第3章 实数能力提升测试卷-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

第三章 实数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数中无理数个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．2与 B．与 C．与 D．与 4．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 6．如图，数轴上 、 两点表示的数分别是 1 和 ，点 关于点 的对称点是 ，则点 所表示的数是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的有（　　） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身；⑤实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 9．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 12．实数的算术平方根是 ． 13．如图，在数轴上表示实数的点可能是点 ．（选填“”“”“”或“”） 14．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 15．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 16．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 18．（8分）计算： (1) (2) 19．（8分）若整数m的两个平方根为和；n为的整数部分． (1)求m及n的值； (2)求的平方根和立方根． 20．（8分）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 21．（10分）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 22．（10分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为36，求m的值． 23．（10分）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 24．（10分）（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在实数中无理数个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，先化简，再结合无限不循环小数即为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，不是无理数，都不是无理数， 都是无限不循环小数， 即无理数个数为4个， 故选：D 2．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于小于，且更靠近， A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项符合题意； D、，，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，立方根等，解题的关键是掌握以上运算法则． 先根据求一个数的算术平方根，立方根等运算对原式进行求解，再根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A. ，2的相反数是，该选项不符合题意； B. ， 的相反数是2，该选项不符合题意； C. ，的相反数是3，该选项不符合题意； D. ，该选项两个数互为相反数，符合题意； 故选：D． 4．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估计．根据可得，即可求得的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 5．下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是16的平方根，故原说法正确，不符合题意； B、17是的算术平方根，故原说法正确，不符合题意； C、的算术平方根是，故原说法正确，不符合题意； D、0.9的算术平方根不是0.03，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，数轴上 、 两点表示的数分别是 1 和 ，点 关于点 的对称点是 ，则点 所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，数轴上两点之间的距离计算，准确计算是解题的关键． 先求出，根据对称可得，然后求出点C到原点的距离，即可得到点C表示的数； 【详解】∵数轴上A ，B两点表示的数分别为1和， ∴， ∵点 关于点 的对称点是 ， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故选D． 7．下列说法正确的有（　　） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身；⑤实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，实数与数轴的关系；由平方根、算术平方根、立方根的定义求解，并用实数与数轴上的点一一对应进行逐一判断即可． 【详解】解：①5是25的算术平方根，说法正确；②是64的立方根，所以原说法错误；③的平方根是，说法正确；④0的平方根和算术平方根都是它本身，说法正确；⑤实数与数轴上的点一一对应，说法正确； 故选：A． 8．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 9．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方根，立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据平方根的性质求出b的值，进而得出a的值，再代入求出，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：数的两个平方根是和， ，即， 解得：， ， ， ， 则的立方根为， 故答案为：3． 12．实数的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可． 本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 【详解】解：实数的算术平方根是， 故答案为：． 13．如图，在数轴上表示实数的点可能是点 ．（选填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】先确定的取值范围，再根据数轴上点的位置判断表示的点．本题主要考查了实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，熟练掌握利用平方数估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解： ，即． 观察数轴，在附近，在附近，在到之间，在到之间， 所以表示的点可能是． 故答案为： ． 14．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 15．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 16．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 【答案】(1)，，，， (2)，3.14 (3)，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 【分析】本题考查了实数的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小于0的实数为负实数进行逐个分析，即可作答； （2）结合分数的定义进行逐个分析，即可作答． （3）根据无限不循环小数即为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴负实数集合{，，，，，…}； （2）解：依题意，，不是分数， ∴分数集合{，3.14，…}； （3）解：依题意， ∴，不是无理数， ∴无理数集合{，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），…} 18．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值，立方根，有理数的乘方，算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算绝对值，立方根，有理数的乘方，算术平方根，再根据加减混合运算即可求解； （2）先算立方根，算术平方根，再根据加减混合运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）若整数m的两个平方根为和；n为的整数部分． (1)求m及n的值； (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根和立方根分别为和4． 【分析】本题考查平方根，立方根和无理数的估算．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据两个平方根互为相反数，求出和的值，根据无理数的估算，确定n的值即可； （2）将m及n的值代入后，再根据平方根和立方根的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵m的两个平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，即：， ∴； （2）解：，， ∴， ∴的平方根为； 的立方根为． ∴的平方根和立方根分别为和4． 20．（8分）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 21．（10分）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【详解】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 22．（10分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为36，求m的值． 【答案】(1)是，见详解 (2)或 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：是“完美组合数”，理由如下： ，24，12，6都是整数， ∴这三个数是“完美组合数”； （2）解：当时，解得， ∵为整数， ∴是“完美组合数”，符合题意； 当时，解得， ∵为整数， ∴是“完美组合数”，符合题意； ，舍去； 则或． 23．（10分）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)，24． (2)18 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）当时，，据此计算即可； （2）根据当时，，计算即可． 【详解】（1）解：当时，； ∴． （2）解∵长方形的宽为，长为， ∴这个长方形的面积为 24．（10分）（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 【答案】（1）；（2）不同意，理由见解析；（3）． 【分析】本题考查的是算术平方根的概念和二次根式的运算．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，圆面积公式，是解题的关键． （1）取大正方形面积的算术平方根，即得； （2）设长方形纸片的长为，宽为，得，解得，根据正方形的边长为9，，得小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a，则，解得，得；由，解得，得，得，即得． 【详解】解：（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形边长为； 故答案为：； （2）不同意小明的说法， ∵面积为81的正方形纸片的边长为：，长方形纸片的长和宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，宽为， ∵长方形纸片面积为60， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a， 则圆面积， ∴， ∴； ∵正方形面积， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $