第11讲 指数函数讲义（知识清单+7题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版必修第一册）

第11讲 指数函数 知识清单 知识点01：指数函数的概念 1 知识点02：指数函数的图象和性质 2 题型归纳 题型01 指数函数的图象及应用 2 题型02 指数型函数图象过定点问题 3 题型03 指数函数的单调性 3 题型04 由指数函数的单调性解不等式 4 题型05 指数函数的值域或最值 5 题型06 指数型复合函数中函数的值域与单调性 5 题型07 指数函数最值与不等式的综合问题 6 强化训练 8 知识点01 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 注意点： (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 知识点02 指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 题型01 指数函数的图象及应用 【例1】（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   【变式1-1】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·上海青浦·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第 象限． 题型02 指数型函数图象过定点问题 【例2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【变式2-1】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 【变式2-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数（且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是 . 【变式2-3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 题型03 指数函数的单调性 【例3-1】（22-23高一上·上海杨浦·期末）函数的单调增区间是 . 【例3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例3-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，且函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值 . 【变式3-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 题型04 由指数函数的单调性解不等式 【例4】（22-23高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 . 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同，则 . 【变式4-2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）若时，指数函数的值总小于1，则实数的取值范围为 ． 【变式4-3】（22-23高一上·上海松江·期末）若，， (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型05 指数函数的值域或最值 【例5-1】（24-25高一上·上海·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）函数，的最小值为 . 【变式5-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数的值域是 ． 题型06 复合函数中函数的值域与单调性 【例6-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数，则该函数在上是（    ） A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 【例6-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【变式6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 题型07 指数函数最值与不等式的综合问题 【例7】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式7-1】（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知 ，则下列命题中真命题的个数为（   ） ①至少有一个不小于1；  ②至少有一个不大于1 ； ③恒成立；     ④恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 二、填空题 5．（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 6．（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为 . 7．（23-24高一上·上海奉贤·期中）不等式的解集为 ． 8．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 9．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 10．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 11．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 13．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·上海闵行·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.若函数在定义域上为“依赖函数”，则的取值范围是 . 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 16．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 17．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 18．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 三、解答题 19．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，有理数时，求证：； 20．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明在上的单调性． 21．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 22．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知． (1)解不等式：； (2)记，求函数的最小值． 23．（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 24．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 25．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质． (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值． 26．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 27．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若函数满足对任意的都有成立，则称函数为“倒函数”． (1)判断函数和是否为“倒函数”； (2)若为“倒函数”，求实数的值； (3)若（为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 指数函数 知识清单 知识点01：指数函数的概念 1 知识点02：指数函数的图象和性质 2 题型归纳 题型01 指数函数的图象及应用 2 题型02 指数型函数图象过定点问题 5 题型03 指数函数的单调性 6 题型04 由指数函数的单调性解不等式 9 题型05 指数函数的值域或最值 10 题型06 指数型复合函数中函数的值域与单调性 12 题型07 指数函数最值与不等式的综合问题 13 强化训练 19 知识点01 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 注意点： (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 知识点02 指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 题型01 指数函数的图象及应用 【例1】（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 【变式1-1】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到 即 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·上海青浦·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意， 对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意， 对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数 不是指数函数，不符合题意， 对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意， 故选：A 【变式1-3】（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第 象限． 【答案】一、三、四 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 题型02 指数型函数图象过定点问题 【例2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【答案】 【详解】当时，， 故图像过定点， 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 【答案】 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点， 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数（且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是 . 【答案】 【详解】令，则，所以， 所以的图象经过定点， 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限， 则，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 题型03 指数函数的单调性 【例3-1】（22-23高一上·上海杨浦·期末）函数的单调增区间是 . 【答案】 【详解】在上递增，在上递增， 所以函数的单调增区间是. 故答案为： 【例3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故正确； 对于B，若，则，故不正确； 对于C，因为在上单调递增， 所以，可得，故正确； 对于D，因为，所以， 又因为在上为单调递减函数， 所以，故正确； 故选：B. 【例3-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，且函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值 . 【答案】 【详解】函数在上是严格增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，解之可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型04 由指数函数的单调性解不等式 【例4】（22-23高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同，则 . 【答案】 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）若时，指数函数的值总小于1，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得当时，， 所以，所以，进而可得或， 故答案为： 【变式4-3】（22-23高一上·上海松江·期末）若，， (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，得，即有，解得，即， 由，得，即，解得或，则，， 当时，，所以 （2）由（1）知，， 由是的充分条件，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 题型05 指数函数的值域或最值 【例5-1】（24-25高一上·上海·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由指数函数的图象与性质知，当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 因此函数的值域为， 故选：A. 【例5-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）函数，的最小值为 . 【答案】 【详解】因为函数，， 故， 所以的最小值为 故答案为： 【变式5-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 根据函数的定义可得. 故选：A. 【变式5-2】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】因为 所以 所以值域为： 故答案为： 题型06 复合函数中函数的值域与单调性 【例6-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数，则该函数在上是（    ） A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 【答案】A 【详解】在上单调递增，且，在上单调递减， 故在上严格减函数无最小值. 故选：A 【例6-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【详解】函数的定义域为，内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数在上为减函数， 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 【变式6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 【变式6-2】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 题型07 指数函数最值与不等式的综合问题 【例7】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 【变式7-1】（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【详解】（1）解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【详解】（1）①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． （3）证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示，    令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知 ，则下列命题中真命题的个数为（   ） ①至少有一个不小于1；  ②至少有一个不大于1 ； ③恒成立；     ④恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：因为，所以； ；；， 对于①，假设都小于1， 则有，即，解得， 故假设错误， 所以至少有一个不小于1，故①正确； 对于②，假设都大于1， 则有，即，解得， 故假设错误， 所以至少有一个不大于1，故②正确； 对于③④，因为 ， ， 令， 则当时，， 此时； 当时，，此时有， 即； ， 即； 所以与均不成立， 故③④均错误. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 【答案】D 【详解】任取、且，则，且， ， 所以，，则函数在上为增函数， 对于A选项，由可得， 所以，不等式的解集为，A对； 对于B选项，， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，若、为实数，且，则， 所以，，则，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：D. 二、填空题 5．（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由指数函数的性质可得 解得 故答案为： 6．（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求已知指数型函数的最值 【分析】根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以最小值为. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海奉贤·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由， 所以，即， 解得或， 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【详解】由题意，而关于单调递减， 从而， 所以的值域为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 【答案】 【详解】令，解得，此时， 点的坐标为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】， 所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 【答案】0 【详解】因为函数为上的递增函数， 且， 所以， 由题意， 对任意的，存在唯一的， 使得， 即， 即任意的，存在唯一的， 故区间关于原点对称， 则， 故答案为：0. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 14．（24-25高一上·上海闵行·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.若函数在定义域上为“依赖函数”，则的取值范围是 . 【答案】． 【详解】是增函数，因此取得最大值时，取得最小值， 时，，， 所以，， 又，所以， 所以， 故答案为：． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，， ∴， ∴， 由得，即， ∵，在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 【答案】3 【详解】时，， 时，， 由题意，所以，解得， 其中整数和，即整数m的取值集合为，真子集有3个． 故答案为：3. 18．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 三、解答题 19．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，有理数时，求证：； 【详解】利用指数函数的单调性和幂的运算即可证明． 【证明】因，则为上的减函数， 又因有理数， 故. 20．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明在上的单调性． 【详解】（1）解：函数的定义域为，又函数为奇函数， 所以，即，解得， 所以，则， 故为奇函数，符合题意，所以. （2）解：由（1）可知，，则为上的增函数， 证明如下：设， 则， 又由，则，即，， 则， 则函数在上为增函数． 21．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 【详解】（1）将点和代入，得， 因为且，所以，. （2）因为函数为指数函数，所以，所以， 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时； 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时. 所以函数的表达式为或. 22．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知． (1)解不等式：； (2)记，求函数的最小值． 【详解】（1）解：因为，所以， 则不等式，即，即，即， 解得，显然恒成立， 则只需满足，解得，即不等式的解集为. （2）解：， 则， 令，则当且仅当，即时取等号， 则， 所以问题转化为求函数，的最小值， 因为对称轴为，开口向上，所以在上单调递增， 所以， 所以函数的最小值为. 23．（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【详解】（1）（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； （3）， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 24．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）图象的对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 25．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质． (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值． 【详解】（1）若对任意，都存在使得， 所以，故在上的值域为在上的值域的子集. ∵的值域为，的值域为，显然不是的子集， 即函数在上不具有性质； （2）函数在区间的值域为， 函数在上的值域为， 要使函数具有性质，只需，解得，即的取值范围为. （3）由题意的值域为， ∵，∴的对称轴，且开口向下， ∴的最大值为，又，， 当，即时，的值域为， 要满足题意，只需，解得，，符合题意； 当，即时，的值域为， 要满足题意，只需，解得，∴符合题意， 综上，的取值为，． 26．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，的最小值为，当时，的最小值为1. （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 27．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若函数满足对任意的都有成立，则称函数为“倒函数”． (1)判断函数和是否为“倒函数”； (2)若为“倒函数”，求实数的值； (3)若（为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 【详解】（1）依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称， 函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内， 即不是“倒函数”， 函数定义域为R，而，即不是“倒函数”， 所以函数和都不是“倒函数”. （2）显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数， 于是得，则，又，解得， 所以实数m、n的值分别为； （3）因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， 因此，， 所以是倒函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $