专题01 直线与圆锥曲线的位置关系12大重点题型归纳（必考60题专项训练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

专题01 直线与圆锥曲线的位置关系12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 直线与椭圆的位置关系 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是 . 5．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 题型2 直线与双曲线的位置关系 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 7．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 9．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 10．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 题型3 直线与抛物线的位置关系 11．（24-25高三上·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 题型4 椭圆的弦长与中点弦问题 16．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为 ． 20．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆，长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 题型5 双曲线的弦长与中点弦问题 21．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度为 . 25．（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 题型6 抛物线的弦长与中点弦问题 26．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 30．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 题型7 圆锥曲线中的面积问题 31．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线，O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点，若的面积为，则直线l的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 33．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 34．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 35．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 题型8 圆锥曲线中的参数范围及最值 36．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（    ） A．12 B．24 C．16 D．8 39．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为 . 40．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设椭圆左顶点为，下顶点为，为坐标原点，为线段的中点，离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)若直线与椭圆相交于两点，直线的斜率分别为 ，的面积为以为直径的圆的面积分别为.若，求的范围. 题型9 圆锥曲线中的定点、定值问题 41．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 42．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线E的方程； (2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 43．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A，B分别是椭圆的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； 44．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 45．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 题型10 圆锥曲线中的定直线问题 46．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 47．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 48．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 49．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 50．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 题型11 圆锥曲线中的向量问题 51．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 54．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 55．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 题型12 圆锥曲线中的存在性问题 56．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 57．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 58．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点， 动点 满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 59．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 60．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知圆E：，点M是圆E上的动点，点，N为的中点，过N作交ME于S，设点S的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点的动直线l与曲线C相交于A，B两点．在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆锥曲线的位置关系12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 直线与椭圆的位置关系 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B. 4．（25-26高二上·上海·期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意直线恒过的定点在椭圆上或椭圆内，结合表示焦点在轴上的椭圆，即可列不等式求解. 【解答过程】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，. 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 【答案】或 【解题思路】把直线方程代入椭圆方程，利用判别式法直接求解. 【解答过程】由直线的方程特征可知，随着的变化，直线平行移动， 若直线与椭圆有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程联立方程组应有唯一解. 联立直线与椭圆的方程，得 消去，并整理，得③ 因为方程③是一元二次方程， 所以它有唯一的实数解的充要条件是， 解得或. 所以当直线与椭圆有唯一的公共点时，实数的值为或. 题型2 直线与双曲线的位置关系 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解题思路】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C.    7．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（24-25高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 9．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【解答过程】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为：. 10．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【解题思路】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【解答过程】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 题型3 直线与抛物线的位置关系 11．（24-25高三上·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【解答过程】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线 ，代入抛物线，得：， 因为 . 由 ，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 14．（2025高三·全国·专题练习）对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 ． 【答案】相离 【解题思路】先把直线与抛物线方程联立消去，进而根据判别式与0的大小关系判断直线与抛物线的位置关系. 【解答过程】由与联立，消去得：， ∴， ∵， ∴， 所以直线与抛物线无公共点， 故答案为：相离. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【答案】答案见解析 【解题思路】设直线的方程为，联立方程组求得，结合，和，三种情况，求得实数的值（范围），即可求解. 【解答过程】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 题型4 椭圆的弦长与中点弦问题 16．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【解答过程】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 17．（25-26高二上·江苏·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答过程】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 18．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【解题思路】利用点差法求解即可． 【解答过程】设，，则，， 所以，也即， 因为，的中点为，所以，， 所以，所以， 所以直线的斜率为，经检验满足题意． 故答案为：. 20．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆，长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式求得. 【解答过程】（1）由题意可得，，则， 又， 则， ∴椭圆的方程为. （2）∵直线l过点倾斜角为 ∴直线l的方程为即， 联立，得， 设， 则， ∴ . 题型5 双曲线的弦长与中点弦问题 21．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 22．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    24．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度为 . 【答案】30 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程，利用弦长公式可求线段的长度. 【解答过程】设点的坐标为，点的坐标为． 因为是双曲线与直线的交点， 所以点的坐标满足，所以， 此时，由韦达定理可得， 因为 ， 所以， 故答案为：30. 25．（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求解即可； （2）先求出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即， 又，所以，解得， 则双曲线的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 设，，此时， 由韦达定理得，， 所以. 题型6 抛物线的弦长与中点弦问题 26．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【解答过程】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A. 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【解答过程】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 28．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【解答过程】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 29．（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【解题思路】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程. 【解答过程】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 30．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可. 【解答过程】（1）设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以． 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得． 所以． 题型7 圆锥曲线中的面积问题 31．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求得，再应用三角形面积公式求面积. 【解答过程】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 联立，得，显然， 设，，则，， 由，可得，所以 ，， 所以，所以. 所以的面积为. 故选：A. 32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线，O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点，若的面积为，则直线l的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，根据题意求出的范围，写出韦达定理，求出弦长和点到直线的距离，利用的面积公式建立方程，解之即得. 【解答过程】    如图，设直线l的方程为，代入双曲线C的方程,整理得:. 因直线l与双曲线C交于不同的两点E，F， 则，解得且, 设，则 故, 又原点O到直线的距离， 则， 又，即， 化简得：，解得，均满足条件． 故满足条件的直线有两条，其方程分别为或. 故选：C. 33．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【解答过程】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 34．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解答过程】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为：. 35．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． 【解答过程】（1）因为点是椭圆的右顶点，所以. 又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. （2）由题意得直线l的方程为：， 设， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 题型8 圆锥曲线中的参数范围及最值 36．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【解答过程】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 37．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A. 38．（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（    ） A．12 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【解题思路】已知条件双曲线 . 【解答过程】由题意知解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以． ， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 故选：A. 39．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为 . 【答案】11 【解题思路】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案. 【解答过程】    因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以. 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，得，所以，解得， 所以，同理可得， 所以， 所以的最小值是11，此时，解得. 故答案为：. 40．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设椭圆左顶点为，下顶点为，为坐标原点，为线段的中点，离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)若直线与椭圆相交于两点，直线的斜率分别为 ，的面积为以为直径的圆的面积分别为.若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据椭圆几何性质以及面积计算可得椭圆方程； （2）设与直线平行的直线方程并与椭圆联立，利用判别式为0计算可得直线方程，解方程可得点坐标； （3）设直线的方程为，与椭圆联立并利用韦达定理将表示出来，分别求得面积的表达式利用基本不等式即可得出其范围. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 故椭圆的方程为； （2）设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为； 由消去得， 所以， 解得或， 因此与直线平行且与椭圆相切的直线方程为或； 其中直线与直线的距离最短， 由，解得； 故的坐标为 （3）设直线的方程为，且，如下图所示： 由消去得， 由韦达定理有，且； 所以，即； 由韦达定理代入化简得，又，所以， 此时，即且 故 又到的距离 所以可得， 即可得， 当且仅当时，等号成立，但又，因此等号不成立， 所以的取值范围是. 题型9 圆锥曲线中的定点、定值问题 41．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【解题思路】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出或，可求出直线过定点. 【解答过程】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 42．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线E的方程； (2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可知，，解方程即可求出双曲线方程； （2）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，再可得两根之和与两根之积的关系，求出的表达式，化简即可求解定值. 【解答过程】（1）由双曲线E的焦距为，可得，即， 又其中一条渐近线方程为，可得， 而，则，解得，， 所以双曲线E的方程为； （2）由（1）可知，设，． 因为C、D与A、B不重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，， 所以，，， 所以， 即为定值．    43．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A，B分别是椭圆的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； 【答案】(1) (2)证明见解析，； 【解题思路】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， 所以 为定值，得证. 44．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【解题思路】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解答过程】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 45．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）由得，由点在C上求得； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【解答过程】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 题型10 圆锥曲线中的定直线问题 46．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【答案】(1) (2)直线与的交点在定直线上. 【解题思路】（1）求出、，即可求出，从而求出方程； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【解答过程】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦点坐标为， 所以，即，又，则， 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 依题意设直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 所以，即， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得， 代入，可得， ，即直线与的交点在定直线上.      47．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 48．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【解答过程】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 49．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 50．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【解答过程】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 题型11 圆锥曲线中的向量问题 51．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 52．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【解答过程】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 53．（24-25高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】(1)，； (2)1. 【解题思路】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【解答过程】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， . 54．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析； 【解题思路】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【解答过程】（1）由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足. 55．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）把点代入椭圆得，再结合以及椭圆的性质，可解出的值，再结合离心率的取值范围，即可算出椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，可设出直线方程为，联立椭圆的标准方程，由根的判别式可得，然后由韦达定理整理出，再结合即可得出；再讨论当直线的斜率不存在时，直线为，易得，综合两种情况即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 题型12 圆锥曲线中的存在性问题 56．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意可列出方程，化简，即可得答案； （2）设直线方程并联立迹的方程，可得根与系数的关系式，进而表示出的面积的表达式，利用导数可求得其最值，比较大小，即可得结论. 【解答过程】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 57．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得 ，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得．    58．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点， 动点 满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见详解. 【解题思路】（1）设点坐标为，利用斜率公式，结合已知列方程化简可得； （2）设出直线方程，联立曲线的方程消去，利用韦达定理和中点坐标公式求出斜率，通过判别式检验可得结论. 【解答过程】（1）设点坐标为，则， 又，所以， 整理得轨迹E的方程为. （2）不存在，理由如下： 易知当直线斜率不存在时，直线与曲线无交点，故设直线的斜率为， 则直线的方程为：， 联立消去得， 直线与曲线交于C，D两点，所以. 若成立，则为的中点， 设，则，解得， 当时，，不满足题意， 故不存在直线l使得成立. 59．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或. 【解题思路】（1）表示顶点坐标，设，利用条件建立方程，即可得到结果. （2）设动直线方程以及直线斜率，联立直线与双曲线方程表示点坐标，代入直线方程可构造出都满足的一元二次方程，利用斜率之和为定值解决问题. 【解答过程】（1）由题意得，，设， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）存在，理由如下： 设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为， 则直线，直线，， 由得，，点的横坐标，纵坐标， 由点在动直线上，得， 整理得，同理得， 因此是方程的两个根，， 则为定值，令，则，代入动直线方程得， ，令，得， 代入动直线方程得，，即， 点代入（1）中轨迹方程得，，解得， 所以点的坐标为或. 60．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知圆E：，点M是圆E上的动点，点，N为的中点，过N作交ME于S，设点S的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点的动直线l与曲线C相交于A，B两点．在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）由动点的位置特征，结合椭圆定义判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程； （2）当直线与轴垂直时，得点必在轴上；当直线与轴垂直时，得点的坐标只可能是，再证明直线斜率存在且均满足条件即可． 【解答过程】（1）依题意可知圆的标准方程为 ，圆心． 因为线段的垂直平分线交于点，所以． 动点始终满足 ， 故动点满足椭圆的定义，所以曲线是以E，F为焦点的椭圆． 设椭圆方程为，因此，解得， 故椭圆的方程为． （2）存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下： 当直线与轴平行时，由椭圆的对称性可知， 又因为得，则， 从而点必在轴上，可设． 当直线与轴垂直时，则，，如果存在定点满足条件， 由，即，解得或， 若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是． 当直线不平行于轴且不垂直与轴时，可设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为，设A，B的坐标分别为，， 所以 ． 又点关于轴的对称点的坐标为， ， ， 则三点共线，． 综上，存在与点不同的定点，使得恒成立． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $