4.2 图形变换与坐标变化（第2课时 轴对称与坐标变化）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

4.2 图形变换与坐标变化（第2课时 轴对称与坐标变化） 教学设计 1.教学内容 本节为新教材苏科版八年级数学上册第4章《平面直角坐标系》4.2 节第 2 课时，主要研究平面内点关于坐标轴或原点的对称变换。通过观察、实验和推导，学生需要掌握点与点之间坐标的对应关系，以及图形在对称变换中的顶点坐标变化规律，为后续旋转、综合变换等学习奠定基础。 2.内容解析 本节核心在于研究轴对称（含原点对称）导致的点的坐标关系。学生在前面已经学习了平移变换及其坐标对应规律，本节通过类比与实验，明确： •点 关于 轴的对称点为 ，横坐标不变、纵坐标互为相反数； •点 关于 轴的对称点为 ，纵坐标不变、横坐标互为相反数； •点 关于原点的对称点为 ，横、纵坐标都互为相反数。 这些坐标对应关系不仅揭示了几何变换和代数坐标之间的对应，还能在画图和解题时将几何问题转化为数形结合的问题，从而提升学生分析几何图形的效率和准确性。本节通过“形”与“数”的双向转化，突出对称思想，培养学生空间想象力和几何直观。学生在观察点、线段乃至三角形等图形关于坐标轴或原点的对称变换时，能更深入地感受坐标方法的简洁与优越性。由局部点的变化到整体图形的变化，帮助学生体会规律归纳与推广的过程，巩固坐标几何与图形变换的衔接，为后续学习复杂变换（如旋转、综合变换）以及解析几何中的应用问题做好准备。 1.教学目标 •在平面直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴（或以原点为对称中心），写出一个已知顶点坐标的图形的对称图形的顶点坐标，知道对应点坐标之间的关系。 •会利用对称点的坐标关系，画出对称图形。 •进一步体会用代数方法表达图形变换的意义，充分经历由“形”到“数”、由“数”到“形”的过程，发展几何直观。 2.目标解析 •学生需能运用坐标轴或原点对称的“横坐标、纵坐标互为相反数”原理，熟练判断并写出变化后的坐标。 •要求学生在画图过程中学会将图形转化为若干关键点的坐标，对这些关键点做坐标运算，再画出对称后的图形。 •强调在图形变换问题中运用代数思想，培养抽象概括及数形结合能力，引导学生提升对几何直观的认识。 3.重点难点 • 教学重点：识记并熟练运用点关于 轴、 轴及原点对称的坐标变换规律，并能准确画出对应的图形。 • 教学难点：灵活判定复杂图形的对称，利用关键点坐标的变化处理多步骤变换。 大多数学生已掌握平移变换的坐标规律，对“横坐标与纵坐标”的变化有初步了解。对于本节内容，理解轴对称（含原点对称）应该较易接受，但在多次变换的综合题中，学生往往容易出现坐标正负弄错或顺序混淆的情况。同时，与图形画法相结合，需要学生具备较好的数形结合意识。因而在教学过程中，应注重引导学生通过实际操作、画图及类比总结来掌握对称变换的本质与规律，并注意多次变换下的推理准确性。 创设情景，问题引入 1. 出示生活情境：展示各种生活中的对称现象（如蝴蝶翅膀、树叶等），让学生观察并思考：为什么这些图案能在某条线或某个点的“翻折”下彼此重合？ 2. 导入问题： “我们已经知道平移前后的点的坐标之间有一定的联系，类似地，轴对称前后点的坐标之间会不会也有联系呢？” 【设计意图】通过生活情境激发学生对对称现象的兴趣，将生活中的对称与数学中的对称相联结，唤起学生已有的“平移坐标变化”经验，明确本节课所要研究的核心问题，激发探究欲望。 探究点1：点与坐标轴（或原点）的对称变换 1. 师生活动： 让学生在方格纸上描点 ，并分别作出它关于轴、轴和原点对称的点。观察并记录对应点坐标的变化。 教师继续提问： （1）作点P关于x轴的对称点P′，点P′与点P的坐标之间有怎样的关系？ （2）作点P关于y轴的对称点P"，点P与点P"的坐标之间有什么关系？ （3）点P′与点P"的坐标之间有什么关系？它们关于坐标原点对称吗？ 学生思考后，师生共同给出结果： （1）点P′与点P的横坐标相同,纵坐标相反. （2）点P"与点P的纵坐标相同,横坐标相反. （3）点P′与点P"的坐标之间有什么关系？它们关于坐标原点对称吗？ 2. 新知导出： 通过操作与讨论，师生共同归纳： 点的变换方式 变换后点的坐标 坐标变化规律 关于轴对称 横坐标不变, 纵坐标互为相反数 关于轴对称 纵坐标不变, 横坐标互为相反数 关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 3.讨论交流： 如果点P与点P′关于x轴对称，点P′与点P"关于y轴对称，那么点P与点P"是否一定关于原点对称？ 解：设点P的坐标为(a,b)，因为点P与点P′关于x轴对称，所以点P′的坐标为(a,－b)，因为点P′与点P"关于y轴对称，所以点P"的坐标为(－a,－b)，所以点P与点P"一定关于原点对称． 【设计意图】通过学生自主画图与教师演示，让他们“形”与“数”相结合，从具体的点坐标变化总结出一般规律，巩固“对称”的概念并提升几何直观和符号表达能力。 探究点2：图形关于坐标轴的对称变换 1. 问题引入： 看下面例子： 例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，3)，C(－1，1). (1) 把△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出顶点的坐标； (2) 把△A1B1C1沿x轴翻折得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出顶点的坐标； (3) 说明点A与点A2的坐标之间的关系． (4) 若△ABC内部一点P(m,n)在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 解：(1)△A1B1C1的顶点坐标分别为A1(2，4)，B1(4，3)，C1(1，1)； (2)△A2B2C2的顶点坐标分别为A2(2,－4)，B2(4,－3)，C2(1,－1)； (3)点A与点A2的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数. (4)P1(－m, n)，P2(－m, －n)． 教师总结： 图形在对称变换前后坐标之间的关系，可以转化为图形上关键点的坐标的变化． 2. 师生互动： o 教师提问：若先关于轴对称，再关于轴对称，结果会如何？ o 学生讨论：分组验证，达到进一步理解“关于原点对称”的结论。 3. 探究思考： 将点P(2，0)绕原点按逆时针方向分别旋转90°，45°可以得到点P′，P"，你能分别写出点P′，P"的坐标吗？ 【设计意图】通过完整的几何图形案例，让学生体验从“现实图形”到“坐标变化”的抽象过程，再回到“图形对称关系”的直观验证。此环节巩固并深化了“关于坐标轴和原点对称”的坐标变换规律，培养学生数形结合的能力和综合应用能力。 1. 分别写出点(－4，3)关于x轴和y轴的对称点的坐标． 解：点(－4，3)关于x轴的对称点的坐标为(－4，－3)， 点(－4，3)关于y轴的对称点的坐标为(4，3)． 2. 如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，写出点C的坐标． 解：因为点A的坐标为(1，2)，点B与点A关于 x轴对称， 所以点B的坐标为(1，－2)．因为点C与点B关于y轴对称， 所以点C的坐标为(－1，－2)． 3. (1) 如图，写出点A，B，C，D，E以及它们关于y轴对称的点的坐标； (2) 画出图中所示图形关于y轴对称的图形； (3) 将原图形和(2)中所画的图形看作一个整体，画出整体图形关于x轴对称的图形. 解：(1)点A的坐标为(0，4)，其关于y轴对称的点是它本身，坐标为(0，4)；点B的坐标为(1，2)，其关于y轴对称的点是点F，坐标为(－1，2)；点C的坐标为(2，2)，其关于y轴对称的点是点G，坐标为(－2，2)；点D的坐标为(2，1)，其关于y轴对称的点是点H，坐标为(－2，1)；点E的坐标为(4，0)，其关于y轴对称的点是点I，坐标为(－4，0)． 4.如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB'，则点B的对应点B'的坐标是___(3，2)_____. 真题感知 1. (2024·绵阳)蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为(－2，－3)，则点M1的坐标为 ( ) A. （2，－3） B. （－3，2） C. （－2，3） D. （2，3） 【答案】A 2. (2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，D(4，－2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置，则点B的坐标为 ( ) A. （2，4） B. （4，2）C. （－4，－2） D. （－2，4） 【答案】A 3. (2023·枣庄) 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图所示为一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点按顺时针方向旋转90°后，叶柄上点A的对应点的坐标为_____(－1，－3)_______. 拓展提升 1. 在平面直角坐标系中，已知点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称. (1) 试确定点A、B的坐标. (2) 如果点B关于x轴的对称点是C，求△ABC的面积. 解：（1） ∵ 点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称， ∴ 解得 ∴ 点A、B的坐标分别为(4，1)、(－4，1). (2)由(1)，得AB＝8. ∵ 点B关于x轴的对称点是C， ∴ 点C的坐标为(－4，－1). ∴ BC＝2. ∴S△ABC＝ BC·AB＝×2×8＝8. 1. 标题：4.2 图形变换与坐标变化（第2课时 轴对称与坐标变化） 2. 规律： ① 点 → 关于 x轴对称 → ② 点 → 关于 y轴对称 → ③ 点 → 关于原点对称 → 3. 典例： o 例1： o 例2： 4. 小结： 1. 基础练习：完成对应教材练习题，并完成下列各题. （1）分别写出以下各点关于 x轴、y轴的对称点的坐标：P、Q。 （2）在方格纸上画出三角形 ABC，A，B，C，并画出它关于 y轴的对称图形。 2. 提高练习（可选做）： （1）若点 M 与点 N 关于原点对称，且 a + b = 3，a′ − b′ = 1，求 a、b。 （2）若矩形的一个顶点为，沿 x轴、y轴依次对称两次后得到相应的顶点（可分别记为 P1、P2、P3…），试写出它们的坐标表达式，并简要说明理由。 3. 探究作业： 观察生活中的对称现象（建筑、艺术作品等），拍照找出至少两处与本节课“坐标轴对称”概念相吻合的场景，通过标注画图或文字描述，说明它们适用的对称规律。 本节课经过理论介绍与实践操作，学生对“坐标轴对称”与“原点对称”的概念有了清晰理解，达到了预设的教学目标：首先，通过多组例题与图形演示，学生充分掌握了点的坐标如何在 x轴、y轴以及原点对称变换下发生变化，概念理解较到位；其次，在应用环节里，部分学生能准确利用坐标变换规律绘制对称图形，但也发现对“列方程”或“代数建模”方面，仍有学生理解不够，表现为对多步骤的推导感到困难；再次，随着课堂活动的推进，小组合作讨论能够激发多数学生的主动性，然而时间较有限，部分同学对关键细节的探究仍显不足。综合来看，后续可考虑增加更多分组讨论时间，让学生尝试独立建立坐标关系方程，提高逻辑思维能力。 学科网（北京）股份有限公司 $