暑假预习专题15 指数函数（3知识+20题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题15 指数函数 指数函数的定义 定义 当底数 固定,且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的指数函数 需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正. 形式上的严格性：只有形如 （ 且 ）的函数才是指数函数，像 等函数都不是指数函数． 判断一个函数是指数函数的方法 1.判断其解析式是否符合 且 这一结构特征． 2.看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： （1）底数 为常数， 且 ；（2）自变量 的位置在指数上，且 的系数是 1 ；（3） 的系数是 1 ． 指数函数的图像 用五点法作指数函数的图像. （1）指数函数 与 的图像关于 轴对称． （2）指数函数 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越远； 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越近． 指数函数的性质 图 像 图像 特征 (1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (3)由左至右图像下降 函数性质 (1)定义域为R,函数值恒正 (3)在R上是严格增函数 (3)在R上是严格减函数 (4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像关于轴对称 指数函数底数变化与图像分布规律如图所示: （1） ；（2） ； （3） ；（4） ， 则： ， 即当 时，（底大幂大）； 当 时，（底大幂小）. 题型1 指数函数的判定与求值 例1函数是指数函数，求的值． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义直接求解即可. 【详解】由是指数函数， 可得，解得． 1-1给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 依据指数函数的概念来判断. 【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数； 对于②，函数的底数，故不是指数函数； 对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数； 对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数. 故选：A. 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】利用给定的函数式，结合奇函数的性质求得答案. 【详解】依题意，. 故答案为：. 1-3（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若函数满足对任意的都有成立，则称函数为“倒函数”． (1)判断函数和是否为“倒函数”； (2)若为“倒函数”，求实数的值； (3)若（为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 【答案】(1)函数和都不是“倒函数” (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答. （2）利用给定定义直接计算可得m、n的值. （3）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答. 【详解】（1）依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称， 函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内， 即不是“倒函数”， 函数定义域为R，而，即不是“倒函数”， 所以函数和都不是“倒函数”. （2）显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数， 于是得，则，又，解得， 所以实数m、n的值分别为； （3）因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， 因此，， 所以是倒函数. 【点睛】关键点点睛：正确理解给定定义，是解决新定义题的关键. 题型2 根据函数是指数函数求参数 例2若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 2-1函数是指数函数，则 【答案】3 【分析】根据指数函数的定义得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由指数函数定义知，解得． 故答案为：3 2-2（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得. 【详解】由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2. 故答案为：2 2--3（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是； （2）由已知，，函数式为，时，． 故答案为：；． 题型3 求指数函数解析式 例3（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 3-1（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为 . 【答案】 【分析】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式. 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得 ，解得，负值舍去，故指数函数解析式为. 故答案为： 3-2（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则 ． 【答案】/ 【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值. 【详解】设函数（且）， ，得，即 所以. 故答案为： 题型4 判断指数型函数的图象形状 例4已知函数在内的值域是，则函数的图象是 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的值域确定的取值范围，进而确定指数函数的单调性，即可得到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质可知， 所以由函数在内的值域为， 可得函数为单调递减函数，即，所以函数对应的函数图象为选项A， 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中利用指数函数的值域确定函数的单调性，得出实数的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4-1函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再对和时函数值的情况讨论，利用排除法即可判断； 【详解】解：因为定义域为，又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B； 当时，，，所以，所以，故排除D； 当时，因为，所以，即，故排除C； 故选：A 4-2函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 4-3函数的图像与函数的图像关于 对称，它们的交点坐标是 【答案】 轴 【分析】由指数函数图象与性质可得结论． 【详解】与中，由于，它们的图象关于轴对称，交点在轴上为点． 故答案为：轴；． 题型5 根据指数型函数图象判断参数的范围 例5若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案. 【详解】由指数函数图像的性质知函数的图像过第一、二象限，且恒过点， 而函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到的， 故若函数的图像过第一、三、四象限，则且，从而且，故选：D. 【点睛】本题考查了函数图像的平移，意在考查学生对于函数图像的应用能力. 5-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 5-2（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线） 结合图象可知：， 故答案为： 5-3（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围． 【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限， 则，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 题型6 指数型函数图象过定点问题 例6函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象过定点可得答案. 【详解】，故函数恒过定点. 故选：D. 6-1（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 【答案】 【分析】根据函数解析式可求图像所过的定点. 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点， 故答案为： 6-2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【答案】 【分析】由指数函数的性质可得. 【详解】当时，， 故图像过定点， 故答案为：. 6-3对任意实数，函数的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】由指数函数的性质结合题意求解即可. 【详解】因为当时，为常数， 所以函数的图象必过定点. 故答案为： 题型7 指数函数图像应用 例7若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据函数平移的规则得答案. 【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到 即 故选：B. 7-1（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数和的图象关于y轴对称，则函数 . 【答案】 【分析】利用两个函数图象关于y轴对称的特征，直接求出函数解析式即得. 【详解】函数和的图象关于y轴对称，所以. 故答案为： 7-2（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接根据指数函数的性质得答案. 【详解】由指数函数的性质可得 解得 故答案为： 7-3幂的基本不等式是：当，时， 1恒成立 【答案】 【解析】根据函数的性质，直接判断符号. 【详解】根据指数函数的性质可知当时，. 故答案为： 7-4函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则 【答案】 【解析】从出发，逆向探求即可. 【详解】函数图像关于轴对称的图像对应函数的表达式是， 函数向左平移1个单位长度得，即 7-5在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 【答案】答案见解析 【分析】由图像的平移性质求解． 【详解】解：如图所示： 函数的图像向左平移1个单位，然后向下平移1个单位即为函数的图像. 题型8 求指数型复合函数的定义域 例8函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由分式分母不为0，解不等式即可. 【详解】由，得，故函数的定义域为. 故答案为： 8-1（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）函数定义域满足，解得答案. （2）假设函数为奇函数，计算，得到答案. 【详解】（1）的定义域满足，即， 故函数定义域为； （2）若函数为奇函数， 则，即. 故存在常数，使为奇函数. 8-2求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解； （2）利用指数函数性质结合分式的定义求解； 【详解】（1）由题意，，，所以定义域为； （2）由题意，即，所以定义域为； （3）由题意，即，，，所以定义域为． 题型9 求指数函数在区间内的值域 例9（24-25高一上·上海·阶段练习）设，则 . 【答案】 【分析】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集. 【详解】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以. 对于函数，因为对于任意都成立，所以. 因为，，所以. 故答案为：. 9-1（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知 ，则下列命题中真命题的个数为（   ） ①至少有一个不小于1；  ②至少有一个不大于1 ； ③恒成立；     ④恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】用反证法判断①②；用作差法判断③④. 【详解】解：因为，所以； ；；， 对于①，假设都小于1， 则有，即，解得， 故假设错误， 所以至少有一个不小于1，故①正确； 对于②，假设都大于1， 则有，即，解得， 故假设错误， 所以至少有一个不大于1，故②正确； 对于③④，因为 ， ， 令， 则当时，， 此时； 当时，，此时有， 即； ， 即； 所以与均不成立， 故③④均错误. 故选：B. 9-2（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 9-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 【答案】3 【分析】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论． 【详解】时，， 时，， 由题意，所以，解得， 其中整数和，即整数m的取值集合为，真子集有3个． 故答案为：3. 题型10 求指数型复合函数的值域 例10求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意都只需要保证被开方数非负，解出不等式即可. 【详解】（1）由于，则，解得，故定义域为． （2）由于，则，即，即， 即，解得.故定义域为. 10-1（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 10-2（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法结合指数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，而关于单调递减， 从而， 所以的值域为. 故答案为：. 10-3（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】当时，因，为减函数，故； 当时，因，为减函数，故. 依题意，该函数存在最小值，需使，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型11 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 例11（24-25高一上·上海金山·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，求出时的值，结合图象可得所求最大值． 【详解】函数 作出函数的图象如图所示， 令，解得或， 因为函数的定义域为，值域为， 由图象可得，的最大值为． 故答案为：． 11-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 11-2（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的值域为可计算出的值； （2）根据二次函数的对称轴以及开口方向，分类讨论时函数的最小值，由此可求结果. 【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）图象的对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 11-3．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 题型12 判断指数函数的单调性 例12（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，函数在区间上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 12-1（24-25高一上·上海·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） ①对于任意、，都有成立； ②对于任意、，且，都有成立； ③对于任意、，且，都有成立； ④存在实数，使得对于任意实数，都有成立． A．①② B．③④ C．②③④ D．②③ 【答案】D 【分析】利用指数幂的运算可判断①；利用指数函数的单调性可判断②；利用基本不等式可判断③；利用函数的对称性可判断④. 【详解】因为，且该函数在上为增函数， 对于①，对于任意、，都有，①错； 对于②，对于任意、，且，不妨设，则， 则，②对； 对于③，对于任意、，且， ，③对； 对于④，若存在实数，使得对于任意实数，都有成立， 则函数的图象关于直线对称，事实上，函数的图象无对称轴，④错. 故选：D. 12-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，，，试写出，，的大小关系 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式易得，进而结合指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 则， 因为函数为减函数， 所以，即. 故答案为：. 12-3（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式． (1)证明：函数在其定义域上是严格减函数； (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）利用减函数的定义即可证明结论. （2）证明当时是奇函数即可. 【详解】（1）函数的定义域为，而对任意，，有 . 所以函数在其定义域上是严格减函数. （2）当时，有，即函数是奇函数. 所以存在，使得函数是奇函数. 12-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，，均有成立． (1)已知函数，写出实数，，必须满足的条件； (2)对于集合中的元素，，求出满足条件的常数的最小值； (3)判断是不是集合中的元素，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)不是集合中的元素，理由见解析 【分析】（1）结合题意，即当时，存在常数，使得恒成立，进而求解即可； （2）结合（1）可得当时，存在常数，使得恒成立，进而结合题设求解即可； （3）先假设，可得当时，存在常数使得，恒成立，进而结合指数函数的单调性及指数爆炸分析求解即可. 【详解】（1）由题意，，即存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，， 均有成立，， 当时显然成立，当时，即恒成立， 由，则当时，存在常数，使得恒成立， 则，则， 则恒成立， 所以，，. （2）由，， 因为，则当时，存在常数，使得恒成立， 则，则 由，则， 即恒成立， 所以，则的最小值为. （3）不是集合中的元素，理由如下： 若，则当时，存在常数使得，恒成立， 则恒成立， 由于函数在上为增函数，且呈现指数爆炸的增长趋势， 随着的增大，越来越大， 因此，则当时，不存在常数使得恒成立， 所以不是集合中的元素. 题型13 由指数（型）的单调性求参数 例13（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 13-1（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由任取，且，都有，得函数在上单调递增， 而函数，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选： 13-2（24-25高一上·上海普陀·期末）若且在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数、一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由函数在R上单调递增，则，可得. 故答案为： 13-3（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性列不等式即可求解. 【详解】指数函数在上是严格增函数，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型14 判断指数型复合函数的单调性 例14（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 14-1（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数在上为减函数， 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 14-2（24-25高一上·上海虹口·期末）设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是上的增函数 (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再借助指数函数的单调性判断的单调性 （2）由（1）及已知，等价变形给定不等式，分离参数并利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，得， 则，而，解得， 函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数， 所以，函数是上的增函数. （2）由（1）知，函数是上单调递增的奇函数， 对任意，不等式 ，而，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 14-3（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)为减函数，证明见解析； 【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可. （2）求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】（1）为奇函数 对任意，都有，且该函数的定义域为，显然关于原点对称， 可得. 为奇函数. （2）当时，可得，解得， 此时在上为严格减函数，证明如下： 任取，且，则 ， ，，， 在上为严格减函数，而， 在上的值域为， 要使在上有零点， 此时等价于与在上有交点， 而当时，可得故. 题型15 比较指数幂的大小 例15（24-25高一上·上海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【详解】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 15-1已知，函数，若实数、满足，则、的关系为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，比较大小. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数在R上单调递减， 又，所以， 故答案为：. 15-2已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 15-3不使用计算器，比较下列各题中两数的大小： (1)与； (2)与（其中且）． 【答案】(1) (2)时，，时， 【分析】（1）化为同底数后，由指数函数的单调性得结论； （2）根据指数函数的单调性分类讨论． 【详解】（1）∵，又指数函数在上是严格增函数，且，∴． （2）当时，指数函数在上是严格增函数，且，∴； 当时，指数函数在上是严格减函数，且，∴． 题型16 由指数函数的单调性解不等式 例16（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同，则 . 【答案】 【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 16-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 则函数的定义域为. 故选：B. 16-2（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集． 【详解】， 当时，，所以此时不等式无解； 当时，； 当时，，所以此时不等式无解. 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 16-3（24-25高一上·上海·阶段练习）解关于的不等式：（且）. 【答案】答案见解析 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性，转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】若，则不等式，即， 即，解得， 所以不等式的解集为； 若，则不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 题型17 求已知指数型函数的最值 例17函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据函数单调性得到最小值. 【详解】在上单调递减，故当时，取得最小值， 最小值为. 故答案为： 17-1函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 17-2函数，的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，结合单调性求出最大值. 【详解】∵，指数函数在区间上单调递减， 则函数在区间上单调递减， ∴当时，取最大值，即． 故答案为： 17-3已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 题型18 根据指数函数的最值求参数 例18（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是 ; 【答案】 【分析】根据题意分类讨论，结合指数函数概念求解即可. 【详解】因为是指数函数，所以或； 当时，在上单调递减，最大值为，最小值为， 则，解得（舍去）或（符合题意）； 当时，在上单调递增，最大值为，最小值为， 则，解得（舍去）或（符合题意）. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 18-1（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，按a的取值范围分2种情况讨论，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得关于a的方程，解可得a的值，即可得答案； （2）设，，分析可得，即可得结论. 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论： 若0＜a＜1，则在区间上单调递减，最大值为a，最小值为， 有，解得或（舍）， 若a＞1，则在区间上单调递增，最大值为，最小值为a， 所以，解得或a＝0（舍）， 综合可得：或； （2）根据题意，设，， 有，即， 则与的图像关于y轴对称. 18-2指数函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】2 【分析】分类讨论，借助指数函数单调性得到最值，列方程解题即可. 【详解】解：指数函数在区间上的最大值比最小值大， 当时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，则，无解， ∴． 18-3指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值． 【答案】或2 【分析】分类讨论，运用函数单调性得出最值，列方程可解. 【详解】解：指数函数在区间上的最大值和最小值的和为， 当时，可得的最小值为，的最大值为，那么，解得； 当时，可得的最大值为，的最小值为，那么，解得． 故的值是或2. 题型19 含参指数函数的最值 例19（23-24高一上·上海·阶段练习）给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 . 【答案】3 【分析】首先设点，再根据题意可得点，再根据题意可知，点在安全活动区域，以及点也在函数的图象上，且，再利用不等关系，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意设，则一次操作后该机器人落点为， 即在安全区域内，所以且. 由，可知， 所以，即能成立. 又因为，且等号当且仅当，即时成立， 综上，. 故答案为：3 19-1（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点和代入求解即可； （2）根据函数为指数函数，求得，再分和两种情况，根据函数的单调性，求出最大值和最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）将点和代入，得， 因为且，所以，. （2）因为函数为指数函数，所以，所以， 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时； 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时. 所以函数的表达式为或. 19-2已知二次函数满足，若是的两个零点，且． （1）求的解析式； （2）若，求函数的值域： （2）若不等式在上恒成立，求对数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)利用函数的零点，求出对称轴，求出零点，然后求解f (z)的解析式； (2)化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的值域； (3)分离参数k后，转化为求函数的最值，利用指数函数性质及二次函数性质即可求解. 【详解】（1），是的两个零点，且， 的对称轴为， 可得， 设， 由得， （2）， 当时，，当且仅当 ，即时等号成立， 当时，，当且仅当 时等号成立, 所以的值域为. （3）不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 可化为在上恒成立， 令， ， 当时，， 所以， 【点睛】关键点点：待定系数法求二次函数的解析式，首先根据关系式确定对称轴，再根据零点的距离求出零点，根据条件选择交点式设出方程，代入点即可求出. 题型20 指数函数最值与不等式的综合问题 例20已知函数的最小值为2，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可 【详解】因为， 所以，仅当时取等号， 又的最小值为2，所以， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：2 20-1（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 20-2已知a为常数，设函数的表达式为． (1)若函数为偶函数，求a的值； (2)若，求函数的最小值； (3)若方程有两个不相等的实数解、，且，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数定义取特殊值计算可得； （2）展开后用基本不等式可解； （3）换元后转化为根据一元二次方程，由两根的关系直接解不等式可得. 【详解】（1）因为为偶函数， 所以有，即，得 此时,满足， （2） 因为，所以 所以当，即时y有最小值 （3）令，因为单调递增，所以方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的正根， 记，，则， 因为，所以，即， 由求根公式得：，不妨设， 则，解得：， 又，即， 所以a的取值范围为：. 1．（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）设，“”是“”的一个（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】当时，在上单调递增，又，所以，即， 所以“”是“”的一个充分条件， 当时，均满足， 所以“”是“”的一个不必要条件， 所以，“”是“”的一个充分非必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 【答案】D 【分析】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】任取、且，则，且， ， 所以，，则函数在上为增函数， 对于A选项，由可得， 所以，不等式的解集为，A对； 对于B选项，， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，若、为实数，且，则， 所以，，则，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：D. 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 【答案】 【分析】由指数函数性质得结论． 【详解】，值域是． 故答案为：． 5．（21-22高一上·上海杨浦·期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则 ; 【答案】2 【分析】利用指数函数的单调性有，即可求参数值. 【详解】由在[0,4]上单调，则， 所以. 故答案为：2 6．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数可得，结合指数函数与二次函数单调性可得参数范围. 【详解】由命题：存在实数，使得为假命题， 可知命题：，为真命题， 即，， 又，所以当，即时，函数取最大值为， 即， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 【答案】3 【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案. 【详解】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以. 故答案为：3 8．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是， 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案． 【详解】（1）解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 9．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题中定义判断①②即可； （2）分析可知在上是严格减函数．且恒成立，求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）当时，化简函数的解析式，结合题中定义可证得结论成立；然后就、两种情况讨论，结合题中定义进行推导，说明定义不成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． （3）证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题15 指数函数 指数函数的定义 定义 当底数 固定,且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的指数函数 需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正. 形式上的严格性：只有形如 （ 且 ）的函数才是指数函数，像 等函数都不是指数函数． 判断一个函数是指数函数的方法 1.判断其解析式是否符合 且 这一结构特征． 2.看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： （1）底数 为常数， 且 ；（2）自变量 的位置在指数上，且 的系数是 1 ；（3） 的系数是 1 ． 指数函数的图像 用五点法作指数函数的图像. （1）指数函数 与 的图像关于 轴对称． （2）指数函数 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越远； 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越近． 指数函数的性质 图 像 图像 特征 (1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (3)由左至右图像下降 函数性质 (1)定义域为R,函数值恒正 (3)在R上是严格增函数 (3)在R上是严格减函数 (4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像关于轴对称 指数函数底数变化与图像分布规律如图所示: （1） ；（2） ； （3） ；（4） ， 则： ， 即当 时，（底大幂大）； 当 时，（底大幂小）. 题型1 指数函数的判定与求值 例1函数是指数函数，求的值． 1-1给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 ． 1-3（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若函数满足对任意的都有成立，则称函数为“倒函数”． (1)判断函数和是否为“倒函数”； (2)若为“倒函数”，求实数的值； (3)若（为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 题型2 根据函数是指数函数求参数 例2若函数为指数函数，则 ． 2-1函数是指数函数，则 2-2（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 2--3（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 题型3 求指数函数解析式 例3（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则 ． 3-1（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为 . 3-2（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则 ． 题型4 判断指数型函数的图象形状 例4已知函数在内的值域是，则函数的图象是 A．  B．  C．   D．   4-1函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 4-2函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   4-3函数的图像与函数的图像关于 对称，它们的交点坐标是 题型5 根据指数型函数图象判断参数的范围 例5若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 5-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 5-2（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 5-3（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 题型6 指数型函数图象过定点问题 例6函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6-1（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 6-2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 6-3对任意实数，函数的图象必过定点 ． 题型7 指数函数图像应用 例7若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7-1（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数和的图象关于y轴对称，则函数 . 7-2（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 7-3幂的基本不等式是：当，时， 1恒成立 7-4函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则 7-5在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 题型8 求指数型复合函数的定义域 例8函数的定义域是 . 8-1（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 8-2求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 题型9 求指数函数在区间内的值域 例9（24-25高一上·上海·阶段练习）设，则 . 9-1（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知 ，则下列命题中真命题的个数为（   ） ①至少有一个不小于1；  ②至少有一个不大于1 ； ③恒成立；     ④恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 9-2（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 9-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 题型10 求指数型复合函数的值域 例10求下列函数的定义域： (1)； (2)． 10-1（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10-2（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 10-3（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 题型11 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 例11（24-25高一上·上海金山·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ． 11-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 11-2（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 11-3．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型12 判断指数函数的单调性 例12（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 12-1（24-25高一上·上海·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） ①对于任意、，都有成立； ②对于任意、，且，都有成立； ③对于任意、，且，都有成立； ④存在实数，使得对于任意实数，都有成立． A．①② B．③④ C．②③④ D．②③ 12-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，，，试写出，，的大小关系 ． 12-3（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式． (1)证明：函数在其定义域上是严格减函数； (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 12-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，，均有成立． (1)已知函数，写出实数，，必须满足的条件； (2)对于集合中的元素，，求出满足条件的常数的最小值； (3)判断是不是集合中的元素，并说明理由． 题型13 由指数（型）的单调性求参数 例13（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 13-1（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 13-2（24-25高一上·上海普陀·期末）若且在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 13-3（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 题型14 判断指数型复合函数的单调性 例14（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 14-1（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 14-2（24-25高一上·上海虹口·期末）设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 14-3（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围. 题型15 比较指数幂的大小 例15（24-25高一上·上海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 15-1已知，函数，若实数、满足，则、的关系为 ． 15-2已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 15-3不使用计算器，比较下列各题中两数的大小： (1)与； (2)与（其中且）． 题型16 由指数函数的单调性解不等式 例16（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同，则 . 16-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）． A． B． C． D． 16-2（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 16-3（24-25高一上·上海·阶段练习）解关于的不等式：（且）. 题型17 求已知指数型函数的最值 例17函数在区间上的最小值是 ． 17-1函数的最大值为 ． 17-2函数，的最大值为 ． 17-3已知，求函数的最大值与最小值. 题型18 根据指数函数的最值求参数 例18（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是 ; 18-1（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 18-2指数函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 18-3指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值． 题型19 含参指数函数的最值 例19（23-24高一上·上海·阶段练习）给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 . 19-1（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 19-2已知二次函数满足，若是的两个零点，且． （1）求的解析式； （2）若，求函数的值域： （2）若不等式在上恒成立，求对数k的取值范围． 题型20 指数函数最值与不等式的综合问题 例20已知函数的最小值为2，则的最小值为 ． 20-1（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 20-2已知a为常数，设函数的表达式为． (1)若函数为偶函数，求a的值； (2)若，求函数的最小值； (3)若方程有两个不相等的实数解、，且，求a的取值范围． 1．（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·上海·期中）设，“”是“”的一个（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 3．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 5．（21-22高一上·上海杨浦·期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则 ; 6．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 8．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 9．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$