浙江省台州市临海市东塍镇中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省台州市临海市东塍中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）以下图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 3．（3分）某同学将一块三角形的玻璃不小心打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①②③去 B．带③去 C．带②去 D．带①去 4．（3分）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含30°角的三角板的斜边经过含45°角的三角板的直角顶点，短的直角边与含45°角的三角板的斜边重合，则∠1为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 5．（3分）已知点A（a﹣1，3）与点B（2，b+1）关于y轴对称，则a+b的值是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．3 6．（3分）如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，三条直线a，b，c互相平行，△ABC的三个顶点分别在三条平行线上．已知∠BAC＝90°，AB＝AC，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．6.5 C．10 D．13 8．（3分）如图，小明从点O出发，前进15m后向右转20°，再前进15m后又向右转20°…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A．150m B．180m C．300m D．270m 9．（3分）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（3分）如图，∠COD＝30°，点A1，A2，A3均在射线OC上，点B1，B2，B3⋯均在射线OD上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4⋯均为等边三角形．若OA1＝2，则△AnBnAn+1的边长为（　　） A．2n B．2n﹣1 C．2n D．2n+1 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，点E是AC的中点，要使△ADE≌△CFE，还需添加一个条件可以是 　 　 ．（只需写出一种情况） 12．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝52°，则∠DCE的度数为　 　 ． 13．（3分）如图是边长均为1的小正方形网格，A，B，C，D均在格点上，则∠1+∠2＝ 　 　 °． 14．（3分）如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 　 　 ． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线DE，FG相交于点H，连接HA，HB，HC． （1）若∠BAH＝23°，∠CAH＝40°，则∠HBC的度数为　 　 ． （2）若∠CAH＝34°，则∠EHG的度数为　 　 ． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17．（9分）在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：5，∠D＝50°，求∠A的度数． 18．（9分）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标． （2）直接写出AB与A1B1之间的位置关系． 19．（9分）如图，已知Rt△ABC，请按下列要求进行尺规作图（保留作图痕迹）． （1）作斜边AB的中垂线m，垂足为D． （2）在（1）中所得直线m上，求作一点P，使点P到AC所在直线的距离等于PD． 20．（9分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，点A，D在直线BC的同侧，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF． （1）证明：△ABC≌△DFE． （2）若∠A＝75°，∠B＝45°，求∠COE的度数． 21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E． （1）若∠A＝48°，求∠CDE的度数． （2）若AB＝6，△ADE的周长为10，求AD的长． 22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F在BC上，使DF＝AD． （1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC． （2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由． 23．（9分）如表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表． 项目：测量小山坡的宽度 活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具进行测量，比如：皮尺、直角三角板、测角仪、标杆等．各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度． 成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容： 项目 示意图 测量方案 测得数据 测量小山坡的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC＝OA，OD＝OB． OA＝OC＝200m，OB＝OD＝250m，CD＝360m． 请你帮助小聪同学所在小组完成下列任务． （1）任务1：王老师发现小聪同学所在小组的测量方案有问题，请你帮助小聪同学所在小组找到问题并完善测量方案． （2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由． （3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路． 24．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D沿△ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C，点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD＝CE． （1）如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G．①求证：AE＝CD． ②求∠CGE的度数． （2）如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF＝BE，连接AE，DF．判断AE与DF是否相等？并说明理由． 2024-2025学年浙江省台州市临海市东塍中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B C A B D C C 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）以下图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：自行车支架一般都会采用三角形设计的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（3分）某同学将一块三角形的玻璃不小心打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①②③去 B．带③去 C．带②去 D．带①去 【分析】根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等即可得出答案． 【解答】解：∵两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， ∴带③去玻璃店可以配一块和原来完全一样的玻璃． 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 4．（3分）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含30°角的三角板的斜边经过含45°角的三角板的直角顶点，短的直角边与含45°角的三角板的斜边重合，则∠1为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】依题意得∠B＝45°，∠ACD＝60°，然后再根据三角形外角性质可得出∠1的度数． 【解答】解：如图所示： 依题意得：∠B＝45°，∠ACD＝60°， ∵∠ACD＝∠1+∠B， ∴∠1＝∠ACD﹣∠B＝60°﹣45°＝15°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，解决问题的关键是理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 5．（3分）已知点A（a﹣1，3）与点B（2，b+1）关于y轴对称，则a+b的值是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求得a、b值，然后代值求解即可． 【解答】解：∵关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴， 将两个方程相加， ∴a+b＝﹣1+2＝1， 故选：C． 【点评】考查坐标与图形变换﹣轴对称变换、代数式求值． 6．（3分）如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解答】解：A、作的是BC边上的高，此选项符合题意； B、三角板未过A点，故作的不是高，此选项不符合题意； C、作的是AC边上的高，此选项不符合题意； D、作的是AB边上的高，此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解题的关键． 7．（3分）如图，三条直线a，b，c互相平行，△ABC的三个顶点分别在三条平行线上．已知∠BAC＝90°，AB＝AC，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．6.5 C．10 D．13 【分析】过A作EF⊥直线a于E，交直线c于F，则AE＝2，AF＝3，利用AAS证明△AEB≌△CFA，推出BE＝AF＝3，AE＝CF＝2，由勾股定理求出AB、AC，根据三角形面积公式求出即可． 【解答】解：过A作EF⊥直线a于E，交直线c于F， ∵a∥b∥c， ∴EF⊥c， 则AE＝2，AF＝3， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°＝∠BAC， ∴∠EBA+∠EAB＝90°，∠EAB+∠CAF＝90°， ∴∠EBA＝∠CAF， 在△AEB和△CFA中， ， ∴△AEB≌△CFA（AAS）， ∴BE＝AF＝3，AE＝CF＝2， 由勾股定理得：AB＝AC， ∴△ABC面积为AC×AB6.5， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积公式，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出AB、AC的长． 8．（3分）如图，小明从点O出发，前进15m后向右转20°，再前进15m后又向右转20°…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A．150m B．180m C．300m D．270m 【分析】利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【解答】解：依题意可知，小明所走路径为正多边形， 设这个正多边形的边数为n， 则20n＝360，解得n＝18， ∴他第一次回到出发点O时一共走了：15×18＝270（米）， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数． 9．（3分）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．熟记定理是解题的关键．可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论． 【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（13﹣x﹣y）根，根据三角形的三边关系定理得到：， 得到：x＜6.5，y＜6.5，x+y＞6.5， 又因为x，y是整数， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；⑤3、4、6． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的2边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于13． 10．（3分）如图，∠COD＝30°，点A1，A2，A3均在射线OC上，点B1，B2，B3⋯均在射线OD上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4⋯均为等边三角形．若OA1＝2，则△AnBnAn+1的边长为（　　） A．2n B．2n﹣1 C．2n D．2n+1 【分析】由等边三角形的性质得出∠B1A1A2＝60°，证明∠OB1A1＝30°，∠OB1A2＝90°，则，推出OA1＝A1B1，OA1＝A1A2，同理，，记各等边三角形的边长依次为：a1，a2，a3⋯an，则a1＝2，，从而可得出结果． 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°， ∵∠COD＝30°， ∴∠OB1A1＝30°，∠OB1A2＝90°， ∴， ∴OA1＝A1B1， ∴OA1＝A1A2， 同理，， 记各等边三角形的边长依次为：a1，a2，a3⋯an， ∴a1＝OA1＝2， ， ， ， ∴， ∴△AnBnAn+1的边长为2n， 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质找出规律是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，点E是AC的中点，要使△ADE≌△CFE，还需添加一个条件可以是 　DE＝EF（答案不唯一）　 ．（只需写出一种情况） 【分析】根据点E是AC的中点得AE＝CE，再根据∠AED＝∠CEF，结合全等三角形的判定定理当添加的条件是①DE＝EF时，可依据“SAS”判定△ADE≌△CFE；当添加的条件是②∠A＝∠FCE时，可依据“ASA”判定△ADE≌△CFE；当添加的条件是③∠ADE＝∠F时，可依据“AAS”判定△ADE≌△CFE；当添加的条件是④AB∥CF时，则∠A＝∠FCE或∠ADE＝∠F，进而可判定△ADE≌△CFE，由此可得出答案（将上述条件填一个即可，答案不唯一）． 【解答】解：∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 又∵∠AED＝∠CEF， ∴添加的条件可以是①DE＝EF，②∠A＝∠FCE，③∠ADE＝∠F，④AB∥CF，理由如下： ①当添加的条件是DE＝EF时， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）； ②当添加的条件是∠A＝∠FCE时， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）； ③当添加的条件是∠ADE＝∠F时， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； ④当添加的条件是AB∥CF时， ∵AB∥CF， ∴∠A＝∠FCE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）． 故答案为：DE＝EF（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝52°，则∠DCE的度数为　11°　 ． 【分析】利用内角和定理分别求出∠ACD与∠ACB，由角平分线定义得，即可求出∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣52°＝98°． ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． ∵CE是∠ACB的平分线， ∴． ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝60°﹣49°＝11°． 故答案为：11°． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系． 13．（3分）如图是边长均为1的小正方形网格，A，B，C，D均在格点上，则∠1+∠2＝ 　90　 °． 【分析】设网格中的正方形的边长为1，可得AE＝DF＝2，BE＝CF＝3，∠AEB＝∠DFC＝90°，然后利用全等三角形的性质和判定解决问题即可． 【解答】解：设网格中的正方形的边长为1，则AE＝DF＝2，BE＝CF＝3，∠AEB＝∠DFC＝90°，∠2+∠DCF＝90°， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠DCF＝∠1， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角，边与边之间的相互关系． 14．（3分）如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为　　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可． 【解答】解：∵DF是△CDE的中线， ∴S△CDE＝2S△DEF， ∵CE是△BCD的中线， ∴S△BCD＝2S△CDE＝4S△DEF， ∵BD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△BCD＝8S△DEF， ∵△ABC的面积＝4， ∴△DEF的面积S△ABC． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 　8　 ． 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AM， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABCBC•AD4×AD＝12，解得AD＝6cm， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A，AM＝BM， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝ADBC＝64＝6+2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线DE，FG相交于点H，连接HA，HB，HC． （1）若∠BAH＝23°，∠CAH＝40°，则∠HBC的度数为　27°　 ． （2）若∠CAH＝34°，则∠EHG的度数为　56°　 ． 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到HA＝HB＝HC，再根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠ABH，∠HBC＝∠HCB，∠CAH＝∠ACH，然后利用三角形的内角和定理得到∠BAH+∠CAH+∠HBC＝90°，进而可求解； （2）同（1）可求得∠ABH+∠HBC+∠CAH＝90°，进而可求得∠ABC＝56°，然后利用四边形的内角和定理，结合同角的补角相等可求得∠EHG＝∠ABC＝56°． 【解答】解：（1）由条件可知HA＝HB＝HC， ∴∠BAH＝∠ABH，∠HBC＝∠HCB，∠CAH＝∠ACH， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴2∠BAH+2∠CAH+2∠HBC＝180°， 即∠BAH+∠CAH+∠HBC＝90°， ∵∠BAH＝23°，∠CAH＝40°， ∴∠HBC＝90°﹣∠BAH﹣∠CAH＝90°﹣23°﹣40°＝27°， 故答案为：27°； （2）由（1）得∠BAH＝∠ABH，∠HBC＝∠HCB，∠CAH＝∠ACH， 由条件可知2∠ABH+2∠HBC+2∠CAH＝180°， 即∠ABH+∠HBC+∠CAH＝90°， ∵∠CAH＝34°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAH＝56°， ∵AB，BC的垂直平分线DE，FG相交于点H， ∴HD⊥AB，HG⊥BC， ∴∠ABC+∠DHG＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 又∠EHG+∠DHG＝180°， ∴∠EHG＝∠ABC＝56°， 故答案为：56°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形和四边形的内角和定理、补角性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17．（9分）在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：5，∠D＝50°，求∠A的度数． 【分析】本题考查四边形的内角和，设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据四边形内角和是360度，列出方程，求得x值即可． 【解答】解：设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝5x． ∵四边形ABCD的内角和为360°，∠D＝50°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360° 即2x+3x+5x+50°＝360°， ∴10x＝310°，即x＝31°， ∴∠A＝62°． 【点评】考查四边形的内角和是360°．据角度的比列出方程，求解． 18．（9分）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标． （2）直接写出AB与A1B1之间的位置关系． 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出△A1B1C1，进而写出点B1的坐标即可； （2）延长AB，A1B1交于点D，由图和网格特点可知：∠AA1D＝∠A1AD＝45°，进而得到∠ADA1＝90°，即可得出结论． 【解答】解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图： B1（﹣1，﹣1）； （2）延长AB，A1B1交于点D， ∵∠AA1D＝∠A1AD＝45°， ∴∠ADA1＝90°， ∴AB⊥A1B1． 【点评】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 19．（9分）如图，已知Rt△ABC，请按下列要求进行尺规作图（保留作图痕迹）． （1）作斜边AB的中垂线m，垂足为D． （2）在（1）中所得直线m上，求作一点P，使点P到AC所在直线的距离等于PD． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的性质、点到直线的距离的定义，作∠BAC的平分线，交直线m于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，直线m即为所求． （2）如图，作∠BAC的平分线，交直线m于点P， 则点P即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、点到直线的距离、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、点到直线的距离的定义是解答本题的关键． 20．（9分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，点A，D在直线BC的同侧，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF． （1）证明：△ABC≌△DFE． （2）若∠A＝75°，∠B＝45°，求∠COE的度数． 【分析】（1）证得BC＝EF，根据SSS定理即可证得结论； （2）根据三角形内角和定理和全等三角形的性质证得∠DEF＝∠ACB＝60°．根据三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SSS）； （2）解：∵∠A＝75°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°． 由（1）知△ABC≌△DFE， ∴∠DEF＝∠ACB＝60°． ∴∠COE＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，根据SSS定理证得△ABC≌△DFE是解决问题的关键． 21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E． （1）若∠A＝48°，求∠CDE的度数． （2）若AB＝6，△ADE的周长为10，求AD的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得∠B＝∠ACB＝66°，再根据角平分线的定义得∠BCD＝∠ACD＝33°，然后根据平行线的性质可得出∠CDE的度数； （2）先根据角平分线的定义及平行线的性质得∠BCD＝∠ACD＝∠CDE，进而得DE＝CE，则AC＝AE+DE＝6，然后根据△ADE的周长为10可得出AD的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°， ∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠A）＝66°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝1/2∠ACB＝33°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD＝33°； （2）∵AB＝6， ∴AC＝AB＝10， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∴∠CDE＝∠ACD， ∴DE＝CE， ∴AC＝AE+CE＝AE+DE＝6， ∵△ADE的周长为10， ∴AD+AE+DE＝10， ∴AD＝10﹣（AE+DE）＝10﹣6＝4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键． 22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F在BC上，使DF＝AD． （1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC． （2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先由角平分线的性质得DE＝CD，根据HL可证明Rt△ADE≌Rt△FDC； （2）由Rt△ADE≌Rt△FDC，可得CF＝AE，再证明△EBD≌△CBD，可得BE＝BC，由线段的数量关系即可得证． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC， ∴∠C＝∠DEA＝∠DEB＝90°，DE＝CD， 在Rt△ADE与Rt△FDC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△FDC（HL）； （2）解：AB＝BF+2CF，理由如下： ∵∠C＝90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC， ∴∠C＝∠DEA＝∠DEB＝90°，DE＝CD， 在Rt△ADE与Rt△FDC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△FDC（HL）， ∴CF＝AE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△EBD与△CBD中， ， ∴△EBD≌△CBD（AAS）， ∴BE＝BC， ∴AB＝AE+EB＝AE+BC＝CF+CF+BF＝2CF+BF， ∴AB＝BF+2CF． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（9分）如表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表． 项目：测量小山坡的宽度 活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具进行测量，比如：皮尺、直角三角板、测角仪、标杆等．各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度． 成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容： 项目 示意图 测量方案 测得数据 测量小山坡的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC＝OA，OD＝OB． OA＝OC＝200m，OB＝OD＝250m，CD＝360m． 请你帮助小聪同学所在小组完成下列任务． （1）任务1：王老师发现小聪同学所在小组的测量方案有问题，请你帮助小聪同学所在小组找到问题并完善测量方案． （2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由． （3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路． 【分析】（1）小聪同学所在小组的测量方案不能确定两三角形全等，即缺少一组对应角相等； （2）根据SAS证明△COD≌△AOB，根据全等三角形的性质可得结论； （3）构造等边三角形求解即可． 【解答】解：（1）任务1：问题是：无法需要保证∠AOB＝∠COD， 完善测量方案：增加条件，点C，D分别在AO，BO的延长线上． （2）任务2：在△COD和△AOB中， ， ∴△COD≌△AOB（SAS）． ∴CD＝AB＝360m． 答：小山坡的宽度AB为360米． （3）任务3：如图，先在B处立一根标杆，使∠BAD＝60°，确定AD的方向；同理使∠ABE＝60°，确定BE的方向；然后找到两个方向的交汇处点C；量出AC的长度，即为小山坡的宽度AB（测量方案只要符合即可）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 24．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D沿△ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C，点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD＝CE． （1）如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G．①求证：AE＝CD． ②求∠CGE的度数． （2）如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF＝BE，连接AE，DF．判断AE与DF是否相等？并说明理由． 【分析】（1）①由SAS可证△ACE≌△CBD，可得AE＝CD； ②由全等三角形的性质可得∠CAE＝∠BCD，由外角的性质可求解； （2）由SAS可证△ACE≌△FHD，可得AE＝DF，即可求解． 【解答】（1）证明：①如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝AC， ∵BD＝CE， ∴△ACE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； ②解：∵△ACE≌△CBD， ∴∠CAE＝∠BCD， ∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°， ∴∠CGE＝∠ACD+∠CAE＝∠ACD+∠BCD＝60°； （2）AE＝DF，理由如下： 如图2，在AB上截取AH＝BF，连接DH，可得HF＝AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝HF， ∵BF＝BE，BD＝CE， ∴BH＝CE＝BD， ∴△BDH是等边三角形， ∴∠BHD＝∠ACB＝60°， ∴△ACE≌△FHD（SAS）， ∴AE＝DF． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/22 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