专题15 圆周角定理的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

专题15 圆周角定理的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用圆周角定理求角 类型二、利用圆周角定理证明 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 类型五、已知圆内接四边形求角度 压轴专练 类型一、利用圆周角定理求角 知识点总结 1.核心定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 2.关联性质：圆周角的度数由所对弧的度数决定，若两圆周角对同弧（或等弧），则角相等，可实现角的转化与等量代换。 解题技巧 1.定位弧与角：先找到待求圆周角所对的弧，再找该弧所对的其他圆周角或圆心角，利用“同弧对等角”“圆周角是圆心角一半”转化角。 2.善用直径特性：遇直径时，优先连接直径端点与圆上点，构造90°圆周角，结合直角三角形性质（如两锐角互余）求解，避免忽略直径的特殊作用。 例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，点B，D对应的读数分别为，，连接AB，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，，求出，由圆周角定理得到． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，角的计算，关键是由圆周角定理得到． 【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 【变式1-2】（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质，根据是的直径，可得，根据圆周角定理可知，根据三角形外角的性质可以求出，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 是的外角， ， ， ， . 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理可得，，再结合已知条件以及直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 类型二、利用圆周角定理证明 知识点总结 1.核心依据：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为90°；圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，这些是证明角相等、线段垂直或三角形特殊性质的关键。 2.关联结论：可结合等腰三角形性质（等角对等边）、全等/相似三角形判定，通过圆周角相等推导线段关系或图形全等/相似。 解题技巧 1.找“同弧”纽带：证明角相等时，先确定两角是否对着同一段弧，若能找到公共弧或等弧，直接用圆周角定理证角等。 2.造“直径直角”：需证垂直时，若图形中有圆，可尝试构造直径，利用直径所对圆周角为90°，将垂直关系转化为圆周角问题，简化证明步骤。 例2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，A，B，C，D是上的四点，且． (1)求证：； (2)设与交于点E．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理、弧弦之间的关系、等角对等边等知识，熟练掌握圆周角定理是关键． （1）根据弧弦之间的关系得到，根据弧的和差即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 即； （2）连接， ， ， 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据题意推出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是直径， ∴， ∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，过点作于，则，由圆周角定理和等腰三角形的性质可得，即得，得到，进而可证，得到，即可求证； （）连接，由得，即得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2-3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 知识点总结 1.核心定理：半圆或直径所对的圆周角为90°，反之，90°的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆。该定理建立了直径与直角的直接关联，是圆与直角三角形结合的关键纽带。 2.关联性质：可结合直角三角形性质（如勾股定理、斜边上中线等于斜边一半），通过直径构造直角三角形，或由直角圆周角确定直径，实现边角关系转化。 解题技巧 1.遇直径构直角：若题干中有直径，连接直径两端点与圆上任意一点，直接构造直角三角形，利用直角条件推导边或角的关系。 2.遇直角定直径：若图形中有90°圆周角，先确定其对边，根据定理判定该边为直径，进而利用直径特性（如半径与直径关系）求解未知量，避免遗漏定理逆用。 例3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了圆周角定理以及圆有关的概念，利用圆周角定理、圆弧、弧所对的弦的关系，进而得出，进而得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 以A为圆心长为半径画弧可得点D，再连接即可， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 【变式3-2】（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出，再根据得出，进而即可求出答案． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：45． 【变式3-3】（2025·山西吕梁·二模）如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据为的直径，以及为的中点，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 知识点总结 1.核心定理：90°的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理逆用），其依据是圆周角等于所对圆心角的一半——90°圆周角对应180°圆心角，即圆心角为平角，所对弦为直径。 2.关联应用：可结合直角三角形性质（如斜边中线等于斜边一半），通过90°圆周角确定直径（即直角三角形斜边），或用直径反证圆周角为90°，建立圆与直角三角形的联系。 解题技巧 1.定弦判直径：若已知圆周角为90°，先找出该角的对边，直接依据定理判定此对边为圆的直径，进而确定圆心（直径中点）和半径。 2.构直角证直径：需证明某弦为直径时，可在弦的两端点外找圆上一点，连接形成圆周角，若能证明该角为90°，即可通过定理证弦为直径，避免忽略角与弦的“对边”关系。 例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【答案】//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 【变式4-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，E为的中点，上有一点F，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，根据等腰直角三角形性质得，，则，进而得，是外接圆的直径，再根据得点F在外接圆上，则，由此得是等腰直角三角形，设，，据此得，则，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，如图所示： 在等腰中，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， 是外接圆的直径， 又， 根据圆周角定理得：点F在外接圆上， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 点E是的中点， ， ， 解得：， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，取的中点F，以为直径作，根据题意可得A，B，C，E在上，根据角平分线的定义可得，则即可得出，进而证明，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点F，以为直径作， ∵，， ∴， ∴A，B，C，E在上， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4． 【变式4-3】（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 类型五、已知圆内接四边形求角度 知识点总结 1.核心性质：圆内接四边形的对角互补（即对角和为180°），且任一外角等于它的内对角（外角与相邻内角的对角相等），这是求角度的关键依据。 2.关联知识：常结合圆周角定理（同弧所对圆周角相等），通过圆内接四边形的角关系，转化或关联其他圆周角，实现角度计算。 解题技巧 1.标角定关系：先在图形中标出已知角，明确四边形的对角与邻角，优先利用“对角互补”计算未知对角，若遇外角则用“外角等于内对角”转化。 2.结合圆周角：若已知角或未知角涉及同弧，可借助圆周角定理找到相等角，再代入圆内接四边形的角关系中，避免孤立计算单个角。 例5．（2025·江苏宿迁·三模）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理． 由圆周角定理，结合已知可得，根据直径所对圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，可得，由圆内接四边形的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为 ． 【答案】80 【分析】此题考查圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴． 故答案为：80． 【变式5-2】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，先根据圆内接四边形的性质求出，再根据平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·宁夏·模拟预测）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 由平行线的性质，可得的度数，根据圆内接四边形对角互补，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点A，B在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧之间的关系以及圆周角定理，解题的关键是利用等弧对等圆心角求出相关圆心角的度数，再结合圆周角与圆心角的关系计算角度． 由等弧可得等圆心角，再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴． ∵是所对的圆周角，是所对的圆心角， ∴，即． 故选：B． 2．（2025·云南昆明·三模）如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵点为的中点， ∴点坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含度的直角三角形三边的关系，的圆周角所对的弦是直径，坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直角三角形三边的关系是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，为的弦，点在弧上，若，则的度数为 ． 【答案】/56度 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（2025·广东广州·二模）如图，的直径平分弦，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂径定理以及圆周角定理，先根据的直径平分弦（不是直径），得，再结合，得，最后由同弧所对的圆周角是相等的，得，即可作答． 【详解】解：∵的直径平分弦（不是直径）， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质． 由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 9．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定以及勾股定理，逐步推导得出线段的长度． 【解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25九年级上·贵州·期末）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 12．（2025·安徽·模拟预测）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)135° (2) 【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 14．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，已知的半径为，四边形内接于，连接、，，． (1)求的长； (2)若经过圆心，延长交延长线于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到直角，再根据勾股定理即可解决问题； （2）根据等边对等角得到角相等，根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，根据对角互补和邻补角得到角相等，进而得到角平分线，判断三角形全等，根据三角形全等的性质得到边相等，再根据中位线的性质得到的长，进而可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分的外角． ∵经过圆心， ∴，即， ∴ ∴， 作，垂足为， ， ∵为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中位线定理，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）是的直径，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合），与交于点． (1)求的度数； (2)若点在弧的中点处，求证：； (3)设． ①若，分别计算与的值，并判断它们的大小关系； ②若的值发生变化，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)135° (2)证明见解析 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）连接，如图所示，由是的直径，，得到，利用等腰直角三角形性质得到，再由圆周角定理求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由点在弧的中点，则，由圆周角定理得到，结合等腰直角三角形的判定与性质，得到，即可由等腰三角形判定与性质得证； （3）①在中，由勾股定理得到相关线段及角度，即可得到，再由含直角三角形性质、勾股定理求出，即可得到答案；②连接，连接，过点作，如图所示，由，判定是等腰直角三角形，进而由等腰直角三角形性质得到，再结合圆周角定理确定，从而由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合代入，即可得证． 本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、外角性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识．熟练掌握圆的相关性质、掌握解题所需的几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 【详解】（1）如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵点在弧的中点处， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （3）①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴， 如图，过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴； ②，理由如下： 如图，连接，连接，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15 圆周角定理的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用圆周角定理求角 类型二、利用圆周角定理证明 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 类型五、已知圆内接四边形求角度 压轴专练 号 典例详解 类型一、利用圆周角定理求 知识点总结 1.核心定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。 2.关联性质：圆周角的度数由所对弧的度数决定，若两圆周角对同弧（或等弧），则角相等，可实现角的 转化与等量代换。 解题技巧 1.定位弧与角：先找到待求圆周角所对的弧，再找该弧所对的其他圆周角或圆心角，利用“同弧对等角” “圆周角是圆心角一半”转化角。 2.善用直径特性：遇直径时，优先连接直径端点与圆上点，构造90°圆周角，结合直角三角形性质（如 两锐角互余)求解，避免忽略直径的特殊作用。 例1.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量 角器的外弧分别交于点A,B,C,D,点B,D对应的读数分别为50°，155°，连接AB,则∠BAD的度数 为 【变式1-1】(2024湖南模拟预测)如图，直线AB,CD为⊙0的两条直径，点E在O0上，连接DE, 点C为4E的中点，若∠A0C=50°，则∠CDE=°. 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25九年级下·广东中山期中)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P,连接AC, AD,BD,若∠C=20°，∠BPC=70°，则LADC=一· B 【变式1-3】(24-25九年级下·广东广州阶段练习)筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流 的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用.如图2，筒车⊙0与水面分别交于点A、B,筒车上 均匀分布着若干个盛水简，D是其中之一，DC是OO的直径，连接DA、DB,点M在AB的延长线上，若 ∠ADC=10°，则∠DBA的度数为 D M C 图1 图2 类型二、利用圆周角定理证明 知识点总结 1.核心依据：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为90°；圆周角的度数等于它所对圆心 角度数的一半，这些是证明角相等、线段垂直或三角形特殊性质的关键。 2.关联结论：可结合等腰三角形性质（等角对等边）、全等/相似三角形判定，通过圆周角相等推导线段 关系或图形全等/相似。 解题技巧 1.找“同弧”纽带：证明角相等时，先确定两角是否对着同一段弧，若能找到公共弧或等弧，直接用圆 周角定理证角等。 2/13 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.造“直径直角”：需证垂直时，若图形中有圆，可尝试构造直径，利用直径所对圆周角为90°，将垂直 关系转化为圆周角问题，简化证明步骤。 例2.(24-25九年级上·湖北恩施阶段练习)如图，A,B,C,D是00上的四点，且AD=BC. A C E B (I)求证：AB=CD; (②)设AB与CD交于点E.求证：DE=BE· 【变式2-1】(25-26九年级上全国阶段练习)如图，A是⊙0上一点，BC是直径，点D在⊙0上且平分 BC. D (I)连接AD,求证：AD平分∠BAC; (2)若CD=5V2,AB=8,求AC的长. 【变式2-2】(24-25九年级上湖北武汉阶段练习)如图，AB是00的直径，AC是弦， BD=CD,DE⊥AB于点E,连接CD. 0 E D (1)求证：AC=20E; (2)若CD=2V5,DE=4,求AC的长， 【变式2-3】(2025·内蒙古包头模拟预测)在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为E. 3/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E 图1 图2 (I)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC; (2)如图2，若AB=6,CD=8,DF是圆的直径，连接CF,求⊙0的半径. 类型三、半圆（直径)所对的圆周角是直角 知识点总结 1.核心定理：半圆或直径所对的圆周角为90°，反之，90°的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆。 该定理建立了直径与直角的直接关联，是圆与直角三角形结合的关键纽带。 2.关联性质：可结合直角三角形性质（如勾股定理、斜边上中线等于斜边一半），通过直径构造直角三角 形，或由直角圆周角确定直径，实现边角关系转化。 解题技巧 1.遇直径构直角：若题干中有直径，连接直径两端点与圆上任意一点，直接构造直角三角形，利用直角 条件推导边或角的关系。 2.遇直角定直径：若图形中有90°圆周角，先确定其对边，根据定理判定该边为直径，进而利用直径特 性（如半径与直径关系）求解未知量，避免遗漏定理逆用。 例3.(2025江苏常州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，CD是00的弦.若∠DCB=45°，AD=1,则 AB= D B 【变式3-1】(24-25九年级上江苏苏州阶段练习)如图，AB是O0的直径，AC是⊙0的弦，AB=4, ∠BAC=30°，在图中作弦AD,使AD=2,则LCAD的度数为· 4/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(2025四川南充·二模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D是⊙0上位于直径AB两侧的点， 连接AC,DC,且AD=BD,则LACD=度. 【变式3-3】(2025·山西吕梁·二模)如图，在ABC中，以AB为直径的O0交边BC于点D,交边AC于 点E,连接DE,若D为BC的中点，∠BDE=140°，则∠C的度数为， D 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 知识点总结 1.核心定理：90°的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理逆用），其依据是圆周角等于所对圆心角的一半 90°圆周角对应180°圆心角，即圆心角为平角，所对弦为直径。 2.关联应用：可结合直角三角形性质（如斜边中线等于斜边一半)，通过90°圆周角确定直径（即直角三 角形斜边)，或用直径反证圆周角为90°，建立圆与直角三角形的联系。 解题技巧 1.定弦判直径：若已知圆周角为90°，先找出该角的对边，直接依据定理判定此对边为圆的直径，进而 确定圆心（直径中点)和半径。 2.构直角证直径：需证明某弦为直径时，可在弦的两端点外找圆上一点，连接形成圆周角，若能证明该 角为90°，即可通过定理证弦为直径，避免忽略角与弦的“对边”关系。 例4.(24-25九年级上·全国·期末)如图，圆A与坐标系交于B(4,0),C(0,3),且经过原点，则圆A的半径 等于」 5/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B衣 【变式4-1】(2025湖南益阳·模拟预测)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,E为BC的中点， AB上有一点F,若∠CFE=∠CAE,则△CFE的面积等于一· 【变式4-2】(24-25九年级下·重庆长寿·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC的平分线交 CD于点E,连接AC和AE,AC1BC,AE⊥BE,若AD=3,AE=, ,则4C= A D 【变式4-3】(2025山东潍坊三模)如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且AE⊥BE,点F是边 AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG,FG,则EG+FG的最小值为一· G B 类型五、已知圆内接四边形求角度 知识点总结 1.核心性质：圆内接四边形的对角互补（即对角和为180°），且任一外角等于它的内对角（外角与相邻 6/13 学科网·上好课 上好每一堂课 内角的对角相等)，这是求角度的关键依据。 2.关联知识：常结合圆周角定理（同弧所对圆周角相等），通过圆内接四边形的角关系，转化或关联其他 圆周角，实现角度计算。 解题技巧 1.标角定关系：先在图形中标出已知角，明确四边形的对角与邻角，优先利用“对角互补”计算未知对 角，若遇外角则用“外角等于内对角”转化。 2.结合圆周角：若已知角或未知角涉及同弧，可借助圆周角定理找到相等角，再代入圆内接四边形的角 关系中，避免孤立计算单个角。 例5.(2025江苏宿迁·三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径，BC=CD,连接AC.若 ∠DAB=40°，则∠D的度数为 D 【变式5-1】(24-25九年级上·吉林·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠B=100°，则∠D的度数 为 A 【变式5-2】(25-26九年级上广西南宁·开学考试)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，过点B作 BE∥AD,交CD于点E.若∠ABC=140°，则∠BEC的度数为· D Q E B C 【变式5-3】(2025·宁夏·模拟预测)如图，四边形ABCD内接于OO,过点A作AE∥BC,交CD于点E.若 ∠AED=50°，则∠BAD=」 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 50° E 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上全国期末)如图，CD是00的直径，点A,B在⊙0上.若AC=BC,LA0C=36°， 则∠D=() B A.9 B.18° C.36° D.45° 2.(2025云南昆明三模)如图，AB是⊙0的直径，AC=BD,若∠ABC=30°，则∠C0D的度数是() B A.30° B.40° C.50° D.60° 3.(2025湖南娄底模拟预测)如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，则 ∠CAD=() 8/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B A.23° B.28° C.31° D.33° 4.(2025四川巴中.中考真题)如图，A、B、C是⊙0上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D, 使AD=AC,连接CD,则∠ACD为() B D A.70° B.50° C.45° D.40° 5.(24-25九年级上·安徽蚌埠阶段练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A在x轴负半轴上，点B在 y轴正半轴上，⊙D经过A,B,O,C四点，∠AC0=120°，AB=4,则圆心点D的坐标是() B D C A.（-1,5 B.（5, c.(5,- D.（-5, 二、填空题 6.(24-25九年级上广东东莞期末)如图，AC为⊙0的弦，点B在弧AC上，若∠BCA=28°，则∠A0B的 度数为 B 7.(2025广东广州二模)如图，⊙0的直径AB平分弦CD,若∠B=60°，则∠A= 9/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 8.(24-25九年级上·吉林期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BE是⊙0的直径，连接AE.若 ∠DAE=26°，则∠C的度数是」 B 9.(2024湖北模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE的中点， 如果BD‖CF,BC=2√5，则线段CD的长为一· B E D 0 E D:AD是O0的直径， ∴.∠ABD=∠ACD=90°， 在RIAABD与Rt△ACD中， AB=AC,AD=AD, Rt△ABD≌Rt△ACD, ∴LBAD=∠CAD, AB=AC, 10/13