精品解析：云南省昆明市富民县昆明行知中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

昆明行知中学高二10月月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数定义即可得. 【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40， 则其中位数为16. 故选：B. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定，结合交集、补集运算即可求解. 【详解】因为， 所以或， 所以. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一，利用复数的除法运算化简复数，然后结合模长公式可得；方法二，利用复数除法的几何意义求解；方法三，利用复数相等和复数乘法的几何意义求解. 【详解】方法一：由得， 所以. 方法二：由得，所以. 方法三：由得， 所以，即，所以. 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值的符号排除A、B、D，即得正确选项. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及同角的平方关系可求得，，再利用两角差的余弦公式和整体思想求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以, 又， 所以， 所以 . 故选：C. 6. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，当斜率不存在时，求出直线与两条直线的交点坐标，验证点是否为中点；当斜率不存在时，设直线且，用含的式子表示出直线与两条直线的交点坐标，再利用中点坐标公式列出关系式，求出即可直线；方法二，设直线与两直线的交点分别为，，利用中点坐标公式得到与，与之间的关系，分别代入直线方程求出点坐标，即可求出直线. 【详解】方法一： ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时与直线的交点分别为， 所截得的线段中点为，不是点，故不符合题意，舍去； ②当直线的斜率存在时，设直线且， 由可得，， 由可得， 由中点坐标公式可得，解得， 所以直线的方程为，整理得. 方法二： 设直线与直线交于点， 直线与直线交于点. 因为点为的中点，所以，即. 所以，解得. 所以直线的方程为，整理得. 故选：B 7. 埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，把各个点的坐标求出来，然后求出平面AEC的法向量为以及，结合即可求解. 【详解】如图， 连接，设与相交于点O，连接， 因为金字塔可视为一个正四棱锥， 故以点O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 又由题意可得，， 所以， 所以，，，，，， 不妨设，又因为，所以， 即，解得，即， ，，， 设平面AEC的法向量为，则，， 即，取，得， 所以点D到平面AEC的距离． 故选：A. 8. 已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，进而可求得 【详解】， 则， 则， 即，所以，即 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 10. 已知直线，则下列表述正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为45° B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D. 原点到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，根据直线恒过点判断即可. 【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为45°，故A正确； B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确； C选项，因直线与直线平行，则，解得，则直线方程为：，即. 则与直线之间的距离为，故C错误； D选项，因为直线恒过点，故原点到直线的距离，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在平行六面体中，，则（ ） A. 不能构成空间的一个基底 B. C. 平面 D. 直线与直线所成的角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：由题意得到不共面即可判断A不正确；对于B：由，结合向量的数量积计算即可判断；对于C：用向量法证得，再由线面垂直的判定定理即可判断；对于D：用向量法计算即可判断 【详解】对于A，因为在平面内，平面，所以不共面.能构成空间的一个基底，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，因为， 所以.，所以，所以. 又四边形为菱形，所以. 又，平面，所以平面.故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以直线与直线所成的角为.故D正确 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点与关于直线对称，则的倾斜角为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点关于直线对称，可知与垂直，利用斜率乘积为可求得，根据直线倾斜角与斜率的关系可求得倾斜角. 【详解】由题意知： ，即： 又 本题正确结果： 【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是能够根据两点关于直线对称的性质求得所求直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求得结果. 13. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性求得，利用复合函数单调性判断的单调性，根据单调性和奇偶性将不等式转化为，然后分离参数，利用单调性求最值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 所以， 此时，满足题意. 由复合函数单调性可知在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 所以，即， 因为该不等式对任意恒成立，所以不大于在上的最小值. 因为在上单调递增，，且为增函数， 所以函数为增函数， 由复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值，为， 所以，故实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）用“五点法”作出在上的简图; （2）写出的对称中心以及单调递增区间; （3）求的最大值以及取得最大值时的集合. 【答案】（1） （2）对称中心，增区间为； （3）最大值为2, . 【解析】 【分析】（1）根据的范围求出的取值范围，然后按照“列表、描点、连线”的步骤画出函数的图象． （2）将作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解． （3）根据给定条件，结合正弦函数的性质求出函数的最大值作答． 【小问1详解】 由，得， 列表如下： 0 1 2 1 0 1 画出函数的图象，如图： 【小问2详解】 由，得， 因此函数图象的对称中心为， 由，得， 所以函数的递增区间为． 【小问3详解】 当，即时，， 所以函数的最大值为2，此时的集合为． 16. 在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为. （1）求； （2）求的边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，然后三角恒等变换相关公式即可求解； （2）首先根据正弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 即， 又，故. 又，所以， 所以，即 由，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意知. 由余弦定理得， 又，所以， 所以的面积，所以， 所以. 17. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【小问1详解】 解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 18. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； （2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】（1）分 （2） （3） 甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样的分法，得到从抽取人，即为，从中抽取人，即为，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意求得，分别求得甲乙得到2分和3分的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. 【小问3详解】 略 19. 如图，在五棱锥中，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若四边形为矩形，且，．当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积． 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面平面， 平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，且平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量可得当直线与平面所成的角最小时的大小，结合体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 可得与轴夹角为，所以，， ， ，平面的法向量记为， 由，得，令，得， ，即， 当时，等号成立，此时，直线与平面的所成的角取得最小值， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明行知中学高二10月月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（    ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 已知直线，则下列表述正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为45° B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D. 原点到直线的距离最大值为 11. 如图，在平行六面体中，，则（ ） A. 不能构成空间的一个基底 B. C. 平面 D. 直线与直线所成的角为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点与关于直线对称，则的倾斜角为_______ 13. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）用“五点法”作出在上的简图; （2）写出的对称中心以及单调递增区间; （3）求的最大值以及取得最大值时的集合. 16. 在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为. （1）求； （2）求的边上的高. 17. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 18. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； （2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 19. 如图，在五棱锥中，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若四边形为矩形，且，．当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $