第24章圆（单元测试·培优卷）数学人教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第24章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若的直径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 4．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 6．在半径为的圆O中，若弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 7．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（     ）． A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 12．如图，正五边形与相切于点，若的半径为5，则劣弧的长为 ． 13．如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是 ． 14．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 15．如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为 ，连接并延长交于G，则的最大值为 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，∠AOB＝90°，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD． 17．（6分）如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 18．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（8分如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．（8分）如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 21．（8分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 22．（9分）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 23．（10分）如图1，为的直径，于点与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 24．（12分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第24章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若的直径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得出，从而即可得出答案． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 又点A到圆心O的距离为， ∴， ∴点A在圆内， 故选：A． 2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记定理是解此题的关键． ①根据确定圆的条件进行解答即可； ②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可； ③根据垂径定理即可得出结论； ④根据三角形外心的性质可得出结论； ⑤根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误； ②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误； ③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误； ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误． ∴正确命题的个数为0个． 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的外心的性质，难度不大． 3．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 5．如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质．连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 故选：B． 6．在半径为的圆O中，若弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数． 根据题意画出图形，连接和，根据勾股定理的逆定理得出，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图所示， 连接，， 则， , , , ∴劣弧的度数是，优弧的度数是， ∴弦对的圆周角的度数是或， 故选：C． 7．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求． 【详解】解： 连接，如图所示： 设此圆的半径为R， ∵在正方形中， , 则内接正方形的边长， ∵在正六边形中， ， 为等边三角形， 则内接正六边形的边长， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为， ∴正方形与正六边形的周长之比 ． 故选：A． 8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可； ②正确．证明∠CED＝30°，可得结论； ③错误，M是动点，DM不一定垂直CE； ④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论． 【详解】解：∵， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°， ∵E，D关于AB对称， ∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误， ∵∠CED∠COD＝30°， ∴∠DOB＝2∠CED，故②正确， ∵M是动点， ∴DM不一定垂直CE，故③错误， 连接EM． 则ME＝MD， ∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确， 故选：B． 9．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故选：B． 10．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【详解】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 12．如图，正五边形与相切于点，若的半径为5，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．连接，根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出，从而可求出的度数，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：如解图，连接， 五边形是正五边形， ， 与相切， ， ， 劣弧； 故答案为 13．如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是 ． 【答案】2． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：2． 14．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含角的直角三角形边的关系求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：的圆周角所对的弦是直径． 15．如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为 ，连接并延长交于G，则的最大值为 ． 【答案】 /75度 2 【分析】本题考查了矩形与折叠，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意当与相切时有最大值是解题关键．根据折叠的性质即可求出的度数；以点为圆心，长为半径作，根据矩形与折叠的性质，可得是的切线，进而得出当与相切时，即、两点重合时，有最大值，然后根据等角对等边的性质以及勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， ； 如图，以点为圆心，长为半径作， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，， ， 当与相切时，即、两点重合时，有最大值， ， ， ， ， 在中，， ， 即的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，∠AOB＝90°，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD． 【答案】见详解. 【分析】连接AC，BD，根据∠AOB＝90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数，根据等角对等边可得出AC＝AE，同理可得BF＝BD，再根据AC＝CD＝BD，由此可得出结论． 【详解】证明：连接AC，BD， ∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC∠AOB90°＝30°． ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∵∠AOC＝∠BOD＝30°， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝45°+30°＝75°， ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝75°， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 17．（6分）如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）△ABC是等边三角形． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，证明△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝EC，得到CA＝CB，根据等边三角形的判定定理证明． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BD＝DE， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即点D是BC的中点； （2）解：∵△BAD≌△CAD， ∴AB＝AC， ∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴DE＝AE＝EC， 由（1）得，DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC是等边三角形． 18．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得：负值舍去， ， ． 19．（8分如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证； （2）在中，由勾股定理可得，从而得到，再由切线长定理可得，然后在中，由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵为的直径， ∴， ， ∵， ∵， ， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）知，， ∴在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，为的直径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：． 20．（8分）如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、勾股定理及三角形中位线定理，熟知圆中圆心角、弧、弦之间的关系及勾股定理是解题的关键． （1）连接，由为半圆的直径得出，再由得出其所对的圆周角相等，进而得出，最后根据得出即可解决问题． （2）连接，交于点，在和中分别使用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）连接， 是半圆的直径， ． ， ， ． ，， ， ， ． （2）连接，交于点， ， ，且点为的中点． 令的长为， 则． 在中， ． 在中， ， ， 解得， 即． 又点为中点，点为中点， 为△的中位线， ． 21．（8分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 22．（9分）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键； （1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与的边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接交于点F，如图所示： 由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23．（10分）如图1，为的直径，于点与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）根据等弧关系得出，从而可得出； （2）连接，求出，，求得，由勾股定理求出，由垂径定理得； （3）连接，设交于点，由（1）知，得，证明，得，可判断，得，，根据可得结论 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由（1）知， ∴； （3）证明：连接，设交于点， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴于点，即， 又于点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 又，， ． 24．（12分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）①②．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第24章 圆 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C D B C A B B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共5分） 11．13． 12． 13．． 14．． 15． /75度 2 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分） 【答案】见详解. 【分析】连接AC，BD，根据∠AOB＝90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数，根据等角对等边可得出AC＝AE，同理可得BF＝BD，再根据AC＝CD＝BD，由此可得出结论． 【详解】证明：连接AC，BD， ∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC∠AOB90°＝30°． ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∵∠AOC＝∠BOD＝30°， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝45°+30°＝75°， ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝75°， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 17．（6分） 【答案】（1）见详解；（2）△ABC是等边三角形． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，证明△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝EC，得到CA＝CB，根据等边三角形的判定定理证明． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BD＝DE， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即点D是BC的中点； （2）解：∵△BAD≌△CAD， ∴AB＝AC， ∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴DE＝AE＝EC， 由（1）得，DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC是等边三角形． 18．（8分） (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得：负值舍去， ， ． 19．（8分 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证； （2）在中，由勾股定理可得，从而得到，再由切线长定理可得，然后在中，由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵为的直径， ∴， ， ∵， ∵， ， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）知，， ∴在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，为的直径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：． 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、勾股定理及三角形中位线定理，熟知圆中圆心角、弧、弦之间的关系及勾股定理是解题的关键． （1）连接，由为半圆的直径得出，再由得出其所对的圆周角相等，进而得出，最后根据得出即可解决问题． （2）连接，交于点，在和中分别使用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）连接， 是半圆的直径， ． ， ， ． ，， ， ， ． （2）连接，交于点， ， ，且点为的中点． 令的长为， 则． 在中， ． 在中， ， ， 解得， 即． 又点为中点，点为中点， 为△的中位线， ． 21．（8分） 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 22．（9分） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键； （1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与的边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接交于点F，如图所示： 由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23． （10分） 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）根据等弧关系得出，从而可得出； （2）连接，求出，，求得，由勾股定理求出，由垂径定理得； （3）连接，设交于点，由（1）知，得，证明，得，可判断，得，，根据可得结论 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由（1）知， ∴； （3）证明：连接，设交于点， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴于点，即， 又于点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 又，， ． 24． （12分） 【答案】（1）见解析（2）①②．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第24章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若的直径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 4．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 6．在半径为的圆O中，若弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 7．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（     ）． A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 12．如图，正五边形与相切于点，若的半径为5，则劣弧的长为 ． 13．如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是 ． 14．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 15．如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为 ，连接并延长交于G，则的最大值为 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）如图，∠AOB＝90°，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD． 17．（6分）如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 18．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（8分如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．（8分）如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 21．（8分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 22．（9分）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 23．（10分）如图1，为的直径，于点与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 24．（12分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $