做点A的对称点。M然后连接EM和FM因为A的对称点是M所以AE就等于EM。这样EF加AE就等于EF加EM它就大于等于FM。也就是说AE加EF的最小值，它就等于FM。因为AE加EF它等于EM加EF它大于等于FM，所以它最小值就是FM那么FM等于多少呢？我们连接MA和CM，因为MA关于CE对称，所以CA等于CM。并且角ECM等于角ACE等于30度，所以角ACM等于60度，所以三角形ACM是等边三角形。三角形ACM是等边三角形，而且是三角形ABC全等的等边三角形，所以MF也是等边三角形ACM的中线，所以MF等于BF就等于B。所以三角形AF增长的最小值等于二分之A加AF加EF的最小值就等于二分之A加B所以应该选择B。好。下面我们继续学习，先根据角度定值找出东鼎轨迹，再利用坚决引码模型解决问题。我们来看针对训练，如图在三角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于BC等于四点D是BC边的中点点P是AC3的1个动力。然后我们连接PD再以PD为边，在下方PD的下方做等边三角形PDQ连接CQ我们要求CQ的最小值。C是定点，Q是动点。CQ的最小值我们就想到垂线段最短，所以我们要找到Q在哪条直线上运动，而且点P是在直线上运动，Q随点P的运动而运动。根据瓜豆圆点Q的运动轨迹也应该是一条直线。我们怎么找到Q的运动轨迹呢？考虑到三角形PDQ是等边三角形，所以我们可以考虑构造手拉手模型。所以我们在构造一个等边三角形，在CD的下方做等边三角形CDH我们连接Q. H大家。看杠顶点D有双等边三角形DPQ和DCH，DP等于DQ，DC等于DH，它们的夹角PDC和夹角QDH。加上角QCQDC都是60度，所以角PDC等于角QDH，所以三角形PDC就全等于三角形QDH。所以角QHD就等于角PCD等于90度。又因为角CHD是60度，所以角CHQ等于30度。CH是一个定边角，QHC是一个定角。所以点Q的运动轨迹就是射线HQ。所以CQ的最小值就是当CQ和QH垂直的时候最小。当CQ和QH垂直的时候。因为角QHC是30度，所以CQ的最小值就等于2分之1CH。RCH等于CD所以就等于2分之1CD。CD是BC的中点，所以就等于四分之1BCBC等于4，所以等于4分之1乘以四等于一。好，下面我们再看第二种方法。因为点P是个动点，所以我们应该想方设法找一个定点和P连接起来，并且使得它的长度要和这个CQ相等，利用等量代换的方法得到求到CQ的最小值。由于PDQ是等边三角形，所以我们还是要考虑构造一个等边三角形，构造一个手拉手模型。所以我们可以在CD的上方做等边三角形DCH，这样H就是一个定点，我们把HP连接起来，我们考虑三角形DHP和3角形DCQ。因为DP等于DQ，DH又等于DC角HDP加。角QD. C等于60度，角QDC加角PDC也等于60度，所以角HDP等于角QODC，所以三角形HDP就全等于三角形QDC，所以HP就等于CQ，所以CQ的最小值就等于HP的最小值。所以当P为垂足的时候最短。当HP垂直AC的时候HP最小。当HB垂直于AC的时候，我们知道叫HCP是等于90度减60度，等于30度。所以在直角三角形HPC中，HP就等于2分之1CH，也就是等于2分之1CD。因为CD等于2分之1BC所以就等于四分之1BCBC等于4，所以就等于一，所以CQ的最小值就是一。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题等。这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们开始学习八年级数学上最值问题。今天我们学习第十八讲一条线段的最大值问题。如图，点CD在线段AB的同侧，CA等于4，AB等于12，BD等于9。M是AB的中点，所以AM等于BM等于6。角CMD等于120度，求CD长的最大值。我们做A点关于CM的对称点A1，B点关于DM的。对称点。BE连接MAMBE。所以MA一等于M2等于6。MB一等于MB也等于6，CAE等于CA等于4，DB等于DB等于9。角AMC等于角AEMC。角BMD等于角B1MD因为角CMD等于120度，所以角AMC加角ABMD就等于60度，所以角AEMC加角BMD也等于60度。所以角AMBE等于多少度？角AEMBE就等于60。因为MA等于BMB1。所以三角形MABE就是等边三角形，所以ABE就等于6。因为CD。小于等于CAE加ABE加。BD就是小于等于4加6加9。等于19，所以CD的最大值。就等于19。好，下面我们继续学习一条线段的最大值问题。如图，在面积为48的等腰三角形ABC中，AB等于AC等于10，BC等于12，P是BC边上的动点点，P关于直线ABAC的对称点是MA则线段MN的最大值为多少？我们可以发现当点P域在运动的时候，MN的大小在变化。由于点P和M关于AB对称。所以我们考虑连接A. MAP. 点P和A关于AC对称，所以我们考虑连接ANAP，所以我们连接AMANAP。我们可以得到AM等于AP，AN也等于AP所以三角形AMA已经是一个等腰三角形。角MAB等于9PAB角A角CAP等于角NAC所以角MAN就等于RB的角BAC。所以三角形MAN是一个顶角为定值的等腰三角形三角形。AMN. 是一个顶角为定值的等腰三角形。所以当AM最大的时候，MA的值就最大。M是等于AP也就是说在AP最大的时候按摩音最大。所以当点P与点B重合或者与点C重合的时候，AP等于AM最大。我们假定P与点B重合。这个。时候A. MN。MMN最大，我们设MN交AC于点T。因为角MAN等于RB的角BAC所以角BAC等于角NAC所以。MN垂直AC。根据三角形形ABC的面积为48，所以2分之1乘以AC乘以MT等于48。其中AC等于10，所以2分之1乘以10乘以MT等于48，所以MT等于5分之96，48%，所以MA等于RB的电容器等于5分之96，也就是说MN的最大值为96%。 同学们好，欢迎来到勾3股4微课堂。勾三股四微课堂为大家推出初中数学难题突破精讲课程。本课程包含最值问题、函数含参问题、几何动态问题的这些问题是中考的重点，也是同学们学习的难点。老师将用动图帮助大家突破这个难点，让理解变得容易，让思维变得深刻，让难题变得简单，让学习变得轻松。我们首先学习八年级数学上最值问题，今天我们学习最后一讲，由三角形的角平分线性质得到动点轨迹，再利用将军一马无形解决问题。如图三角形ABC为等边三角形，点D是BC上一点，AD等于2点EF分别是边ABBC上的动点。且不与端点重合作，角AEF和角EFC的角平分线于点G则DG加CG的最小值为多少？DG加CG的最小值，让我们联想到这是将军饮马的模型。我们怎么去寻找点击的运动轨迹呢？由于EGFG分别是角AEF和角EFC的角平分线，所以点击是两条角平分线的交点。我们知道应该是三角形的三个内角角平分线交于一点，一个内角两个外角平分线交于一点，所以说点G一定在第三个角的角平分线上。所谓三线归一是哪个角呢？当然是角B所以我们年纪笔记。点既然始终在角B的平分线上，那么点击的运动轨迹就是射线B机。好，既然点。既然点G在射线BCBG上运动，那么DG加CG的最小值，我们就只要做点D的对称点和C连接，或者做点C的对称点和D连接。由于ABC是等边三角形，BD是平分角ABC所以BG垂直平分ac所以点C的对称点就是点A，我们连接。AG那么AG就等于CG所以DG加CG。DG加CG就等于DG加AG。就大于等于AD。也就是说DG加CG的最小值就是AD。因为AD等于2，所以DG加CG的最小值为二。好，下面我们继续学习有角三角形的角平分线性质，得到东宁轨迹，再利用将军饮马模型来解决。我们来看辨识训练，如图，在三角形ABC中，AB等于6，AC是等于11，BC等于12点，D是BC的中点点，EF分别是AB和BC上的中动点。且不与端点重合作角AEF和角EFC的角平分线。焦耳点G。则DG加CG的最小值是？我们观察到点G似乎也在一条直线上运动，所以DG加CG的最小值也应该是一个将军饮马的模型。那么点击在哪条直线上运动呢？因为叫AEF和角EFC的角平分线交于点G所以点击也一定在第三个角的角平分线上，所以点D在角B的角平分线上，也就是说我们连接BG。点击就在。角平分线BH上移动。所以要求DG加CG的最小值，我们就要。做点D关于。BG的对称点和C点，或者做点C关于DG的BG的对称点和地点。由于AB等于6，BC等于12，D是BC的中点，所以BD也等于6，所以AB等于BD所以点D关于角平分线DBG的对称点就是点A. 连接AC. 那么AC就是所求的最小值。我们连接。GA大家发现GA等于GD。GA等于GD所以GD加GC就等于GA加GC它就大于等于AC所以DG加GC的最小值就是AC。当。AGC3点共线的时候，最小值就是DG加CG的最小值就是AC。就是十一。