九年级上册期中模拟卷02-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：浙教版 九年级上册。 第Ⅰ卷（选择题） 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是（   ） A．1 B． C． D． 2．将抛物线向右平移1个单位得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 4．下列命题正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．不在同一直线上的三点确定一个圆 D．圆内接三角形一定是等边三角形 5．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到出，与相交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于点A，B．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 9．若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（    ） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 10．已知二次函数，当时，随着的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在 ． 12．二次函数的顶点坐标是 ． 13．已知，则＝ ． 14．甲、乙、丙三个人相互传一个球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则经过两次传球后，球回到甲手中的概率是 ． 15．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为 ． 16．如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，第17题-第20题每题8分，第21题-第24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分)如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 18．（8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围． 19．（8分)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)求点的坐标以及与的周长比． 20．（8分)“世界读书日”又称“世界图书日”，全称“世界图书与版权日”．年，联合国教科文组织宣布月日为“世界读书日”，鼓励人们，尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动人类社会和文化进步的人们所做出的伟大贡献表示感谢和尊重．第三届全民阅读大会于年月日在昆明开幕，共建书香社会，共享现代文明．昆明市某中学为迎接世界读书日，进一步引导学生遨游书海，亲近书籍，与好书为友，开阔视野，陶冶情操，举行读书活动．计老师推荐了四本书：《昆虫记》、《活着》、《上下五千年》、《骆驼祥子》，小明和小红各殖机选择一本书，不论选择哪一本的可能性相等． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求人各选择一本书所有可能出现的结果总数； (2)求人恰好选择《昆虫记》和《骆驼祥子》的概率． 21．（10分)如图，四边形为菱形，点在延长线上，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 22．（10分)某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？ （2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由. 23．（10分)如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 24．（10分)已知二次函数的图像与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标； (3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：浙教版 九年级上册。 第Ⅰ卷（选择题） 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】列树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：列出树状图.由图可知： 一个正面朝上，一个反面朝上的概率为： 故选：B． 【点睛】本题主要考查概率的计算，熟练掌握树状图的画法是解决本题的关键． 2．将抛物线向右平移1个单位得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位得到的抛物线是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 3．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：五条平行横线的距离都相等， ， ， ， 故选：A． 4．下列命题正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．不在同一直线上的三点确定一个圆 D．圆内接三角形一定是等边三角形 【答案】C 【分析】根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可． 【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意； B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意； D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意． 故选：C 【点睛】此题考查了等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形等相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 5．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到出，与相交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得∠ACA’=40°，AC= A’C，由等边对等角求出∠AA’C的度数，问题得解. 【详解】解：由旋转可知：∠ACA’=40°，AC= A’C，∠B’A’C=∠BAC=90°， ∴∠CAA’= ∠AA’C=， ∴∠B’A’A=90°-70°=20°， 故选C. 【点睛】本题考查旋转的性质和等腰三角形的性质，明确旋转角的定义与旋转前后对应角相等是解题关键. 7．如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：根据题意，的长． 故选：B． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于点A，B．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数交点解不等式． 可以变形为，据此根据图象判断即可． 【详解】解：可以变形为， 即， 根据图象可知，此时或． 故选：D． 9．若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（    ） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【答案】B 【分析】由已知确定函数的对称轴为x=2，然后根据A、B、C三点到对称轴的距离即可判断． 【详解】解：y=（x-2）2+3的开口向上，对称轴为直线x=2， ∵A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，且B在对称轴上，A到对称轴的距离最远， ∴y2＜y3＜y1， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴距离越远，其函数值越大，反之，开口向下，点到对称轴越近，函数值越大是解题的关键． 10．已知二次函数，当时，随着的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而减小，由于时，y的值随x值的增大而减小，于是得到. 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口向下 当，y的值随x值的增大而减小 而时，y随x的增大而减小 ∴ 故选：D. 【点睛】此题主要考查二次函数的增减性，熟练根据函数解析式确定抛物线的对称轴及开口方向是解题关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在 ． 【答案】内 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内,据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，点A到圆心O的距离为3，且， ∴点A在内， 故答案为：内． 12．二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 13．已知，则＝ ． 【答案】． 【分析】直接利用已知用同一未知数表示出x，y，z的值，进而化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴设x＝4a，则y＝3a，z＝2a， 则＝＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 14．甲、乙、丙三个人相互传一个球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则经过两次传球后，球回到甲手中的概率是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过二次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有4种等可能结果，其中经过两次传球后，球回到甲手中的有2种结果， ∴经过两次传球后，球回到甲手中的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 先求出点A、B的坐标，然后求得抛物线的解析式．如图：过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据以及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴， 把点代入可得：，解得：， ∴， 如图：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为． 故答案为：． 16．如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，第17题-第20题每题8分，第21题-第24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分)如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据相似多边形的对应角相等可得，再根据四边形内角和即可求解； （）根据相似多边形的对应边成比例可得，解比例式即可求解； 此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ， ， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴， 解得，． 18．（8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)；， 【分析】 （1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标； （2）令，求出或，则可求出，两点的坐标，由图像可求出自变量的取值范围． 【详解】（1） 解：将代入得， ， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为； （2） 解：令得， 解得，， ，， 当时，自变量的取值范围是． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图像与轴的交点． 19．（8分)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)求点的坐标以及与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为，与的周长比是 【分析】（1）根据沿轴翻折，即画出关于轴对称的图形，从而得到； （2）根据位似图形的特点，作出、、的对应点、、即可； （3）写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，点的坐标为，与的周长比是． 【点睛】本题考查轴对称图形的画法，位似图形的画法，解题的关键是根据题意，正确画出图形． 20．（8分)“世界读书日”又称“世界图书日”，全称“世界图书与版权日”．年，联合国教科文组织宣布月日为“世界读书日”，鼓励人们，尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动人类社会和文化进步的人们所做出的伟大贡献表示感谢和尊重．第三届全民阅读大会于年月日在昆明开幕，共建书香社会，共享现代文明．昆明市某中学为迎接世界读书日，进一步引导学生遨游书海，亲近书籍，与好书为友，开阔视野，陶冶情操，举行读书活动．计老师推荐了四本书：《昆虫记》、《活着》、《上下五千年》、《骆驼祥子》，小明和小红各殖机选择一本书，不论选择哪一本的可能性相等． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求人各选择一本书所有可能出现的结果总数； (2)求人恰好选择《昆虫记》和《骆驼祥子》的概率． 【答案】(1)一共有种等可能的结果； (2)人恰好选择《昆虫记》和《骆驼祥子》的概率为． 【分析】（）画树状图即可求出所有可能出现的结果总数； （）通过概率公式求概率即可， 本题考查了画树状图法或列表法求概率，熟练掌握知识点得应用是解题的关键． 【详解】（1）画树状图为： ∴一共有种等可能的结果； （2）由上可知：人恰好选择《昆虫记》和《骆驼祥子》共有种等可能的结果， ∴人恰好选择《昆虫记》和《骆驼祥子》的概率为． 21．（10分)如图，四边形为菱形，点在延长线上，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，再结合已知条件，可得，于是结论得证； （2）由菱形的性质可得，由等边对等角可得，由（1）可得，进而可得，再结合，于是结论得证； （2）由（2）可得，于是可得，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， 又， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角，等角对等边，平行线的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（10分)某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？ （2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由. 【答案】 （1）该商品销售价是30元/件;（2）销售单价为35元/件时，销售利润最大. 【详解】试题分析：（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价； 试题解析： （1）设销售价格为x元，是当天销售利润为2000元， .       , ，（舍去）.      答：则该商品销售价是30元/件. （2）设该商品每天的销售利润为y. ,     , ,       答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大.    23．（10分)如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)52° (2) 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，垂直平分线基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）连接，，先通过“到线段两端的距离相等的点在垂直平分线上”，得到垂直平分，再通过三角形的内角和定理计算即可； （2）延长CG交于点H，连接，先证得，再通过勾股定理算出，再在中利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：连接，． ∵，经过点， ∴，，且． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于点H，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． 在中 由勾股定理得：， ∵， ∴． 设的半径为r， 在中，， ∴． 解得：． 24．（10分)已知二次函数的图像与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标； (3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，即可求出点A的坐标； （2）如图1中连接，．由点到直线的距离取得最大，可得此时的面积最大，求出直线的解析式为，过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，然后用m表示出△DAC的面积，利用二次函数的性质求解即可； （3）分OB为对角线以及边两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 则有， 解得， ∴二次函数的解析式为， 令，得到，解得或1， ∴； （2）解：如图1中连接，． ∵点到直线的距离取得最大， ∴此时的面积最大， 设直线解析式为：， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴当时，，点， ∴点到直线的距离取得最大时，． （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 如图2中，当是平行四边形的边时，，， ∴点N的横坐标为-2或0， ∴或， 当为对角线时，设点N的坐标为（s，t）， 由平行四边形对角线中点坐标相同得：， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $