精品解析：河南省省直辖县级行政单位联考2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025秋快乐学习报测评版－期中（JY） 九年级数学（RJ） 测试范围：21－23章 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列图形，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 6. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是3 B. 开口向上 C. 与轴无交点 D. 对称轴是直线 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y1＜y2 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y1＜y3 9. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次函数的图像开口向下，则m的值为___________． 12. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 13. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是_____． 14. 如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为__________． 15. 如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值． 18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … -1 0 1 2 … y … -3 0 1 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）写出y随x增大而减小的x的取值范围； （4）若，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 21. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． （2）如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 22. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 23. 是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． （1）如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋快乐学习报测评版－期中（JY） 九年级数学（RJ） 测试范围：21－23章 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 观察下列图形，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将D选项中的图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合， 所以这个图形就是中心对称图形. 故选：D． 3. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】考点：旋转的性质． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 5. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 6. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是3 B. 开口向上 C. 与轴无交点 D. 对称轴是直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了的图象性质，根据抛物线，得顶点坐标为，则对称轴是直线，函数的开口方向向下，再列式，解得函数与轴有两个交点，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故D选项不符合题意； ∵， ∴函数的开口方向向下， 故B选项不符合题意； 则函数的最大值是3， 故A选项符合题意； 令， ∴， 则， 解得 ∴函数与轴有两个交点 故C选项不符合题意； 故选：A 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 8. 已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y1＜y2 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y1＜y3 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断． 【详解】∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＞时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是，而， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，要比较二次函数值的大小，关键是掌握二次函数的性质． 9. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 10. 如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质等知识，求出，每秒旋转，6次一个循环，，可得第2025秒与起始位置夹角为，据此求解即可． 【详解】解：设， 由题意可得：， ， 矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴6次一个循环，， 第2025秒与起始位置夹角为， 与x轴负半轴夹角为， 与x轴正半轴夹角为， ， 解得， 因为点D在第四象限，故， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次函数的图像开口向下，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，以及二次函数图像开口向下即可得出的值． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 12. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而求a+b即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称， ∴b=-3，a=5， ∴a+b=-3+5=2． 故答案是： 2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 13. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再代入所求表达式即可求解． 【详解】解：因为是一元二次方程的一个实数根，所以满足方程，即，则有， ∴； 故答案为2026． 14. 如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再证明，即可得，，即有为等腰直角三角形，即可得，问题随之得解． 【详解】解：根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 15. 如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点在不同位置时，与抛物线的相交情况．利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点的坐标，再分类讨论点的位置情况，即当点在点的左侧时，当点在线段上时，当点在点的右侧时，分析与抛物线的相交情况即可． 【详解】解：点为抛物线与直线的一个交点， ，， 解得，， 抛物线解析式为，直线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为 联立方程组得，解得，， 点的坐标为， 点是直线上的一个动点，点是将点向左平移3个单位长度所得， 轴， 又，的水平距离为， 当在点左侧时，与抛物线无公共点， 当点在线段上，不含点时，与抛物线有一个公共点，即， 当点在点右侧时，只有与抛物线顶点相交时，即时，与抛物线有一个公共点， 综上所述得，的取值范围是或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值． 【答案】（1）见解析 （2）正整数或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可； （2）首先利用因式分解法求出方程的两个解，然后根据题意求解即可． 【小问1详解】 证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 或 ∴或， ∵方程的两个根均为整数， ∴是整数， ∴或， 则正整数或. 18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … -1 0 1 2 … y … -3 0 1 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）写出y随x增大而减小的x的取值范围； （4）若，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）当x>1时，y随x增大而减小 （4）-3<y≤1 【解析】 【分析】（1）将表格中的数据代入，用待定系数法进行求解即可； （2）根据表格中的数据，用描点法即可画出函数图像； （3）求出函数的对称轴，根据函数的开口方向即可进行解答； （4）根据二次函数图像进行解答即可． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， 将表格中数据代入得： ，解得：， ∴设该函数的表达式为， 【小问2详解】 如图： 【小问3详解】 由（2）可知，该函数的对称轴为：x=1，开口方向向下， ∴当x>1时，y随x增大而减小． 【小问4详解】 由图可知：当时，-3<y≤1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握用待定系数法求解二次函数的表达式以及根据图像得出二次函数的增减性是解题的关键． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求； （2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：连接 ∵中， ∴ ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． （2）如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】（1）①②米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【小问1详解】 解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． 【小问2详解】 解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 22. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到结论； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．根据抛物线解析式求出B（0，3），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，根据S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S与m的关系式，利用函数的性质求出m的值，进而得到结论． 【详解】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小． 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y=-x+3， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴是直线x=1． 当x=1时，y=-1+3=2， ∴P（1，2）； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB =×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3 =-m2+m =-（m-）2+， ∴当m═时，S最大，此时Q（，）． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等知识，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23. 是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． （1）如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请求出的长． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）证明，进一步可得答案； （2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出和，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形，点是的中点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：结论成立，证明如下： 连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问3详解】 解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图， ， ∴ ， ， ， 由（2）知：， 和是等边三角形， ∴ 当点在上时，作于，如图， 同上知：和是等边三角形， ∴, ， ， ， ∵ ∴ ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $