第三章 一次方程与方程组（举一反三单元测试·培优卷）数学沪科版2024七年级上册

第三章 一次方程与方程组·培优卷 【沪科版2024】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C．2 D．5 3．（3分）（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 5．（3分）已知x，y满足方程组，则等于（   ） A．8 B．2 C． D． 6．（3分）（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，小颖在解这个方程组时误将系数a前面的“”抄成了“”，解得，则的值为（   ） A．5 B．2 C．0 D．-1 7．（3分）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（3分）（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 9．（3分）（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 10．（3分）（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小明一家三口准备外出旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其他人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”．这两家旅行社每人的原票价相同，小明发现在甲旅行社买票可比乙旅行社优惠20元．由此可知每人的原票价为（    ） A．100元 B．120元 C．150元 D．200元 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在二元一次方程中，用含的式子表示，得 ． 12．（3分）（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知和都是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为 ． 13．（3分）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ． 14．（3分）帅帅今年岁，帅帅问数学老师的年龄，数学老师回答说：“等你到我这么大时，我的年龄是你现在年龄的4倍”，那么数学老师现在的年龄是 岁． 15．（3分）（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 16．（3分）（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有 种． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解方程： (1)； (2) 18．（6分）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 19．（8分）（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 20．（8分）（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)证明：无论实数m取何值，方程总有一个公共解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 21．（10分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 22．（10分）（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 23．（12分）（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 24．（12分）（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组·培优卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 利用一元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：A、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、未知数最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（3分）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据方程的解满足方程，将代入二元一次方程中求解即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 3．（3分）（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立，注意除法运算中除数不能为零的情况． 【详解】解∶A．若，，根据等式性质，等式两边同时减1，等式仍成立，故A一定成立； B．若，，等式两边同时乘以，无论是否为0，等式均成立（若，两边均为0，仍相等），故B一定成立； C．若，，等式两边同时除以，但可能为0，此时除法无意义，因此等式不一定成立，故C为正确选项； D．若，，等式两边同时加3，等式仍成立，故D一定成立． 故选C． 4．（3分）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．（3分）已知x，y满足方程组，则等于（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】直接用即可计算 ．本题主要考查了二元一次方程组的解法，以及代数式的计算．熟练掌握利用消元法解二元一次方程组是解题的关键. 【详解】解： 得， 化简得， 故选：C． 6．（3分）（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，小颖在解这个方程组时误将系数a前面的“”抄成了“”，解得，则的值为（   ） A．5 B．2 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据小颖的错误操作，将解代入错误的方程组求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴． 故选A． 7．（3分）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 【详解】解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 8．（3分）（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程．根据定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：B． 9．（3分）（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 10．（3分）（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小明一家三口准备外出旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其他人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”．这两家旅行社每人的原票价相同，小明发现在甲旅行社买票可比乙旅行社优惠20元．由此可知每人的原票价为（    ） A．100元 B．120元 C．150元 D．200元 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设每人的原票价为a元，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设每人的原票价为a元， 如果选择甲，则所需要费用为元， 如果选择乙，则所需费用为：元， ∴， 解得：， ∴每人的原票价为100元． 故选A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在二元一次方程中，用含的式子表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，其中包括移项，系数化为1，能够熟练的掌握二元一次方程的变形是解决本题的关键． 先移项，将移到等号的右边，再两边同时除以2即可． 【详解】解：， 解得： 故答案为：． 12．（3分）（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知和都是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握二元一次方程解的定义成为解题的关键． 先根据二元一次方程解的定义得到二元一次方程组，然后求解得到a、b的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵和都是关于x，y的二元一次方程的解， ∴，解得：， ∴． 故答案为7． 13．（3分）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ． 【答案】5，6，4 【分析】根据题意可列方程组，应用解三元一次方程组的解法进行求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， ①﹣②得， a﹣c＝1④， ④+③得， a＝5， 解得， a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4． 故答案为：5，6，4． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，根据题意列出方程组及熟练应用三元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键． 14．（3分）帅帅今年岁，帅帅问数学老师的年龄，数学老师回答说：“等你到我这么大时，我的年龄是你现在年龄的4倍”，那么数学老师现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题的运用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设数学老师现在的年龄是岁，根据“等你到我这么大时，我的年龄是你现在年龄的4倍”，列方程即可得到结论． 【详解】解：设数学老师现在的年龄是岁， 根据题意得：， 解得， 答：数学老师现在的年龄是岁， 故答案为：． 15．（3分）（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：． 16．（3分）（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有 种． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 设兑换成10元张，20元的零钱张，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】解：设兑换成10元张，20元的零钱张， 由题意得：， 整理得：， 满足题意的方程的整数解为：，,，， ∴兑换方案有种， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 18．（6分）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的基本方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 把④代入③得：， 解得：， 得：， 把代入⑤得：， 解得：， 把，，代入③得： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19．（8分）（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”的定义是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，合并同类项，得：． ∵方程与方程是“关联方程”， ∴， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，得：， 系数化为“1”，得：． ∵方程和方程是“关联方程”， ∴， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：． 20．（8分）（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)证明：无论实数m取何值，方程总有一个公共解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）先将二元一次方程化简为，可得当时，，即可求解； （2）先得到二元一次方程组，求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 整理得：， ∴当时，， 此时， ∴无论实数m取何值，方程总有一个公共解； （2）解：方程组的解满足， 可得方程组， 解得：， 将代入，得 ， 解得： 21．（10分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 22．（10分）（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 23．（12分）（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式； （1）找到表格中的，结合表格可得答案； （2）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 24．（12分）（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $