精品解析：河北承德市高新区第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 单位向量的模一定相等 B. 若，则 C. 在等边三角形中，与的夹角为 D. 若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 2. 中，，，是的中点，则（ ） A. B. 7 C. D. 25 【答案】A 【解析】 【详解】因为是的中点，所以，又， 所以. 3. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到，故B正确. 4. 已知函数的最小正周期为4，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 5. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 6. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 8. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：利用值域即可得函数值域，即可得其最小值；对B：借助代入检验法计算即可得；对C：求出范围可得函数在区间上单调性；对D：借助平移变换性质计算即可得. 【详解】对于A，由，故，即函数的最小值为，故A正确； 对于B，当时，， 由点是函数图象的一个对称中心， 故点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，时，，则函数在区间上单调递减，故C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 11. 已知向量，则（ ） A. 当时， B. 存在，使 C. 当时， 在方向上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知为锐角，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. 13. 化简___________． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，用，表示出，列方程组即可求出；用，表示出，根据向量数量积的运算律即可求出. 【详解】设. ，， . . 又，所以，解得. 此时. . 所以 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． （3）若 与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解； （2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解； （3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 所以， 因为，所以可得，解得． 【小问2详解】 因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以， 设，即， 得到，解得，即点的坐标为． 【小问3详解】 ， 由于与垂直，∴，∴． 16. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和增区间； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，增区间为； （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以的增区间为； 【小问2详解】 当时，，则，故， 令，得，即实数的取值范围是. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后根据周期公式即可求解； （2）根据正弦函数的单调增区间即可求解； （3）首先根据图像平移得出，然后根据正弦函数的对称性求出. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由，可得， 所以函数的单调增区间为. 【小问3详解】 将函数的图象上的所有点沿向量平移， 得到的图象，所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，当时，，故. 19. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【小问1详解】 如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，， 则，，，，，. 所以， 又，，所以. 又，所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由，又，所以. 故. 【小问3详解】 设，， 则，， 所以， 当时，；当或时，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 单位向量的模一定相等 B. 若，则 C. 在等边三角形中，与的夹角为 D. 若，则平面四边形一定是平行四边形 2. 中，，，是的中点，则（ ） A. B. 7 C. D. 25 3. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为4，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 11. 已知向量，则（ ） A. 当时， B. 存在，使 C. 当时， 在方向上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时， 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知为锐角，，则__________． 13. 化简___________． 14. 已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． （3）若 与垂直，求的值． 16. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和增区间； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式. 19. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $