第13讲 抽屉原理（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义 通用版

第13讲 抽屉原理 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解抽屉原理的基本概念，能准确辨别抽屉原理相关问题的情境。 2.熟练掌握抽屉原理的两种基本形式，并能运用它们解决简单的实际问题。 3.学会构建合适的“抽屉”和“物品”，通过分析问题找到解决复杂抽屉原理问题的方法，提升逻辑推理能力。 知识梳理 知识点一、抽屉原理的基本概念 1.定义：把多于个的物体放到个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。更一般地，如果有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。这里的“元素”可看作“物品”，“集合”就相当于“抽屉”。 2.举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 知识点二、抽屉原理的两种基本形式 1.抽屉原理一 （1）表述：如果把个物体放在个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有个物体。 （2）数学语言表达：对于任意的正整数，若有个元素放进个集合中，则至少存在一个集合，该集合内元素个数大于或等于。 （3）证明思路：可以采用反证法。假设每个抽屉最多只放个物体，那么个抽屉最多只能放个物体，这与有个物体相矛盾，所以必定有一个抽屉中至少放有个物体。 2.抽屉原理二 （1）表述：如果把（、均为正整数）个物体放在个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有个物体。 （2）数学语言表达：对于任意正整数、，若有个元素放进个集合中，则至少存在一个集合，该集合内元素个数大于或等于。 （3）证明思路：同样用反证法。假设每个抽屉最多放个物体，那么个抽屉最多能放个物体，而现在有个物体，所以必然有一个抽屉里至少有个物体。 知识点三、如何构建抽屉和确定物品 1.明确问题中的对象：在实际问题中，首先要确定哪些是“物品”，哪些是“抽屉”。例如，在“把个小朋友分配到个不同的兴趣小组”这个问题中，个小朋友就是“物品”，个兴趣小组就是“抽屉”。 2.根据问题特征构建抽屉：构建抽屉的方法多样，常见的有按数的余数分类、按区间划分、按图形的位置等。例如，对于“任意给定个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是的倍数”这个问题，可以按照除以的余数构建抽屉，余数可以为、、、、，共种情况，但考虑到和或差是的倍数的情况，可构建个抽屉：，，，，，。这样将个自然数放入这个抽屉中，根据抽屉原理，必然有两个数在同一抽屉中，它们的和或差就是的倍数。 知识点四、抽屉原理在实际问题中的应用 1.整除问题：如前面提到的关于自然数和或差是的倍数的问题，这类整除问题常常利用余数构建抽屉来解决。 2.染色问题：例如，在一个的方格表中，将每一个小方格涂上红色或者蓝色，证明无论怎样涂，其中至少有两列的涂色方式完全相同。这里把每列的涂色方式看作“物品”，而不同的涂色方式看作“抽屉”。每列有个小方格，每个方格有种涂法，那么根据排列组合知识，每列的涂色方式共有（种），可看作个“抽屉”，而方格表有列，相当于个“物品”，所以根据抽屉原理，至少有两列的涂色方式完全相同。 3.分配问题：像小朋友分配到兴趣小组这类问题，关键在于明确“物品”数量和“抽屉”数量，然后运用抽屉原理判断分配结果。 知识点五、抽屉原理的拓展——最不利原则 1.概念：最不利原则是从最不利的情况去考虑问题，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利的条件，只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务一定完成。 2.应用：例如，一个口袋里有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各个，至少要摸出多少个球，才能保证一定有个球颜色相同？从最不利的情况考虑，先每种颜色的球都摸出了个，此时再摸出个球，无论这个球是什么颜色，都能保证有个球颜色相同，所以至少要摸出个球。 例题讲解 一、抽屉原理一相关题目 【例题1】教室里有 8 张桌子，老师把 9 本作业本随意放在这些桌子上，那么至少有一张桌子上会放几本作业本？ 【答案】至少有一张桌子上会放 2 本作业本。 【分析】将 9 本作业本看作 9 个“物品”，8 张桌子看作 8 个“抽屉”，根据抽屉原理一进行分析。 【详解】因为把个物品放到个抽屉里，，根据抽屉原理一，若把个物体放在个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有个物体，所以至少有一张桌子上会放本作业本。 二、抽屉原理二相关题目 【例题1】把 25 个苹果放进 4 个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放几个苹果？ 【答案】至少有一个抽屉里会放个苹果。 【分析】，这里，，，根据抽屉原理二进行分析。 【详解】把个苹果（个物体，其中，）放进个抽屉（个抽屉），平均每个抽屉放个后，还余个。根据抽屉原理二，必有一个抽屉至少放个苹果。 三、如何构建抽屉和确定物品相关题目 【例题1】从 1 - 30 这 30 个自然数中，至少要取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是 31 ？ 【答案】构建抽屉：{1, 30}，{2, 29}，{3, 28}，……，{15, 16}，共 15 个抽屉。至少取出 16 个数。 【分析】要保证有两个数的和是 31，需根据两数之和为 31 的关系构建抽屉，再利用抽屉原理确定取出数的个数。 【详解】把和为 31 的两个数分为一组构建抽屉，共得到 15 个抽屉。考虑最不利情况，即每个抽屉先选 1 个数，共选了 15 个数，此时再选 1 个数，无论放到哪个抽屉，都会出现两个数在同一抽屉，它们的和就是 31 。所以至少取出 15 + 1 = 16 个数。 【例题2】有黑、白、灰三种颜色的手套各 12 只混在一起。如果让你闭上眼睛，至少拿出几只才能保证一定有 3 双同色的手套？ 【答案】把三种颜色看作 3 个抽屉，至少拿出 8 只才能保证一定有 3 双同色的手套。 【分析】把颜色当作抽屉，通过分析最不利情况，来确定保证能拿到 3 双同色手套需拿出的数量。 【详解】把黑、白、灰三种颜色看作 3 个抽屉。最不利的情况是先每种颜色都拿了 2 只，此时共拿了 3×2 = 6 只手套。然后再拿 1 只，无论拿到什么颜色，都能保证有 1 双同色手套。接着再拿 1 只，若与已有的一双同色，则再拿 1 只就一定能保证有 2 双同色手套，再拿 1 只就一定能保证有 3 双同色手套，即 3×2 + 1 + 1 = 8 只。 四、抽屉原理在实际问题中的应用相关题目 【例题1】在一个的方格表中，将每一个小方格涂上绿色或者黄色，证明无论怎样涂，其中至少有三列的涂色方式完全相同。 【答案】每列有个小方格，每个方格有种涂法，每列的涂色方式共有种，可看作个“抽屉”，方格表有列，相当于个“物品”。根据抽屉原理，，平均每个抽屉放个后还余个，至少有三列会在同一抽屉，即至少有三列的涂色方式完全相同。 【分析】先算出每列不同的涂色方式总数当作抽屉数，方格表的列数当作物品数，利用抽屉原理来证明。 【详解】因为每列个小方格，每个方格种涂法，由排列组合知识可得每列涂色方式有种。现有列要放入这种涂色方式中，由于平均分配后有剩余，所以必然存在至少三列的涂色方式相同。 【例题2】从这个自然数中任意选出个数，证明其中一定有两个数，较大数是较小数的倍数。 【答案】把这个数分成组：，，， ，，，，，，共个抽屉。选出个数，根据抽屉原理，必有两个数在同一抽屉，较大数是较小数的倍数。 【分析】按照数的倍数关系对这个数进行分组，把这些组当作抽屉，选的数当作物品，依据抽屉原理证明。 【详解】将的自然数按倍数关系构建个抽屉。从个数中选个数，，平均每个抽屉放个后还余个，所以至少有一个抽屉里有个数，而同一抽屉内的数存在较大数是较小数的倍数关系。 五、抽屉原理的拓展——最不利原则相关题目 【例题1】一个袋子里有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的玻璃球各 30 个，至少取出多少个玻璃球，才能保证有 10 个颜色相同的球？ 【答案】至少取出 64 个玻璃球。 【分析】按照最不利原则，先将七种颜色的球每种都取 9 个，此时再取 1 个球，无论这个球是什么颜色，都能保证有 10 个颜色相同的球。 【详解】每种颜色先取 9 个，共取了个球，再取 1 个球，即个球，就能保证有 10 个颜色相同的球。 【例题2】有 10 种不同款式的帽子，每种款式各有 25 顶，放在一个仓库里。现在要从中取出若干顶帽子，至少取多少顶，才能保证有 4 顶款式相同的帽子？ 【答案】至少取 31 顶帽子。 【分析】最不利的情况是每种款式的帽子先各取 3 顶，此时再取 1 顶帽子，无论这顶帽子是什么款式，都能保证有 4 顶款式相同的帽子。 【详解】先每种款式取 3 顶，共取顶帽子，再取 1 顶，即顶帽子，就能保证有 4 顶款式相同的帽子。 考点练习 一、抽屉原理一相关题目 1.幼儿园老师把 15 个玩具分给 14 个小朋友，至少有一个小朋友能拿到几个玩具？ 【答案】至少有一个小朋友能拿到 2 个玩具。 【分析】这里将玩具视为“物品”，小朋友视为“抽屉”，利用抽屉原理一判断。 【详解】个玩具（物品）分给个小朋友（抽屉），，根据抽屉原理一，至少有一个小朋友（抽屉）能拿到个玩具（物品），所以至少有一个小朋友能拿到个玩具。 2.把 25 个苹果放在 24 个盘子里，至少有一个盘子里会放几个苹果？ 【答案】至少有一个盘子里会放 2 个苹果。 【分析】把苹果当作“物品”，盘子当作“抽屉”，依据抽屉原理一分析。 【详解】个苹果（物品）放在个盘子（抽屉）里，，按照抽屉原理一，必有一个盘子（抽屉）里至少放个苹果（物品），所以至少有一个盘子里会放 2 个苹果。 二、抽屉原理二相关题目 1.有 37 本书，要放在 5 个书架上，至少有一个书架上会放几本书？ 【答案】至少有一个书架上会放本书。 【分析】，即，，，运用抽屉原理二求解。 【详解】本书（个物体，，）放在个书架（个抽屉）上，平均每个书架放本后还余本。根据抽屉原理二，至少有一个书架要放本书。 2.把 49 个乒乓球放进 6 个盒子里，至少有一个盒子里会放几个乒乓球？ 【答案】至少有一个盒子里会放个乒乓球。 【分析】，，，，依据抽屉原理二分析。 【详解】将个乒乓球（个物体）放进个盒子（个抽屉），平均每个盒子放个后还剩个。按照抽屉原理二，至少有一个盒子里会放个乒乓球。 三、如何构建抽屉和确定物品相关题目 1.任意给定 10 个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是 15 的倍数。 【答案】将自然数按照除以 15 的余数构建抽屉：{0}，{7}，{8}，{1, 14}，{2, 13}，{3, 12}，{4, 11}，{5, 10}，{6, 9} 共 9 个抽屉。10 个自然数放入这 9 个抽屉，必有两个数在同一抽屉，其和或差是 15 的倍数。 【分析】为证明两数和或差是 15 的倍数，依据余数情况构建抽屉，借助抽屉原理解决问题。 【详解】一个数除以 15 的余数有 0 - 14 这 15 种情况，考虑和或差是 15 的倍数的组合构建抽屉。把余数为 0 的数放一个抽屉，余数为 7 和 8 的各放一个抽屉，余数和为 15 的数对分别放一个抽屉，共 9 个抽屉。现有 10 个自然数（物品），放入这 9 个抽屉（集合），根据抽屉原理，必有两个数在同一抽屉，这两个数的和或差就是 15 的倍数。 2.从 1 - 40 这 40 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 19 ？ 【答案】构建抽屉：{1, 20}，{2, 21}，{3, 22}，……，{19, 38}，{20, 39}，{21, 40}，{22}，……，{39}，共 21 个抽屉。至少任选 22 个数。 【分析】依据两数差为 19 的关系构建抽屉，利用抽屉原理确定选取数的个数，以保证有两个数差是 19 。 【详解】把差是 19 的数两两分组构建抽屉，可得到 21 个抽屉。考虑最不利情况，即每个抽屉先选 1 个数，共选了 21 个数，此时再选 1 个数，无论放到哪个抽屉，都会出现两个数在同一抽屉，它们的差就是 19 。所以至少任选 21 + 1 = 22 个数。 3.有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各 15 个混在一起。如果让你闭上眼睛，至少拿出几只才能保证一定有 4 个球颜色相同？ 【答案】把四种颜色看作 4 个抽屉，至少拿出 13 只才能保证一定有 4 个球颜色相同。 【分析】将颜色视为抽屉，通过分析最不利情况，得出保证有 4 个球颜色相同所需拿出球的数量。 【详解】把红、黄、蓝、绿四种颜色看作 4 个抽屉。最不利的情况是先每种颜色都拿了 3 个，此时共拿了 4×3 = 12 个球。再拿 1 个球，无论是什么颜色，都能保证一定有 4 个球颜色相同，即 4×3 + 1 = 13 只。 4.任意给定 15 个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是 25 的倍数。 【答案】将自然数按照除以 25 的余数构建抽屉：{0}，{12}，{13}，{1, 24}，{2, 23}，……，{11, 14} 共 13 个抽屉。15 个自然数放入这 13 个抽屉，必有两个数在同一抽屉，其和或差是 25 的倍数。 【分析】为证明存在两数和或差是 25 的倍数，依据余数情况构建抽屉，借助抽屉原理得出结论。 【详解】一个数除以 25 的余数有 0 - 24 这 25 种情况，考虑和或差是 25 的倍数的组合构建抽屉。把余数为 0 的数放一个抽屉，余数为 12 和 13 的各放一个抽屉，余数和为 25 的数对分别放一个抽屉，共 13 个抽屉。现有 15 个自然数（物品），放入这 13 个抽屉（集合），根据抽屉原理，必有两个数在同一抽屉，这两个数的和或差就是 25 的倍数。 四、抽屉原理在实际问题中的应用相关题目 1.有个小朋友，每人都从装有许多红、黄、蓝三种颜色玻璃球的盒子中任意摸出枚球。请你证明，这个小朋友中至少有个小朋友摸出的球的颜色的配组是一样的。 【答案】枚球的颜色配组有：红、红黄、红蓝、红黄、红蓝、红黄蓝、红黄、红蓝、红黄蓝、红黄蓝、黄、黄蓝、黄蓝、黄蓝、蓝，共种，可看作个“抽屉”，个小朋友摸球，相当于个“物品”，根据抽屉原理，至少有个小朋友摸出的球颜色配组一样。 【分析】先确定枚球所有可能的颜色配组情况作为抽屉，小朋友人数作为物品，运用抽屉原理证明。 【详解】通过列举得出枚球的颜色配组共种（抽屉）。现在有个小朋友（物品）摸球，，平均每个抽屉放个后还余个，所以至少有两个小朋友摸出的球颜色配组会在同一抽屉，即至少有个小朋友摸出的球颜色配组一样。 2.在边长为的正方形内，任意放入个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过。 【答案】把边长为的正方形分成个边长为的小正方形，每个小正方形的面积为。把这个小正方形看作个“抽屉”，个点看作个“物品”，根据抽屉原理，至少有个点在同一个小正方形内。以这个点及小正方形内其他任意一点为顶点的三角形面积最大为小正方形面积的一半，即。考虑最不利情况，当把个点尽量平均放入个小正方形时，必有至少个点在同一个小正方形内，此时以这个点为顶点的三角形面积不超过。 【分析】将大正方形分割成小正方形作为抽屉，点作为物品，结合三角形面积公式和抽屉原理证明。 【详解】把边长为的正方形等分成个边长为的小正方形（抽屉），现有个点（物品）放入这个抽屉中，，至少有一个抽屉里有个点。在边长为的小正方形内，以其中个点及其他一点构成的三角形面积最大为。由于大正方形面积为，等分成个小正方形后，每个小正方形面积为，可将其看作面积为的个小三角形组合，所以以这个点为顶点的三角形面积不超过。 3.从这个自然数中，任取个数，证明至少有两个数，它们的差是或。 【答案】构建抽屉：，，，，，共个抽屉。任取个数，根据抽屉原理，至少有两个数在同一抽屉，它们的差是或。 【分析】根据数的差为或的关系构建抽屉，取的数当作物品，利用抽屉原理证明。 【详解】通过分析数之间差为或的关系构建个抽屉。从个数中取个数，，平均每个抽屉放个后还余个，所以至少有一个抽屉里有个数，而同一抽屉内的数差是或。 4.在一个的方格纸中，每个方格内可以填上四个自然数中的任意一个，填满后对每个“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？ 【答案】在的方格纸中，“田”字形共有个。“田”字形内四个数字之和最小为，最大为，到共种不同的和，可看作个“抽屉”，个和看作个“物品”，根据抽屉原理，，所以相同的和至少有个。 【分析】先算出“田”字形的个数以及其和的取值范围和不同和的个数，把不同和的个数当作抽屉，“田”字形的和当作物品，用抽屉原理求解。 【详解】先确定“田”字形个数为个。其和最小是，最大是，有种不同和（抽屉）。现有个和（物品），平均分配到个抽屉中，必然有至少一个抽屉里有个和，即相同的和至少有个。 5.从这个自然数中任意选出个数，证明其中一定有两个数，它们的差是。 【答案】构建抽屉：，，，，共个抽屉。选出个数，根据抽屉原理，必有两个数在同一抽屉，它们的差是。 【分析】按照两数差为的关系构建抽屉，选的数当作物品，利用抽屉原理证明。 【详解】把的数按差为两两分组构建个抽屉。从个数中选个数，，平均每个抽屉放个后还余个，所以至少有一个抽屉里有个数，这两个数差是。 6.任意给定个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和是的倍数。 【答案】将自然数按照除以的余数构建抽屉：，，，，，，共个抽屉。个自然数放入这个抽屉，根据抽屉原理，必有两个数在同一抽屉，它们的和是的倍数。 【分析】根据余数情况构建抽屉，利用抽屉原理找出和是倍数的两个数。 【详解】一个数除以余数有这种情况，考虑和是倍数的组合构建个抽屉。现有个自然数（物品），放入这个抽屉（集合），，平均每个抽屉放个后还余个，所以必有两个数在同一抽屉，这两个数的和是的倍数。 7.有红、黄、蓝三种颜色的球各个，混合放在一个布袋里，一次至少摸出多少个，才能保证有个球是同色的？ 【答案】把三种颜色看作个抽屉，考虑最不利情况，先每种颜色都摸出个，此时再摸出个球，无论这个球是什么颜色，都能保证有个球是同色的，即个。 【分析】将颜色当作抽屉，从最不利的情况出发，确定保证有个球同色所需摸球的数量。 【详解】把红、黄、蓝三种颜色视为个抽屉。最不利的情形是每种颜色都先摸出个球，共摸出个球。此时再摸个球，就必定有一种颜色的球达到个，所以一次至少要摸出个球。 五、抽屉原理的拓展——最不利原则相关题目 1.盒子里有大小相同的红、黄、蓝、白、黑五种颜色的棋子，红棋子有 12 个，黄棋子有 15 个，蓝棋子有 10 个，白棋子有 8 个，黑棋子有 20 个。从盒子里至少摸出多少个棋子，才能保证摸出的棋子中有 6 个颜色相同的棋子且有 5 个其他颜色相同的棋子？ 【答案】至少摸出 25 个棋子。 【分析】最不利的情况是先把数量较少的白棋子 8 个和蓝棋子 5 个都摸完，然后红棋子、黄棋子、黑棋子每种都摸 5 个，此时再摸 1 个棋子，无论什么颜色，都能满足条件。 【详解】先摸出白棋子 8 个、蓝棋子 5 个，然后红、黄、黑棋子各摸 5 个，共摸了个棋子，再摸 1 个棋子，即个棋子，就能保证摸出的棋子中有 6 个颜色相同的棋子且有 5 个其他颜色相同的棋子。 2.一副扑克牌（包括大、小王共 54 张），至少抽多少张牌，才能保证有 5 张牌的花色相同且有 2 张王牌？ 【答案】至少抽 23 张牌。 【分析】最不利的情况是先把 4 种花色的牌每种都抽 4 张，然后再把 2 张王牌抽出来，此时再抽 1 张牌，无论什么花色，都能保证有 5 张牌的花色相同且有 2 张王牌。 【详解】先抽张牌，每种花色 4 张，再抽 2 张王牌，共张牌。然后再抽 1 张牌，即张牌，就能保证有 5 张牌的花色相同且有 2 张王牌。 3.有红、黄、蓝三种颜色的小旗各若干面，每人可以从中任意选取 3 面小旗（可以是同色的）。那么，至少需要多少人来选小旗，才能保证有 4 人所选的小旗颜色组合完全相同？ 【答案】至少需要 21 人。 【分析】先算出选取 3 面小旗的所有颜色组合情况，共有种（3 面同色有 3 种情况，2 面同色 1 面不同色有种情况，3 面都不同色有 1 种情况），把这些组合看作抽屉。最不利的情况是每种组合先都有 3 个人选择，此时再多 1 个人选择，就能保证有 4 人所选的小旗颜色组合完全相同。 【详解】选取 3 面小旗的颜色组合有 10 种。最不利情况是每种组合都有 3 人选择，共人次选择。再多 1 个人选择，即个人，就能保证有 4 人所选的小旗颜色组合完全相同。 4.从 1 - 100 这 100 个自然数中，至少任选多少个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 8？ 【答案】至少任选 51 个数。 【分析】将 1 - 100 这 100 个自然数按除以 8 的余数分成 8 组：{1, 9, 17, …, 97}，{2, 10, 18, …, 98}，{3, 11, 19, …, 99}，{4, 12, 20, …, 100}，{5, 13, 21, …, 93}，{6, 14, 22, …, 94}，{7, 15, 23, …, 95}，{8, 16, 24, …, 96}。最不利的情况是每组先选 1 个数，然后再选 1 个数，就必然会出现两个数的差是 8。 【详解】按除以 8 的余数分组后共 8 组。最不利时每组选 1 个数，共选 8 个数，然后再选 43 个数（例如取余数为 0 的组中的 12 个数，余数为 1 的组中的 11 个数，余数为 2 的组中的 11 个数，余数为 3 的组中的 9 个数），此时共取个数，就能保证其中一定包括两个数，它们的差是 8。 5.一个口袋里有足够多的黑、白、灰三种颜色的球，现有 40 个人轮流从袋中取球，每人取 4 个球。至少有多少个人取出的球的颜色组合完全相同？ 【答案】至少有 4 个人取出的球的颜色组合完全相同。 【分析】先算出取 4 个球的所有颜色组合情况，4 个球同色有 3 种情况，3 个球同色 1 个球不同色有种情况，2 个球同色 2 个球同色有 3 种情况，2 个球同色 1 个球不同色 1 个球不同色有种情况，4 个球颜色都不同有 1 种情况，共种组合，把这些组合看作抽屉，40 个人看作物品，用抽屉原理求解。 【详解】取 4 个球的颜色组合有 19 种。，平均每个组合有 2 个人相同，还余 2 个人，所以至少有个人取出的球的颜色组合完全相同。 6.有编号为 1 - 50 的 50 张卡片，每次从中抽取若干张卡片，为保证抽取的卡片中至少有两张卡片编号之差为 7，至少要抽取多少张卡片？ 【答案】至少要抽取 27 张卡片。 【分析】将编号按除以 7 的余数分成 7 组：{1, 8, 15, …, 43}，{2, 9, 16, …, 44}，{3, 10, 17, …, 45}，{4, 11, 18, …, 46}，{5, 12, 19, …, 47}，{6, 13, 20, …, 48}，{7, 14, 21, …, 49, 50}。最不利的情况是每组先取 1 个数，然后再取 1 个数，就必然会出现两个数编号之差为 7。 【详解】按除以 7 的余数分组后共 7 组。最不利时每组选 1 个数，共选 7 个数，然后再选 20 个数（例如取余数为 0 的组中的 6 个数，余数为 1 的组中的 6 个数，余数为 2 的组中的 4 个数，余数为 3 的组中的 4 个数），此时共取个数，就能保证抽取的卡片中至少有两张卡片编号之差为 7。 7.一个盒子里有红、绿、黄三种颜色且大小相同的正方体木块，红木块有 18 个，绿木块有 15 个，黄木块有 12 个。从盒子里至少摸出多少个木块，才能保证摸出的木块中有 8 个颜色相同的木块且有 6 个其他颜色相同的木块？ 【答案】至少摸出 20 个木块。 【分析】最不利的情况是先把黄木块 12 个都摸完，然后红木块和绿木块每种都摸 7 个，此时再摸 1 个木块，无论什么颜色，都能满足条件。 【详解】先摸出黄木块 12 个，然后红、绿木块各摸 7 个，共摸了个木块，再摸 1 个木块，即个木块，就能保证摸出的木块中有 8 个颜色相同的木块且有 6 个其他颜色相同的木块。 8.有 1 - 15 这 15 个自然数，每次从中取出若干个数，为保证取出的数中至少有两个数的和为 16，至少要取出多少个数？ 【答案】至少要取出 8 个数。 【分析】将 1 - 15 这 15 个自然数按和为 16 分成 7 组：{1, 15}，{2, 14}，{3, 13}，{4, 12}，{5, 11}，{6, 10}，{7, 9}，{8}。最不利的情况是每组先取 1 个数，此时再取 1 个数，就必然会出现两个数的和为 16。 【详解】按和为 16 分组后共 7 组。最不利时每组选 1 个数，共选 7 个数，再选 1 个数，即个数，就能保证取出的数中至少有两个数的和为 16。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 抽屉原理 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解抽屉原理的基本概念，能准确辨别抽屉原理相关问题的情境。 2.熟练掌握抽屉原理的两种基本形式，并能运用它们解决简单的实际问题。 3.学会构建合适的“抽屉”和“物品”，通过分析问题找到解决复杂抽屉原理问题的方法，提升逻辑推理能力。 知识梳理 知识点一、抽屉原理的基本概念 1.定义：把多于个的物体放到个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。更一般地，如果有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。这里的“元素”可看作“物品”，“集合”就相当于“抽屉”。 2.举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 知识点二、抽屉原理的两种基本形式 1.抽屉原理一 （1）表述：如果把个物体放在个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有个物体。 （2）数学语言表达：对于任意的正整数，若有个元素放进个集合中，则至少存在一个集合，该集合内元素个数大于或等于。 （3）证明思路：可以采用反证法。假设每个抽屉最多只放个物体，那么个抽屉最多只能放个物体，这与有个物体相矛盾，所以必定有一个抽屉中至少放有个物体。 2.抽屉原理二 （1）表述：如果把（、均为正整数）个物体放在个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有个物体。 （2）数学语言表达：对于任意正整数、，若有个元素放进个集合中，则至少存在一个集合，该集合内元素个数大于或等于。 （3）证明思路：同样用反证法。假设每个抽屉最多放个物体，那么个抽屉最多能放个物体，而现在有个物体，所以必然有一个抽屉里至少有个物体。 知识点三、如何构建抽屉和确定物品 1.明确问题中的对象：在实际问题中，首先要确定哪些是“物品”，哪些是“抽屉”。例如，在“把个小朋友分配到个不同的兴趣小组”这个问题中，个小朋友就是“物品”，个兴趣小组就是“抽屉”。 2.根据问题特征构建抽屉：构建抽屉的方法多样，常见的有按数的余数分类、按区间划分、按图形的位置等。例如，对于“任意给定个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是的倍数”这个问题，可以按照除以的余数构建抽屉，余数可以为、、、、，共种情况，但考虑到和或差是的倍数的情况，可构建个抽屉：，，，，，。这样将个自然数放入这个抽屉中，根据抽屉原理，必然有两个数在同一抽屉中，它们的和或差就是的倍数。 知识点四、抽屉原理在实际问题中的应用 1.整除问题：如前面提到的关于自然数和或差是的倍数的问题，这类整除问题常常利用余数构建抽屉来解决。 2.染色问题：例如，在一个的方格表中，将每一个小方格涂上红色或者蓝色，证明无论怎样涂，其中至少有两列的涂色方式完全相同。这里把每列的涂色方式看作“物品”，而不同的涂色方式看作“抽屉”。每列有个小方格，每个方格有种涂法，那么根据排列组合知识，每列的涂色方式共有（种），可看作个“抽屉”，而方格表有列，相当于个“物品”，所以根据抽屉原理，至少有两列的涂色方式完全相同。 3.分配问题：像小朋友分配到兴趣小组这类问题，关键在于明确“物品”数量和“抽屉”数量，然后运用抽屉原理判断分配结果。 知识点五、抽屉原理的拓展——最不利原则 1.概念：最不利原则是从最不利的情况去考虑问题，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利的条件，只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务一定完成。 2.应用：例如，一个口袋里有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各个，至少要摸出多少个球，才能保证一定有个球颜色相同？从最不利的情况考虑，先每种颜色的球都摸出了个，此时再摸出个球，无论这个球是什么颜色，都能保证有个球颜色相同，所以至少要摸出个球。 例题讲解 一、抽屉原理一相关题目 【例题1】教室里有 8 张桌子，老师把 9 本作业本随意放在这些桌子上，那么至少有一张桌子上会放几本作业本？ 二、抽屉原理二相关题目 【例题1】把 25 个苹果放进 4 个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放几个苹果？ 三、如何构建抽屉和确定物品相关题目 【例题1】从 1 - 30 这 30 个自然数中，至少要取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是 31 ？ 【例题2】有黑、白、灰三种颜色的手套各 12 只混在一起。如果让你闭上眼睛，至少拿出几只才能保证一定有 3 双同色的手套？ 四、抽屉原理在实际问题中的应用相关题目 【例题1】在一个的方格表中，将每一个小方格涂上绿色或者黄色，证明无论怎样涂，其中至少有三列的涂色方式完全相同。 【例题2】从这个自然数中任意选出个数，证明其中一定有两个数，较大数是较小数的倍数。 五、抽屉原理的拓展——最不利原则相关题目 【例题1】一个袋子里有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的玻璃球各 30 个，至少取出多少个玻璃球，才能保证有 10 个颜色相同的球？ 【例题2】有 10 种不同款式的帽子，每种款式各有 25 顶，放在一个仓库里。现在要从中取出若干顶帽子，至少取多少顶，才能保证有 4 顶款式相同的帽子？ 考点练习 一、抽屉原理一相关题目 1.幼儿园老师把 15 个玩具分给 14 个小朋友，至少有一个小朋友能拿到几个玩具？ 2.把 25 个苹果放在 24 个盘子里，至少有一个盘子里会放几个苹果？ 二、抽屉原理二相关题目 1.有 37 本书，要放在 5 个书架上，至少有一个书架上会放几本书？ 2.把 49 个乒乓球放进 6 个盒子里，至少有一个盒子里会放几个乒乓球？ 三、如何构建抽屉和确定物品相关题目 1.任意给定 10 个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是 15 的倍数。 2.从 1 - 40 这 40 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 19 ？ 3.有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各 15 个混在一起。如果让你闭上眼睛，至少拿出几只才能保证一定有 4 个球颜色相同？ 4.任意给定 15 个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是 25 的倍数。 四、抽屉原理在实际问题中的应用相关题目 1.有个小朋友，每人都从装有许多红、黄、蓝三种颜色玻璃球的盒子中任意摸出枚球。请你证明，这个小朋友中至少有个小朋友摸出的球的颜色的配组是一样的。 2.在边长为的正方形内，任意放入个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过。 3.从这个自然数中，任取个数，证明至少有两个数，它们的差是或。 4.在一个的方格纸中，每个方格内可以填上四个自然数中的任意一个，填满后对每个“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？ 5.从这个自然数中任意选出个数，证明其中一定有两个数，它们的差是。 6.任意给定个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和是的倍数。 7.有红、黄、蓝三种颜色的球各个，混合放在一个布袋里，一次至少摸出多少个，才能保证有个球是同色的？ 五、抽屉原理的拓展——最不利原则相关题目 1.盒子里有大小相同的红、黄、蓝、白、黑五种颜色的棋子，红棋子有 12 个，黄棋子有 15 个，蓝棋子有 10 个，白棋子有 8 个，黑棋子有 20 个。从盒子里至少摸出多少个棋子，才能保证摸出的棋子中有 6 个颜色相同的棋子且有 5 个其他颜色相同的棋子？ 2.一副扑克牌（包括大、小王共 54 张），至少抽多少张牌，才能保证有 5 张牌的花色相同且有 2 张王牌？ 3.有红、黄、蓝三种颜色的小旗各若干面，每人可以从中任意选取 3 面小旗（可以是同色的）。那么，至少需要多少人来选小旗，才能保证有 4 人所选的小旗颜色组合完全相同？ 4.从 1 - 100 这 100 个自然数中，至少任选多少个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 8？ 5.一个口袋里有足够多的黑、白、灰三种颜色的球，现有 40 个人轮流从袋中取球，每人取 4 个球。至少有多少个人取出的球的颜色组合完全相同？ 6.有编号为 1 - 50 的 50 张卡片，每次从中抽取若干张卡片，为保证抽取的卡片中至少有两张卡片编号之差为 7，至少要抽取多少张卡片？ 7.一个盒子里有红、绿、黄三种颜色且大小相同的正方体木块，红木块有 18 个，绿木块有 15 个，黄木块有 12 个。从盒子里至少摸出多少个木块，才能保证摸出的木块中有 8 个颜色相同的木块且有 6 个其他颜色相同的木块？ 8.有 1 - 15 这 15 个自然数，每次从中取出若干个数，为保证取出的数中至少有两个数的和为 16，至少要取出多少个数？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $