精品解析：新疆喀什市2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷

喀什市2025-2026学年第一学期高二期中测试 数 学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 3. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 4. 已知两点，则直线的斜率为（ ） A. B. -1 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据经过两点的直线的斜率公式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 则直线的斜率为， 故选：D 5. 直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题直接写出直线方程得解. 【详解】直线过点，且倾斜角为， 所以直线的方程为. 故选：C. 6. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 7. 圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（ ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 8. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角满足 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由向量数量积坐标运算求解判断；对B，由向量的模长公式求解判断；对C，由向量的夹角公式求解；对D，由空间向量垂直的坐标关系求解判断. 【详解】对于A，由向量的数量积坐标运算得，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由题意，，所以，故C正确； 对于D，由，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆心C的坐标为 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆的半径为2，代入可求得a值，可判断A、C的正误，根据点与圆的位置关系，代入检验，可判断B的正误；由题意，直线过圆心，代入可求得m值，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为圆的半径为2， 所以，解得，则圆，故A正确； 选项B：将代入圆C方程可得， 所以点在圆的外部，故B正确； 选项C：圆心坐标为，故C正确； 选项D：因为直线平分圆的周长， 所以直线过圆心，则，解得，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第12题第一空3分，第二空2分． 12. 直线方程为，则该直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 13. 求两平行线与的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】即与的距离为， 故答案为： 14. 在空间向量中，能作为基底的一组向量是________： ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】②③ 【解析】 【分析】逐一分析①②③，检查是否共面，分析即可得答案. 【详解】对于①：， 所以共面，不能作为空间向量中的基底，故①错误； 对于②：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故②正确； 对于③：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故③正确； 故答案为：②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知的顶点分别为． （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； 【小问1详解】 设中点的坐标为，则，，所以， 边中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； 【小问2详解】 因为斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 16. 已知直线：，：，：． （1）求与的交点的坐标； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题设得方程组，，故. 【小问2详解】 由点到直线的距离公式可得所求距离. 17. 已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． （1）写出点，，的坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）证明：直线平面． 【答案】（1）；； （2）（答案不唯一） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【小问1详解】 根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. 【小问2详解】 因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. 【小问3详解】 由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因平面，所以直线平面. 18. 如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等面积法即可求出点到直线的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 解：连接，，过点作于，如图所示 在直角三角形中， 在直角三角形中， 直线平面，平面 故点到直线的距离为. 小问2详解】 解：在正方体中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，，， ，，, 设平面的一个法向量为： 则，即，令得 点到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为是正方形，所以． 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． 【小问2详解】 由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什市2025-2026学年第一学期高二期中测试 数 学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 2. 已知点，若向量，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点，则直线的斜率为（ ） A. B. -1 C. 2 D. 1 5. 直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 7. 圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（ ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 8. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角满足 D. 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 11. 已知圆半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆心C的坐标为 D. 当直线平分圆的周长时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第12题第一空3分，第二空2分． 12. 直线方程为，则该直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 13. 求两平行线与的距离为________． 14. 在空间向量中，能作为基底的一组向量是________： ①，，； ②，，； ③，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知的顶点分别为． （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 16. 已知直线：，：，：． （1）求与的交点的坐标； （2）求点到直线的距离． 17. 已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． （1）写出点，，坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）证明：直线平面． 18. 如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $