九年级上册期中模拟卷01-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：浙教版 九年级上册。 第Ⅰ卷（选择题） 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，是随机事件的为（　　） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中 B．通常温度降到以下，纯净的水结冰 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．π是无理数 【答案】A 【分析】随机事件是指可能发生也肯能不发生的事件，据此判断即可． 【详解】A项，篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，本项符合题意； B项，通常温度降到以下，纯净的水结冰，是必然事件，本项不符合题意； C项，任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，本项不符合题意； D项，π是无理数，是必然事件，本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件的判断．可能发生也肯能不发生的事件是随机事件，一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件．掌握随机事件的定义是解答本题的关键． 2．二次函数y＝（x﹣1）2﹣2图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2 【答案】A 【分析】根据顶点式可以直接写出对称轴. 【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2， ∴对称轴为直线x＝1， 故选A． 【点睛】此题重点考查学生对函数对称轴的认识，熟练函数解析式的变化是解题的关键. 3．若的半径为6cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可求得答案． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离， ∴点A在内． 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种：设的半径为r，点P与圆心的距离为d，则有①点在圆内时，；②点在圆上时：；③点在圆外时：． 4．如图，点A，B，C在上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理直接得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握同弧或等弧所的圆周角等于圆心角的一半． 5．在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中2个白球、3个黄球和4个红球．从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：袋中装有9个只有颜色不同的球，且黄球有3个， 从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查简单概率公式计算概率，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率为． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：∵将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴所得抛物线对应的函数表达式为． 故选：C 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 7．已知函数y=-x2-bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是（            ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件“b＞0”推出“-b＜0”，“a＜0、-b＜0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象． 【详解】解：∵b >0 ∴-b＜0 ∵a=-1＜0，-b＜0，c＜0， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数． 8．如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为（    ） A．4 B．5 C．3 D．7 【答案】B 【分析】由垂径定理可得的长，利用勾股定理即可求出的长，即为圆的半径． 【详解】解：作于E，连接， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理． 9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法： ①b2﹣4ac=0； ②4a+2b+c＜0； ③3a+c=0； ④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2， 其中正确的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】试题分析：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，①错误； ∵抛物线的对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴当x=2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，②错误； ∵x=﹣=﹣1， ∴b=2a， ∵当x=1时，y=0， ∴a+b+c=0，即3a+c=0，③正确； ∵抛物线的对称轴为x=﹣1， ∴x=3与x=﹣5时的y值相等， 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴y1＞y2，④正确， 故选B． 考点：二次函数图象与系数的关系． 10．如图，在中，，，，点在边上，点在边上，若，且平分的周长，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键．过点作于点，先证，求得， 从而求得 再利用勾股定理即可得解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分的周长， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴即 ∴， ∴ ∴ 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的求值．设，，，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴， 故答案为：． 12．如图，四边形内接于，为直径，，，则 ．    【答案】/度 【分析】连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图所示，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 13．如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，旋转的性质，根据旋转的性质，得，，再根据图形面积之间的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：如图，根据旋转的性质，得，， ∴． 故答案为：． 14．如图，，，且，，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先在中，根据勾股定理求出，再在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 ，，， 在中， ，， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方是解题的关键． 15．若二次函数的图象经过三点，则大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】先求出二次函数的对称轴，再求出点、、到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线， ，，， ， ∴二次函数图象开口向上， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键． 16．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理可知是的直径，圆心在上，利用勾股定理可以求出，以为斜边构造等腰直角，根据，利用勾股定理可知，以点为圆心为半径作圆，在优上取一点，连接、，则，因为，可知点、、、四点共圆，所以点在劣弧上运动，根据两点之间线段最短，可知当点在线段上时的值最小，其中的长度是的半径，则有，利用勾股定理可以求出，利用即可得到的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是的直径，圆心在上， ， ， ， ， 以为斜边构造等腰直角， 则有，， ， 以点为圆心，为半径作圆， 在优弧上取一点，连接、，则， ， 点在的劣弧上运动， 当点、、三点共线时，的值最小， ，， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，第17题-第20题每题8分，第21题-第24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数y=2x2+bx+1的图象过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】（1）y=2x2-3x+1；（2）点P的坐标为（0，1）或（3，10）． 【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论； （2）把点P（m，m2+1）代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【详解】（1）∵二次函数y=2x2+bx+1的图象过点（2，3）， ∴3=8+2b+1， ∴b=-3， ∴该二次函数的表达式为y=2x2-3x+1； （2）∵点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上， ∴m2+1═2m2+-3m+1， 解得：m1=0，m2=3， ∴点P的坐标为（0，1）或（3，10）． 【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图形上上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键． 18．（8分）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）EF＝2． 【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得； （2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， ∵AB＝2DC，BE＝2DF， ∴AB：DC＝BE：DF＝2， ∴△ABE∽△CDF； （2）解：∵BE＝2DF，DF＝2， ∴ , ∵BD＝8， ∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 19．（8分）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1)25° (2) 【分析】（1）由为的直径，是弦，且于E，根据垂径定理的即可求得，，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：． （2）设的半径为，得到，根据垂径定理得到 ，利用在Rt 中，由勾股定理列出方程，故可求解． 【详解】（1）∵为的直径，是弦，且 于E， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴ （2）设⊙O的半径为，则， 在 中，由勾股定理可得 解得：， ∴ 答：的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 20.（8分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）连接， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 21．（10分）电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为． 故答案为：； （2）解：如图： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为． 22．（10分）丽江古城某客栈客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价每增加10元时，就会有一套房间空闲．对有游客入住的房间，客栈需对每套房间每天支出20元的各种费用．设每套房间每天的定价增加x元．求： (1)房间每天的入住量y（套）关于x（元）的函数关系式； (2)该客栈每天的房间收费总额z（元）关于x（元）的函数关系式； (3)该客栈客房部每天的利润W（元）关于x（元）的函数关系式；当每套房间的定价为每天多少元时，W有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)，当每个房间的定价为每天元时，W有最大值，且最大值是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用、求二次函数的最大（小）值，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题． （1）根据题意可得； （2）已知每天定价为x元，则每天要元．则； （3）支出费用为，则利润，利用配方法化简可求最大值． 【详解】（1）解：由题意得：； （2），即； （3） ， 当时，W有最大值， 此时，，就是说，当每个房间的定价为每天元时，W有最大值，且最大值是元． 23．（10分）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接 (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于点，于点，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴ 即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图；过点作于点，于点， 则， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点，   ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∴矩形是正方形， 设， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题考查垂直平分线的判定及性质，圆周角定理，内接四边形的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 24．（10分）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作交于点，利用全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）过点作交于点，利用相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据等角对等边得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∵， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 由（2）得，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：浙教版 九年级上册。 第Ⅰ卷（选择题） 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，是随机事件的为（　　） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中 B．通常温度降到以下，纯净的水结冰 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．π是无理数 2．二次函数y＝（x﹣1）2﹣2图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2 3．若的半径为6cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 4．如图，点A，B，C在上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中2个白球、3个黄球和4个红球．从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数y=-x2-bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是（            ） A．B．C． D． 8．如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为（    ） A．4 B．5 C．3 D．7 9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法： ①b2﹣4ac=0； ②4a+2b+c＜0； ③3a+c=0； ④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2， 其中正确的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，，，点在边上，点在边上，若，且平分的周长，则的长是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，则 ． 12．如图，四边形内接于，为直径，，，则 ．    13．如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，，，且，，，则线段的长为 ．    15．若二次函数的图象经过三点，则大小关系为 ． 16．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 三、解答题（本题共8小题，第17题-第20题每题8分，第21题-第24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数y=2x2+bx+1的图象过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标． 18．（8分）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 19．（8分）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径． 20.（8分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 21．（10分）电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 22．（10分）丽江古城某客栈客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价每增加10元时，就会有一套房间空闲．对有游客入住的房间，客栈需对每套房间每天支出20元的各种费用．设每套房间每天的定价增加x元．求： (1)房间每天的入住量y（套）关于x（元）的函数关系式； (2)该客栈每天的房间收费总额z（元）关于x（元）的函数关系式； (3)该客栈客房部每天的利润W（元）关于x（元）的函数关系式；当每套房间的定价为每天多少元时，W有最大值？最大值是多少？ 23．（10分）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接 (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 24．（10分）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $