专题12 构造全等三角形常用模型和辅助线（解析版+原卷版）2025-2026学年人教版八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练

专题12 构造全等三角形常用模型和辅助线 类型一 已知等腰直角三角形，构造一线三垂直模型 方法技巧 直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊． 【典例1】（2022秋•牡丹江期中）（1）如图①，已知A（3，0），C（0，6），AC⊥BC，且AC＝BC，求B点的坐标； （2）如图②，已知B（4，0），C（0，2），AC⊥BC，且AC＝BC，求点A的坐标； （3）如图③，AB＝AC，且AB⊥AC，若A（﹣1，1），B（﹣4，0），直接写出点C的坐标． 【变式训练】 1．（2023•南通通州区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E．求证：CD=AE； （2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDB=90°，CD=5．求△ACD的面积； （3）已知，A（﹣2，﹣5），点B和点C分别是y轴和x轴上一点，且满足AC=BC，∠ACB=90°．请直接写出点B和点C的坐标． 2．（2023•南通海门期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC=AE． [模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　． [深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为 　 　． 类型二 已知中点，或证证中点，构造8字型全等三角形 方法技巧 1. 已知中点，中线倍长或作平行或作垂直； 2. 求证中点，作平行或垂直. 中线倍长 作平行 作垂直 【典例2】（2022秋•道县校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE＝AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC＞2AD． （4）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【变式训练】 1．（2023秋•江都区月考）如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 2．（2024秋•夏邑县期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中一组全等三角形　 ； 【理解与应用】 （2）如图2，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于F，且AE＝EF．求证：AB＝CF； （3）如图3，CD是△ABC的中线，且AB＝BE＝AC，求证；CE＝2CD． 3．（2024秋•台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD． （1）求证：C是DE的中点； （2）求证：AB＝2CF． 类型三 婆罗摩笈多模型 【典例3】（2024春•大庆期末）如图．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM． 【变式训练】 1．（2024秋•开州区校级月考）如图，∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于点F．求证：点F是ED的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 构造全等三角形常用模型和辅助线 类型一 已知等腰直角三角形，构造一线三垂直模型 方法技巧 直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊． 【典例1】（2022秋•牡丹江期中）（1）如图①，已知A（3，0），C（0，6），AC⊥BC，且AC＝BC，求B点的坐标； （2）如图②，已知B（4，0），C（0，2），AC⊥BC，且AC＝BC，求点A的坐标； （3）如图③，AB＝AC，且AB⊥AC，若A（﹣1，1），B（﹣4，0），直接写出点C的坐标． 【分析】（1）过点B作BD⊥y轴于D，证明△BDC≌△COA，根据全等三角形的性质得到BD＝OC＝6，CD＝OA＝3，求出OD，进而求出B点的坐标； （2）过点A作AE⊥y轴于E，证明△AEC≌△COB，根据全等三角形的性质解答即可； （3）过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，证明△AMB≌△ANC，求出OC，得到答案． 【详解】解：（1）如图①，过点B作BD⊥y轴于D， 则∠BDC＝∠COA＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠ACO+∠DCB＝90°， ∴∠DBC＝∠ACO， 在△BDC和△COA中， ， ∴△BDC≌△COA（AAS）， ∴BD＝OC，CD＝OA， ∵A（3，0），C（0，6）， ∴OA＝3，OC＝6， ∴BD＝6，CD＝3， ∴OD＝OC+CD＝9， ∴B点的坐标为（6，9）； （2）如图②，过点A作AE⊥y轴于E， 则∠CEA＝∠BOC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCO+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCO， 在△AEC和△COB中， ， ∴△AEC≌△COB（AAS）， ∴CE＝OB，AE＝OC， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴OB＝4，OC＝2， ∴CE＝4，AE＝2， ∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2， ∴点A的坐标为（﹣2，﹣2）； （3）如图③，过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N， ∵点A的坐标为（﹣1，1）， ∴AM＝AN＝1， ∴四边形AMON为正方形， ∴ON＝1， 由（2）的作法可知，△AMB≌△ANC， ∴CN＝BM＝3， ∴OC＝CN﹣ON＝3﹣1＝2， ∴点C的坐标为（0，﹣2）． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023•南通通州区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E．求证：CD=AE； （2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDB=90°，CD=5．求△ACD的面积； （3）已知，A（﹣2，﹣5），点B和点C分别是y轴和x轴上一点，且满足AC=BC，∠ACB=90°．请直接写出点B和点C的坐标． 【详解】（1）证明：∵AE⊥CD，BD⊥CD， ∴∠AEC＝∠CDB＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝90°， ∴∠EAC＝∠DCB， 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（AAS）， ∴AE＝CD， 即：CD＝AE． （2）解：过点A作AE⊥CD于点E， 由（1）可知：△ACE≌△CBD（AAS）， ∴CD＝AE＝5， ∴． （3）点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）．理由如下： 分两种情况进行讨论： ①当点C在x轴的负半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E， ∵点A（﹣2，﹣5）， ∴AE＝5，OE＝2， 由（1）可知：△ACE≌△CBO（AAS）， ∴AE＝OC＝5，CE＝OB， ∴CE＝OC﹣OE＝5﹣2＝3， ∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（﹣5，0）； ②当点C在x轴的正半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E， 由（1）可知：△ACE≌△CBO（AAS）， ∴AE＝OC＝5，CE＝OB， ∴OB＝CE＝OC+OE＝5+2＝7， ∴点B的坐标为（0，7），点C的坐标为（5，0）． 综上所述：点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）． 2．（2023•南通海门期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC=AE． [模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　． [深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为 　 　． 【详解】 [模型呈现]证明：∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝90°， ∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝AE； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH， ∴AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CG＝DH＝4，CG＝BG＝3， 则S实线围成的图形（4+6）×（3+6+4+3）3×63×63×43×4＝50， 故答案为：50； [深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，△AFB≌△DPA，△AFC≌△EQA， ∴DP＝AF＝12，EQ＝AF＝12，AP＝BF，AQ＝CF， 在△DPG和△EQG中， ， ∴△DPG≌△EQG（AAS）， ∴PG＝GQ， ∵BC＝21， ∴AQ+AP＝21， ∴AP+AP+PG+PG＝21， ∴AG＝AP+PG＝10.5， ∴S△ADQ10.5×12＝63， 类型二 已知中点，或证证中点，构造8字型全等三角形 方法技巧 1. 已知中点，中线倍长或作平行或作垂直； 2. 求证中点，作平行或垂直. 中线倍长 作平行 作垂直 【典例2】（2022秋•道县校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE＝AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC＞2AD． （4）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可； （2）直接利用SAS证明△BDE≌△CDA即可； （3）根据△BDE≌△CDA，得BE＝AC，从而得出AE＝2AD，再根据三角形三边关系即可得出AB+BE＞AE，即可得出结论； （4）根据三角形三边关系得AB﹣BE＜AE＜AB+BE，又由AE＝2AD，BE＝AC，AC＝3，AB＝5，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）． （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA， ∴BE＝AC， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． （4）解：在△ABE中， AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 由（3）得 AE＝2AD，BE＝AC， ∵AC＝3，AB＝5， ∴5﹣3＜AE＜5+3， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•江都区月考）如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【分析】可延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，连接CP，将BE转化为PC，EF转化为FP，进而在△PCF中即可得出结论． 【详解】答：BE+CF＞FP＝EF． 证明：延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，CP， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDP中， ∴△BDE≌△CDP（SAS）， ∴BE＝CP， ∵DE⊥DF，DE＝DP， ∴EF＝FP，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） 在△CFP中，CP+CF＝BE+CF＞FP＝EF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握． 2．（2024秋•夏邑县期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中一组全等三角形　△BDE≌△CDA　 ； 【理解与应用】 （2）如图2，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF．求证：AB＝CF； （3）如图3，CD是△ABC的中线，且AB＝BE＝AC，求证；CE＝2CD． 【分析】（1）根据题意，由两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案； （2）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得△BDA≌△CDG（SAS），由全等三角形性质得到AB＝CG，∠BAD＝∠CGD，再结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换得到∠CFG＝∠CGF，从而由等腰三角形的判定与性质确定CF＝CG＝AB即可得证； （3）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得△BDC≌△ADG（SAS），由全等三角形性质得到∠DBC＝∠DAG，BC＝AG，再结合等腰三角形的性质、三角形外角性质得到∠CBE＝∠CAG，利用三角形全等的判定定理证得△BEC≌△ACG（SAS），结合全等性质即可证得CE＝CG＝2CD． 【详解】（1）解：∵AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， 故答案为：△BDE≌△CDA； （2）证明：在△ABC中，AD为中线，如图2，延长AD至点G，使GD＝AD， ∴BD＝CD， 在△BDA和△CDG中， ， ∴△BDA≌△CDG（SAS）， ∴AB＝CG，∠BAD＝∠CGD， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG＝AB，即AB＝CF； （3）证明：CD是△ABC的中线，如图3，延长CD至点G，使GD＝CD， ∴BD＝AD， 在△BDC和△ADG中， ， ∴△BDC≌△ADG（SAS）， ∴∠DBC＝∠DAG，BC＝AG， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAG， ∵∠CBE是△BCE的一个外角， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC， ∵∠CAG＝∠DAG+∠BAC， ∴∠CBE＝∠CAG， 在△BEC和△ACG中， ， ∴△BEC≌△ACG（SAS）， ∴CE＝CG＝2CD，即CE＝2CD． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，倍长中线模型，三角形中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识，根据题意，掌握倍长中线模型，构造辅助线，运用全等三角形的判定与性质求证是解决问题的关键． 3．（2024秋•台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD． （1）求证：C是DE的中点； （2）求证：AB＝2CF． 【分析】（1）过D作DH⊥AC的延长线与H，根据全等三角形的判定证得△AEF≌△BDH，得到EF＝DH，再证得△EFC≌△DHC得到CE＝CD，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC，根据全等三角形的性质得到AF＝BH，CF＝CH，再根据线段的和差即可证得结论． 【详解】证明：（1）过D作DH⊥AC的延长线与H， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△AEF和△BDH中， ， ∴△AEF≌△BDH（AAS）， ∴EF＝DH， 在△EFC和△DHC中， ， ∴△EFC≌△DHC（AAS）， ∴CE＝CD， ∴C是DE的中点； （2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC， ∴AF＝BH，CF＝CH， ∴AB+BF＝BF+FH，FH＝2FC， ∴AB＝FH， ∴AB＝2CF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． 类型三 婆罗摩笈多模型 【典例3】（2024春•大庆期末）如图．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM． 【分析】延长AM至N，使MN＝AM，证△AMC≌△NMB，推出AC＝BN＝AD，求出∠EAD＝∠ABN，证△EAD≌△ABN即可． 【详解】证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN， ∵点M为BC的中点， ∴CM＝BM， 在△AMC和△NMB中 ∴△AMC≌△NMB（SAS）， ∴AC＝BN，∠C＝∠NBM， ∵AB⊥AE，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90°， ∴∠EAD+∠BAC＝180°， ∴∠ABN＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAD， 在△EAD和△ABN中 ∵， ∴△ABN≌△EAD（SAS）， ∴DE＝AN＝2AM． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN＝AM，再只证AN＝DE即可，这就是“中线倍长”，实质是“补短法”． 【变式训练】 1．（2024秋•开州区校级月考）如图，∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于点F．求证：点F是ED的中点． 【分析】过点E作EH⊥CB，交CB的延长线于H，由“AAS”可证△ABC≌△BEH，可得EH＝BC＝BD，再由“AAS”可证△BDF≌△HEF，可得EF＝DF，可得结论． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥CB，交CB的延长线于H， ∵∠C＝90°，BE⊥AB， ∴∠C＝∠EBA＝∠H＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠EBH＝90°， ∴∠A＝∠EBH， 在△ABC和△BEH中， ， ∴△ABC≌△BEH（AAS）， ∴EH＝BC＝BD， 在△BDF和△HEF中， ， ∴△BDF≌△HEF（AAS）， ∴EF＝DF， ∴点F是ED的中点． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $