第八单元指数B卷-【学霸笔记】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版）

参考答案 1.B　由于a>0,则=====(将根式化为分数指数幂形式,再进行指数运算). 2.C　令x+1=0,得x=-1,此时f(-1)=-2a0-2=-4,所以定点P的坐标为(-1,-4),即m=-1,n=-4,所以m+n=-5. 3.D　由a的范围讨论单调性,确定最值即可求解.当a>1时,f(x)=ax+1单调递增,此时M=a2,N=a,所以M-N=a2-a=,解得a=;当0<a<1时,f(x)=ax+1单调递减,此时M=a,N=a2,所以M-N=a-a2=,解得a=.所以实数a的值为或. 4.A　∵a==>=b,c==>=a,∴b<a<c. 5.B　由f(x)的图象关于原点对称,可知f(x)为奇函数,对于A,f(-x)===f(x),为偶函数,排除A;对于C,f(x)=,为非奇非偶函数,排除C.由题图可知,f(x)在区间(0,+∞)上不单调,对于D,易知f(x)=x·2|x|在区间(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B. 6.D　根据条件,列出关于p1,p2,C1,C2的关系式,根据指数函数的单调性,判断它们的大小关系.由题意,得C1=×20=×10,所以(=;C2=×20=×,所以(=.因为指数函数y=()x在(-∞,+∞)上单调递减,且>,所以p1<p2.又指数函数y=20x在(-∞,+∞)上单调递增,且p1<p2,所以<,所以×20<×20,即C1<C2. 7.C　根据幂函数图象过点(,4),求出f(x),得到g(x)的解析式,并根据条件得到g(x)在R上单调递减时a的取值范围,最后根据必要不充分条件的含义得答案.设幂函数f(x)=xα,因为其图象过点(,4),所以f()=()α=4,解得α=-2,所以f(x)=,所以g(x)=若g(x)满足∀x1≠x2,<0,则g(x)在R上单调递减,所以(易错：已知分段函数单调递减求参数范围,除了要保证每一段函数在对应定义域上单调递减,还要注意连接点处左端的值要大于等于右端的值),所以a的取值范围是[-,0).又[-,0)⫋(-,0),所以a∈(-,0)为一个必要不充分条件(若p是q的必要不充分条件,则q⇒p,但pq). 8.D　由题意可得a2+3a=33-b+(3-b)2,构造函数f(x)=x2+3x,结合函数f(x)在(0,3)上的单调性可得a=3-b,即可得a2+2b=(a-1)2+5,即可得解.由a2-b2-9=-3a-6b可得a2+3a=+b2-6b+9=33-b+(3-b)2.由a,b∈(0,3),得3-b∈(0,3),令f(x)=x2+3x(对等式适当变形,构造函数),则f(x)在(0,3)上单调递增,又f(a)=f(3-b),故a=3-b,则a2+2b=a2+2(3-a)=a2-2a+6=(a-1)2+5≥5,当且仅当a=1时,等号成立,故a2+2b的最小值为5. 9.ABC　如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=的图象,再作直线y=m, 变换m的值发现,x1,x2,x3的大小关系可能为x3<x2<x1,x3=x2<x1,x2<x3<x1,x2<x3=x1,x2<x1<x3,x2=x1<x3,x1<x2<x3,故A,B,C正确,D错误. 10.AC　A(√)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),因为f(x)+g(x)=2ex　①,所以f(-x)+g(-x)=2e-x,即f(x)-g(x)=2e-x　②,由①②得,f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x.B(✕)因为函数y=ex,y=-e-x在R上均为增函数,故g(x)=ex-e-x在R上单调递增.C(√)D(✕)因为f(2x)=e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2,所以F(x)=(ex+e-x)2-2m(ex+e-x)-2,又f(x)=ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时等号成立,所以t=ex+e-x∈[2,+∞),设h(t)=t2-2mt-2=(t-m)2-m2-2(t≥2),当m>2时,函数h(t)在[2,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(m)=-m2-2=-11,解得m=3或m=-3(舍去);当m≤2时,h(t)在[2,+∞)上单调递增,h(t)min=h(2)=2-4m=-11,解得m=>2,不符合题意.综上,m=3. 11.ACD　列表解析直观解疑惑 12.　由函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,得f(x)-f(-x)=0恒成立,即a·2x+21-x-a·2-x-21+x=0恒成立,即(a-2)(2x-2-x)=0恒成立,又2x-2-x不恒为0,所以a=2.f(-2)=2·2-2+23=. 13.1　{0,1,2}　f(-1)==,则[f(-1)]=1.因为f(x)==×=×=(1+),2 025x+1+1>1,所以0<<1,f(x)=(1+)∈(,3),若f(x)∈(,1),则[f(x)]=0,若f(x)∈[1,2),则[f(x)]=1,若f(x)∈[2,3),则[f(x)]=2,故函数y=[f(x)]的值域为{0,1,2}. 14.()　由指数函数定义得又m>0且m≠1,所以m=3,n=9,则f(x)=3x.“∃x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则“∀x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)>[f(ax)]2恒成立”为真命题.注意到[f(x)]2=f(2x),所以可转化为不等式f(-x-2a2)>f(2ax)在[-1-a,a-2]上恒成立.又f(x)=3x在R上单调递增,所以-x-2a2>2ax(利用单调性脱掉“f”),即(2a+1)x+2a2<0在[-1-a,a-2]上恒成立.设函数g(x)=(2a+1)x+2a2,x∈[-1-a,a-2],由a-2>-1-a,得a>,所以g(x)单调递增,所以g(x)max<0,即(2a+1)(a-2)+2a2<0⇒4a2-3a-2<0,解得<a<,所以<a<. 15.【解析】 (1)原式=π-3+2+[()3-+1=π+()-2-=π+2.(4分) (2)∵25m=4,25n=7, ∴====.(8分) (3)由于-=1,则a+a-1=(-)2+2=3, a2+a-2=(a+a-1)2-2=7,-=(-)(a+1+a-1)=4, 所以=.(13分) 16.【解析】 (1)当x无限减小时,2x无限接近0,但不会等于0, 由题设,因为f(x)=a·2x+b的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交, 所以b=1.(5分) 由f(0)=2,得a+1=2,解得a=1,故f(x)=2x+1.(7分) (2)由(1)知g(x)= 图象如下: 　(13分) 由图象可得该函数的单调递增区间为(-∞,0].(15分) 17.【解析】 (1)函数f(x)=(, 设t=|x2-3|,则g(t)=()t, ∵t=|x2-3|= ∴t=|x2-3|在区间[-,0]和[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-]和[0,]上单调递减,(4分) 又g(t)=()t在R上单调递减, 18.【解析】 (1)f(x)的定义域为R,即9x-a·3x+1≠0对于x∈R恒成立,(1分) 令t=3x(t>0),则t2-a·t+1≠0,即a≠t+对于t>0恒成立,(3分) 由对勾函数的性质可知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以a<(t+)min,又t+≥2=2,当且仅当t=1时等号成立, 所以a<2, 即a的取值范围为(-∞,2).(7分) (2)当a=1时,f(x)==.(8分) 令t=3x(t>0),则g(t)==1+, 令m=t-2(m>-2),则h(m)=1+=1+(m>-2).(11分) ①当m=0时,h(m)=1;(12分) ②当m≠0时,h(m)=1+, 因为m∈(-2,+∞),所以由对勾函数的性质可得m++3∈(-∞,3-2]∪[3+2,+∞), 所以∈[,0)∪(0,], 即∈[--1,0)∪(0,-1], 所以h(m)=1+∈[-,1)∪(1,].(16分) 综上,f(x)的值域为[-,].(17分) 19.【解析】 (1)f(x)在(1,+∞)上单调递增.(1分) 证明如下: ∀x1,x2∈(1,+∞),且1<x1<x2, 有f(x2)-f(x1)=(a-)-(a-) =- =.(3分) 因为1<x1<x2,所以->0,-1>0,-1>0. 故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1). 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.(4分) (2)第一步:先求函数f(x)的定义域 函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).(5分) 第二步:令p(x)=f(x+1)-a-1,并化简 令p(x)=f(x+1)-a-1=.(6分) 第三步:判断p(x)的奇偶性 p(x)的定义域为{x|x≠0}, 且p(-x)==-=-p(x), 所以p(x)=f(x+1)-a-1为奇函数.(9分) 第四步:得证 所以y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称.(10分) (3)问题可转化为判断是否存在a,使a-<a2·2x在x∈(-∞,0)上有解,令t=2x,进而转化为a2t2-a(2a+1)t+2a+4<0在t∈(0,1)上有解求参数a,结合二次函数性质求a的取值范围即可. 假设存在a,使得y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集, 则不等式f(x)<a2·2x在x∈(-∞,0)上有解, 所以a-<a2·2x在x∈(-∞,0)上有解.(11分) 令t=2x(0<t<1),则a-<a2·t, 即a(t-2)-4>a2t(t-2), 整理得a2t2-a(2a+1)t+(2a+4)<0.(12分) 设函数h(t)=a2t2-a(2a+1)t+(2a+4),则h(t)<0在(0,1)上有解. 若a=0,则h(t)=4>0,不合题意,所以a≠0,a2>0,所以y=h(t)的图象所在抛物线开口向上. 又因为h(t)<0有解,所以Δ=a2(2a+1)2-4a2(2a+4)>0, 化简得(2a+3)(2a-5)>0,解得a<-或a>.(13分) ①当a<-时,y=h(t)的图象所在抛物线的对称轴t==1+∈(,1). 所以h(t)<0在(0,1)内恒有解.(14分) ②当a>时,y=h(t)的图象所在抛物线的对称轴t==1+∈(1,). 要使h(t)<0在(0,1)内有解,则h(1)=-a2+a+4<0, 解得a<或a>. 又a>,所以a>.(16分) 综上,存在常数a,使y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集,a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元指数、指数函数B卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　) A.a-1 B. C. D. 1.B　由于a>0,则=====(将根式化为分数指数幂形式,再进行指数运算). 2.已知函数f(x)=-2ax+1-2(a>0且a≠1)的图象经过定点P(m,n),则m+n=(　　) A.-1 B.-4 C.-5 D.3 2.C　令x+1=0,得x=-1,此时f(-1)=-2a0-2=-4,所以定点P的坐标为(-1,-4),即m=-1,n=-4,所以m+n=-5. 3.已知函数f(x)=ax+1(a>0,且a≠1),若f(x)在[0,1]上的最大值为M,最小值为N,且M-N=,则实数a的值为(　　) A. B.2或 C. D.或 3.D　由a的范围讨论单调性,确定最值即可求解.当a>1时,f(x)=ax+1单调递增,此时M=a2,N=a,所以M-N=a2-a=,解得a=;当0<a<1时,f(x)=ax+1单调递减,此时M=a,N=a2,所以M-N=a-a2=,解得a=.所以实数a的值为或. 4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 4.A　∵a==>=b,c==>=a,∴b<a<c. 5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)  A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x·2|x| 5.B　由f(x)的图象关于原点对称,可知f(x)为奇函数,对于A,f(-x)===f(x),为偶函数,排除A;对于C,f(x)=,为非奇非偶函数,排除C.由题图可知,f(x)在区间(0,+∞)上不单调,对于D,易知f(x)=x·2|x|在区间(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B. 6.【情境创新】德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=Ip·t,其中p为Peukert常数,不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池,第一块蓄电池的容量为C1,Peukert常数为p1;第二块蓄电池的容量为C2,Peukert常数为p2.第一块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h;第二块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t= h,则(　　) A.p1>p2,C1>C2 B.p1<p2,C1>C2 C.p1>p2,C1<C2 D.p1<p2,C1<C2 6.D　根据条件,列出关于p1,p2,C1,C2的关系式,根据指数函数的单调性,判断它们的大小关系.由题意,得C1=×20=×10,所以(=;C2=×20=×,所以(=.因为指数函数y=()x在(-∞,+∞)上单调递减,且>,所以p1<p2.又指数函数y=20x在(-∞,+∞)上单调递增,且p1<p2,所以<,所以×20<×20,即C1<C2. 7.【模块综合】已知幂函数f(x)的图象过点(,4),函数g(x)=则“∀x1≠x2,<0”的一个必要不充分条件为(　　) A.a∈(-,0) B.a∈[-,0) C.a∈(-,0) D.a∈(0,] 7.C　根据幂函数图象过点(,4),求出f(x),得到g(x)的解析式,并根据条件得到g(x)在R上单调递减时a的取值范围,最后根据必要不充分条件的含义得答案.设幂函数f(x)=xα,因为其图象过点(,4),所以f()=()α=4,解得α=-2,所以f(x)=,所以g(x)=若g(x)满足∀x1≠x2,<0,则g(x)在R上单调递减,所以(易错：已知分段函数单调递减求参数范围,除了要保证每一段函数在对应定义域上单调递减,还要注意连接点处左端的值要大于等于右端的值),所以a的取值范围是[-,0).又[-,0)⫋(-,0),所以a∈(-,0)为一个必要不充分条件(若p是q的必要不充分条件,则q⇒p,但pq). 8.已知实数a,b∈(0,3),且满足a2-b2-9=-3a-6b,则a2+2b的最小值为(　　) A.6 B. C. D.5 8.D　由题意可得a2+3a=33-b+(3-b)2,构造函数f(x)=x2+3x,结合函数f(x)在(0,3)上的单调性可得a=3-b,即可得a2+2b=(a-1)2+5,即可得解.由a2-b2-9=-3a-6b可得a2+3a=+b2-6b+9=33-b+(3-b)2.由a,b∈(0,3),得3-b∈(0,3),令f(x)=x2+3x(对等式适当变形,构造函数),则f(x)在(0,3)上单调递增,又f(a)=f(3-b),故a=3-b,则a2+2b=a2+2(3-a)=a2-2a+6=(a-1)2+5≥5,当且仅当a=1时,等号成立,故a2+2b的最小值为5. 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若实数x1,x2,x3满足==,则下列不等关系可能成立的是(　　) A.x1<x2<x3 B.x2<x3<x1 C.x3<x2<x1 D.x3<x1<x2 9.ABC　如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=的图象,再作直线y=m, 变换m的值发现,x1,x2,x3的大小关系可能为x3<x2<x1,x3=x2<x1,x2<x3<x1,x2<x3=x1,x2<x1<x3,x2=x1<x3,x1<x2<x3,故A,B,C正确,D错误. 10.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,g(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)+g(x)=2ex(其中e为常数,e≈2.718).函数F(x)=f(2x)-2mf(x)在[0,+∞)上的最小值为-11,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)=ex+e-x B.g(x)在R上单调递减 C.m=3 D.m=-3或 10.AC　A(√)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),因为f(x)+g(x)=2ex　①,所以f(-x)+g(-x)=2e-x,即f(x)-g(x)=2e-x　②,由①②得,f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x.B(✕)因为函数y=ex,y=-e-x在R上均为增函数,故g(x)=ex-e-x在R上单调递增.C(√)D(✕)因为f(2x)=e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2,所以F(x)=(ex+e-x)2-2m(ex+e-x)-2,又f(x)=ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时等号成立,所以t=ex+e-x∈[2,+∞),设h(t)=t2-2mt-2=(t-m)2-m2-2(t≥2),当m>2时,函数h(t)在[2,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,则h(t)min=h(m)=-m2-2=-11,解得m=3或m=-3(舍去);当m≤2时,h(t)在[2,+∞)上单调递增,h(t)min=h(2)=2-4m=-11,解得m=>2,不符合题意.综上,m=3. 11.设常数a∈R,函数f(x)=32-x-3x-x+a,则(　　) A.函数f(x)在R上单调递减 B.当a=1时,y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.对任意a∈R,y=f(x)的图象是中心对称图形 D.若f(m)+f(n)>2a-2,则m+n<2 11.ACD　列表解析直观解疑惑 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.已知函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,则f(-2)=　　　　.  12.　由函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,得f(x)-f(-x)=0恒成立,即a·2x+21-x-a·2-x-21+x=0恒成立,即(a-2)(2x-2-x)=0恒成立,又2x-2-x不恒为0,所以a=2.f(-2)=2·2-2+23=. 13.已知函数f(x)=,用[x]表示不超过x的最大整数,则[f(-1)]=　　　　,函数y=[f(x)]的值域为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  13.1　{0,1,2}　f(-1)==,则[f(-1)]=1.因为f(x)==×=×=(1+),2 025x+1+1>1,所以0<<1,f(x)=(1+)∈(,3),若f(x)∈(,1),则[f(x)]=0,若f(x)∈[1,2),则[f(x)]=1,若f(x)∈[2,3),则[f(x)]=2,故函数y=[f(x)]的值域为{0,1,2}. 14.已知f(x)=(m2-2m-2)·mx+n-9(m>0且m≠1)是指数函数,若“∃x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  14.()　由指数函数定义得又m>0且m≠1,所以m=3,n=9,则f(x)=3x.“∃x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则“∀x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)>[f(ax)]2恒成立”为真命题.注意到[f(x)]2=f(2x),所以可转化为不等式f(-x-2a2)>f(2ax)在[-1-a,a-2]上恒成立.又f(x)=3x在R上单调递增,所以-x-2a2>2ax(利用单调性脱掉“f”),即(2a+1)x+2a2<0在[-1-a,a-2]上恒成立.设函数g(x)=(2a+1)x+2a2,x∈[-1-a,a-2],由a-2>-1-a,得a>,所以g(x)单调递增,所以g(x)max<0,即(2a+1)(a-2)+2a2<0⇒4a2-3a-2<0,解得<a<,所以<a<. 四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)【教材变式】(1)计算:++(-0.52+(-1)0; (2)已知25m=4,25n=7,求的值;  (3)已知-=1,求的值. 15.【解析】 (1)原式=π-3+2+[()3-+1=π+()-2-=π+2.(4分) (2)∵25m=4,25n=7, ∴====.(8分) (3)由于-=1,则a+a-1=(-)2+2=3, a2+a-2=(a+a-1)2-2=7,-=(-)(a+1+a-1)=4, 所以=.(13分) 16.(15分)已知函数f(x)=a·2x+b的图象过点(0,2),且无限接近直线y=1但又不与该直线相交. (1)求f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=在平面直角坐标系中画出y=g(x)的图象,并根据图象写出该函数的单调递增区间. 16.【解析】 (1)当x无限减小时,2x无限接近0,但不会等于0, 由题设,因为f(x)=a·2x+b的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交, 所以b=1.(5分) 由f(0)=2,得a+1=2,解得a=1,故f(x)=2x+1.(7分) (2)由(1)知g(x)= 图象如下: 　(13分) 由图象可得该函数的单调递增区间为(-∞,0].(15分) 17.(15分)已知函数f(x)=(. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x∈(-1,1)时,f(1-m)>f(2m),求m的取值范围. 17.【解析】 (1)函数f(x)=(, 设t=|x2-3|,则g(t)=()t, ∵t=|x2-3|= ∴t=|x2-3|在区间[-,0]和[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-]和[0,]上单调递减,(4分) 又g(t)=()t在R上单调递减, 18.(17分)设函数f(x)=,a∈R. (1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (2)若a=1,求f(x)的值域. 18.【解析】 (1)f(x)的定义域为R,即9x-a·3x+1≠0对于x∈R恒成立,(1分) 令t=3x(t>0),则t2-a·t+1≠0,即a≠t+对于t>0恒成立,(3分) 由对勾函数的性质可知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以a<(t+)min,又t+≥2=2,当且仅当t=1时等号成立, 所以a<2, 即a的取值范围为(-∞,2).(7分) (2)当a=1时,f(x)==.(8分) 令t=3x(t>0),则g(t)==1+, 令m=t-2(m>-2),则h(m)=1+=1+(m>-2).(11分) ①当m=0时,h(m)=1;(12分) ②当m≠0时,h(m)=1+, 因为m∈(-2,+∞),所以由对勾函数的性质可得m++3∈(-∞,3-2]∪[3+2,+∞), 所以∈[,0)∪(0,], 即∈[--1,0)∪(0,-1], 所以h(m)=1+∈[-,1)∪(1,].(16分) 综上,f(x)的值域为[-,].(17分) 19.(17分)【探索新定义】已知函数f(x)=a-,其中a∈R. (1)判断并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性; (2)我们知道,函数y=g(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=g(x+m)-n为奇函数,据此,证明:y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称; (3)把集合{x∈I|φ(x)<k·ω(x),k为常数}称为函数y=φ(x)关于函数y=ω(x)在区间I上的k倍集,是否存在a,使得y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 19.【解析】 (1)f(x)在(1,+∞)上单调递增.(1分) 证明如下: ∀x1,x2∈(1,+∞),且1<x1<x2, 有f(x2)-f(x1)=(a-)-(a-) =- =.(3分) 因为1<x1<x2,所以->0,-1>0,-1>0. 故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1). 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.(4分) (2)第一步:先求函数f(x)的定义域 函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).(5分) 第二步:令p(x)=f(x+1)-a-1,并化简 令p(x)=f(x+1)-a-1=.(6分) 第三步:判断p(x)的奇偶性 p(x)的定义域为{x|x≠0}, 且p(-x)==-=-p(x), 所以p(x)=f(x+1)-a-1为奇函数.(9分) 第四步:得证 所以y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称.(10分) (3)问题可转化为判断是否存在a,使a-<a2·2x在x∈(-∞,0)上有解,令t=2x,进而转化为a2t2-a(2a+1)t+2a+4<0在t∈(0,1)上有解求参数a,结合二次函数性质求a的取值范围即可. 假设存在a,使得y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集, 则不等式f(x)<a2·2x在x∈(-∞,0)上有解, 所以a-<a2·2x在x∈(-∞,0)上有解.(11分) 令t=2x(0<t<1),则a-<a2·t, 即a(t-2)-4>a2t(t-2), 整理得a2t2-a(2a+1)t+(2a+4)<0.(12分) 设函数h(t)=a2t2-a(2a+1)t+(2a+4),则h(t)<0在(0,1)上有解. 若a=0,则h(t)=4>0,不合题意,所以a≠0,a2>0,所以y=h(t)的图象所在抛物线开口向上. 又因为h(t)<0有解,所以Δ=a2(2a+1)2-4a2(2a+4)>0, 化简得(2a+3)(2a-5)>0,解得a<-或a>.(13分) ①当a<-时,y=h(t)的图象所在抛物线的对称轴t==1+∈(,1). 所以h(t)<0在(0,1)内恒有解.(14分) ②当a>时,y=h(t)的图象所在抛物线的对称轴t==1+∈(1,). 要使h(t)<0在(0,1)内有解,则h(1)=-a2+a+4<0, 解得a<或a>. 又a>,所以a>.(16分) 综上,存在常数a,使y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集,a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元指数、指数函数B卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　) A.a-1 B. C. D. 2.已知函数f(x)=-2ax+1-2(a>0且a≠1)的图象经过定点P(m,n),则m+n=(　　) A.-1 B.-4 C.-5 D.3 3.已知函数f(x)=ax+1(a>0,且a≠1),若f(x)在[0,1]上的最大值为M,最小值为N,且M-N=,则实数a的值为(　　) A. B.2或 C. D.或 4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)  A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x·2|x| 6.【情境创新】德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=Ip·t,其中p为Peukert常数,不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池,第一块蓄电池的容量为C1,Peukert常数为p1;第二块蓄电池的容量为C2,Peukert常数为p2.第一块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h;第二块电池测试:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t= h,则(　　) A.p1>p2,C1>C2 B.p1<p2,C1>C2 C.p1>p2,C1<C2 D.p1<p2,C1<C2 7.【模块综合】已知幂函数f(x)的图象过点(,4),函数g(x)=则“∀x1≠x2,<0”的一个必要不充分条件为(　　) A.a∈(-,0) B.a∈[-,0) C.a∈(-,0) D.a∈(0,] 8.已知实数a,b∈(0,3),且满足a2-b2-9=-3a-6b,则a2+2b的最小值为(　　) A.6 B. C. D.5 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若实数x1,x2,x3满足==,则下列不等关系可能成立的是(　　) A.x1<x2<x3 B.x2<x3<x1 C.x3<x2<x1 D.x3<x1<x2 10.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,g(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)+g(x)=2ex(其中e为常数,e≈2.718).函数F(x)=f(2x)-2mf(x)在[0,+∞)上的最小值为-11,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)=ex+e-x B.g(x)在R上单调递减 C.m=3 D.m=-3或 11.设常数a∈R,函数f(x)=32-x-3x-x+a,则(　　) A.函数f(x)在R上单调递减 B.当a=1时,y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.对任意a∈R,y=f(x)的图象是中心对称图形 D.若f(m)+f(n)>2a-2,则m+n<2 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.已知函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数,则f(-2)=　　　　.  13.已知函数f(x)=,用[x]表示不超过x的最大整数,则[f(-1)]=　　　　,函数y=[f(x)]的值域为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  14.已知f(x)=(m2-2m-2)·mx+n-9(m>0且m≠1)是指数函数,若“∃x∈[-1-a,a-2],不等式f(-x-2a2)≤[f(ax)]2恒成立”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)【教材变式】(1)计算:++(-0.52+(-1)0; (2)已知25m=4,25n=7,求的值;  (3)已知-=1,求的值. 16.(15分)已知函数f(x)=a·2x+b的图象过点(0,2),且无限接近直线y=1但又不与该直线相交. (1)求f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=在平面直角坐标系中画出y=g(x)的图象,并根据图象写出该函数的单调递增区间. 17.(15分)已知函数f(x)=(. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x∈(-1,1)时,f(1-m)>f(2m),求m的取值范围. 18.(17分)设函数f(x)=,a∈R. (1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (2)若a=1,求f(x)的值域. 19.(17分)【探索新定义】已知函数f(x)=a-,其中a∈R. (1)判断并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性; (2)我们知道,函数y=g(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=g(x+m)-n为奇函数,据此,证明:y=f(x)的图象关于点(1,a+1)对称; (3)把集合{x∈I|φ(x)<k·ω(x),k为常数}称为函数y=φ(x)关于函数y=ω(x)在区间I上的k倍集,是否存在a,使得y=f(x)关于y=2x在(-∞,0)上的a2倍集不为空集?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $