专题5.2 一次函数的图象和性质（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题5.2一次函数的图象和性质 教学目标 1.理解一次函数与正比例函数的关系（知道正比例函数是b=0时的一次函数，即y=kx），能区分一次函数解析式（y=kx+b，k≠0）中k、b的取值要求； 2.掌握一次函数图象的画法：会用 “两点法”（取与坐标轴的交点(0,b)和(,0)）或 “描点法” 画一次函数图象，明确一次函数图象是一条直线； 3.熟记一次函数的性质：能结合解析式y=kx+b（kâ� 0）判断图象的增减性（k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小），以及与y轴交点（(0,b)）的位置（b>0时交正半轴，b=0时过原点，b<0时交负半轴）； 4.能根据一次函数图象获取信息：如确定k、b的符号，找到与坐标轴的交点坐标，判断某点是否在函数图象上，以及结合图象分析实际问题中的变化趋势（如行程问题中速度与路程的关系）。 教学重难点 1.重点 (1)一次函数图象的画法：掌握 “两点法” 画一次函数直线（核心是找到与x轴、y轴的两个交点）； (2)一次函数的性质：理解k对函数增减性的影响、b对函数图象与y轴交点位置的影响； (3)“数” 与 “形” 的对应：能根据一次函数解析式判断图象特征（如走向、与坐标轴交点），或根据图象确定解析式中k、b的符号. 2.难点 (1)理解k的几何意义：难以将 “k的正负” 与 “直线的倾斜方向”、“k的绝对值大小” 与 “直线的倾斜程度” 建立关联（如误认为k越大直线越陡，忽略k的正负）； (2)利用一次函数性质解决实际问题：无法将实际问题中的 “变化关系” 与 “一次函数的增减性、交点意义” 对应; (3)一次函数与正比例函数的图象关系：混淆 “b的变化对图象的影响”（如认为y=kx+b与y=kx的图象是 “平移” 关系，但无法说清 “向上还是向下平移|b|个单位”）。 知识点01 正比例的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【即学即练】 1．若函数是正比例函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 知识点02 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【即学即练】 2．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 2．已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 知识点03 一次函数的图象和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大而较少 图象（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【即学即练】 1．当时，直线的图象经过（   ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．二、三、四象限； D．一、二、四象限． 2．一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A．B．C．D． 3．若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 知识点04 一次函数的平移 1、 一次函数图象在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图象在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【即学即练】 1．将直线沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式是 ． 知识点05 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【即学即练】 1．已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】．下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型02 识别一次函数 【典例2】下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 题型03 判断一次函数图象所在象限 【典例3】函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【变式1】已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列图象中的直线，是一次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 题型04 根据-次函数解析式判断其经过的象限 【典例4】已知一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象必经过第二、三、四象限 B．图象必经过第一、二、三象限 C．图象必经过第一、三、四象限 D．图象必经过第一、二、四象限 【变式1】在平面直角坐标系中，函数的图象经过（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【变式2】若点在第二象限，则一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【变式3】一次函数经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 题型05 已知函数经过的象限求参数范围 【典例5】已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 【变式2】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【变式3】如果关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 题型06 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例6】一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图象与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型07 根据-次函数增减性求含参取值范围 【典例7】已知一次函数． (1)若该函数值y随自变量x的增大而减小，求a的取值范围； (2)若该函数图象经过第一、第三象限，求a的取值范围． 【变式1】如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的函数是，且随着的增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式3】已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为 ． 题型08 比较一次函数值的大小 【典例8】若点在一次函数的图象上，则关于的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式1】若点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式2】已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数的图象上有两点、，若，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型09 一次函数的平移问题 【典例9】将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】平面直角坐标系内，将直线沿轴向下平移个单位，所得直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线向上平移个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【变式3】将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 题型10 一次函数的图象综合 【典例10】对于一次函数，下列结论不正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 【变式1】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 【变式2】对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．函数图象必过点 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 题型11 求一次函数解析式 【典例11】已知一次函数的图象过和两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求． 【变式1】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 【变式2】已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． 【变式3】已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)求图象与x轴交点坐标． 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 4．当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．点是直线上一点，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．1 C． D．3 8．已知等腰三角形的周长为，若底边长为y，一腰长为x，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．关于函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象与轴的交点为 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过第二、三、四象限 二、填空题 10．直线与x轴交点的坐标是 ． 11．已知一次函数的图象经过点两点，且，则 ．（填“>”“=”“<”） 三、解答题 12．已知与成正比例，且当时， (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 13.如图，直线l上有一点，将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到像点，点恰好在直线l上．完成下列问题： (1)直接写出点的坐标； (2)求直线l所表示的一次函数的表达式； (3)若将点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到像点Q．请判断点Q是否在直线l上，并说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2一次函数的图象和性质 教学目标 1.理解一次函数与正比例函数的关系（知道正比例函数是b=0时的一次函数，即y=kx），能区分一次函数解析式（y=kx+b，k≠0）中k、b的取值要求； 2.掌握一次函数图象的画法：会用 “两点法”（取与坐标轴的交点(0,b)和(,0)）或 “描点法” 画一次函数图象，明确一次函数图象是一条直线； 3.熟记一次函数的性质：能结合解析式y=kx+b（kâ� 0）判断图象的增减性（k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小），以及与y轴交点（(0,b)）的位置（b>0时交正半轴，b=0时过原点，b<0时交负半轴）； 4.能根据一次函数图象获取信息：如确定k、b的符号，找到与坐标轴的交点坐标，判断某点是否在函数图象上，以及结合图象分析实际问题中的变化趋势（如行程问题中速度与路程的关系）。 教学重难点 1.重点 (1)一次函数图象的画法：掌握 “两点法” 画一次函数直线（核心是找到与x轴、y轴的两个交点）； (2)一次函数的性质：理解k对函数增减性的影响、b对函数图象与y轴交点位置的影响； (3)“数” 与 “形” 的对应：能根据一次函数解析式判断图象特征（如走向、与坐标轴交点），或根据图象确定解析式中k、b的符号. 2.难点 (1)理解k的几何意义：难以将 “k的正负” 与 “直线的倾斜方向”、“k的绝对值大小” 与 “直线的倾斜程度” 建立关联（如误认为k越大直线越陡，忽略k的正负）； (2)利用一次函数性质解决实际问题：无法将实际问题中的 “变化关系” 与 “一次函数的增减性、交点意义” 对应; (3)一次函数与正比例函数的图象关系：混淆 “b的变化对图象的影响”（如认为y=kx+b与y=kx的图象是 “平移” 关系，但无法说清 “向上还是向下平移|b|个单位”）。 知识点01 正比例的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【即学即练】 1．若函数是正比例函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，因此常数项必须为零，即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， 故选：D． 知识点02 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【即学即练】 2．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式（k，b为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是①④， 故选：D． 2．已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义得出且，即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得． 故选：A． 知识点03 一次函数的图象和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大而较少 图象（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【即学即练】 1．当时，直线的图象经过（   ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．二、三、四象限； D．一、二、四象限． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴直线经过一、三、四象限， 故选：． 2．一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D.    ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减增大，当时，随的增大而减小”是解此题的关键． 由利用一次函数的性质可得随的增大而减小，结合即可得出结论． 【详解】解：， ∴随的增大而减小， 又 故选：C． 4．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，该选项结论错误，不合题意； 、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，该选项结论正确，符合题意； 、函数的图象向上平移个单位长度，得的图象，该选项结论错误，不合题意； 、函数的图象与轴的交点的坐标是，该选项结论错误，不合题意； 故选：． 知识点04 一次函数的平移 1、 一次函数图象在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图象在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【即学即练】 1．将直线沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式是，即， 故答案为：． 知识点05 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【即学即练】 1．已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据题意设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得，解得； ∴， ∴； （2）∵点在函数的图象上， ∴，解得． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】．下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义：形如（为常数）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，是正比例函数，故本选项符合题意； D、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：符合正比例函数定义的只有C选项，A、B、D都不是正比例函数； 故选C． 【变式2】下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数”，熟练掌握正比例函数的定义是解题关键．根据正比例函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是正比例函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，则此项符合题意； C、不是正比例函数，则此项不符合题意； D、不是正比例函数，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式3】若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，解之即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴， 故选：． 题型02 识别一次函数 【典例2】下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：A.是一次函数，符合题意； B.不是一次函数，不符合题意； C.不是一次函数，不符合题意； D.不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 【变式1】在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的概念，将化成的形式即可求解； 【详解】解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是， 故选：C． 【变式2】下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 题型03 判断一次函数图象所在象限 【典例3】函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图象，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 【变式1】已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 【变式3】下列图象中的直线，是一次函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式确定函数的图象，解题的关键是掌握一次函数的性质． 根据一次函数的性质，即的值，进行确定函数的图象即可． 【详解】解：由一次函数解析式得， ，随的增大而增大； ，即与轴的交点坐标为，交轴正半轴； 故选：A． 题型04 根据-次函数解析式判断其经过的象限 【典例4】已知一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象必经过第二、三、四象限 B．图象必经过第一、二、三象限 C．图象必经过第一、三、四象限 D．图象必经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与性质：一次函数（为常数，且）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为． 根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数， ∴，，函数图象必经过第一、三、四象限． 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数的图象经过（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数中，即可得出所经过象限． 【详解】解：函数中， ∴一次函数经过第一、三、四象限． 故选：C． 【变式2】若点在第二象限，则一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系，熟练掌握函数图象在坐标平面内的位置与的关系是解题的关键．根据的符号来判定即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 则一次函数的图象经过的象限为第二、三、四象限， 故选：B． 【变式3】一次函数经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由于，，根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、三象限， ∵， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 题型05 已知函数经过的象限求参数范围 【典例5】已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数关系． 先根据函数y随x的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即，进而可求出k的取值范围． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， 且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 【变式2】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于的不等式组，然后解不等式组即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】如果关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及解不等式组等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由一次函数图象所过象限得到，且，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，且， 解得， 故答案为：． 题型06 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例6】一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入，求出x的值，进而可得出一次函数的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选：． 【变式1】一次函数的图象与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数与坐标轴的交点坐标，掌握求函数与坐标轴交点的求法是解题的关键． 求与y轴的交点坐标，令可求得y的值，可得出函数与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，代入解得， ∴一次函数的图象与y轴交点坐标是， 故选：A． 【变式2】一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 【详解】解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 【变式3】一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，令，解方程即可求解． 【详解】解：令，由得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选：B． 题型07 根据-次函数增减性求含参取值范围 【典例7】已知一次函数． (1)若该函数值y随自变量x的增大而减小，求a的取值范围； (2)若该函数图象经过第一、第三象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键熟知一次函数图象的性质． （1）由该函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出a的取值范围； （2）由该函数图象经过第一、第三象限，利用一次函数的性质，可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之可得出a的值． 【详解】（1）解：∵该函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， 解得， ∴a的取值范围为； （2）解：该函数图象经过第一、第三象限， ∴， 解得， ∴a的取值为1． 【变式1】如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】若关于的函数是，且随着的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数一次项系数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的一次项系数和增减性的关系． 根据一次函数一次项系数和增减性的关系判断即可． 【详解】解：∵关于的函数是，且随着的增大而减小， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3】已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 题型08 比较一次函数值的大小 【典例8】若点在一次函数的图象上，则关于的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数的性质，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又，且，是一次函数图象上的两个点， ． 故选：A． 【变式1】若点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，的值随着的增大而减小即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式可得随着的增大而减小，再结合，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，， ∴随着的增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：A． 【变式3】函数的图象上有两点、，若，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的增减性，解题关键在于根据k值判断函数增减性． 根据一次函数图象的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图象中y随x的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：C． 题型09 一次函数的平移问题 【典例9】将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是， 故选：A． 【变式1】平面直角坐标系内，将直线沿轴向下平移个单位，所得直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象平移问题，解题关键是熟练掌握一次函数图象平移规律． 根据一次函数图象平移规律“上加下减”即可得解． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位后的解析式为： ，即． 故选：． 【变式2】已知直线向上平移个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 先求出函数平移后的解析式，再把点代入求出m的值即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后得到函数的解析式为， 平移后经过点， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象沿y轴向上平移2个单位长度， ∴平移后所得图象对应的函数关系式为：， 即． 故答案为：． 题型10 一次函数的图象综合 【典例10】对于一次函数，下列结论不正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图象的特点是解题的关键． 根据一次函数解析式得到，一次函数图象经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴它的图象与轴交于点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数向上平移6个单位，得到一次函数， ∴它的图象与直线平行，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象必过二、四象限，随的增大而减小；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解． 【详解】解：令，； ∴图象与轴交于点，故A错误； ∵， ∴随的增大而增大，故B错误； ∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，故C错误； ∵，；且随的增大而增大， ∴当时，；故D正确； 故选：D 【变式2】对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．函数图象必过点 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的图象与轴、轴的交点及函数的增减性是解题的关键．根据一次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：中， ∴A. y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；     B. 当时，，则函数图象必过点，故该选项正确，不符合题意； C.∵，函数图象不经过第三象限，故该选项正确，不符合题意；     D. 当时，，则函数图象与x轴交点坐标是，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 题型11 求一次函数解析式 【典例11】已知一次函数的图象过和两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值．熟练掌握求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值是解题的关键． （1）设一次函数的解析式为，将和两点代入求解即可； （2）点满足函数解析式，将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把和代入得，解得.， 所以此一次函数的解析式为； （2）把代得， 所以． 【变式1】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征； （1）先由题意将点和点代入，从而得到进而写出函数解析式； （2）由点的平移特征知点向右平移3个单位后坐标为，再代入表达式即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：点向右平移3个单位后坐标为， 点在直线上， ． 【变式2】已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【分析】此题考查了一次函数，涉及待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，运用数形结合思想是解题的关键． （1）把，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，再解方程组求出k、b，从而确定一次函数的解析式； （2）令求解即可； （3）根据列表，描点，连线画图，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：令得， 解得， ． （3）解：列表： x 0 y 2 0 画图如下： ， ， ． 【变式3】已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)求图象与x轴交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，与x轴交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解，得 （2）根据与x轴交点坐标的纵坐标为0，故令时，则，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵y是关于x的一次函数， ∴设该一次函数的表达式为， 依题意，把，分别代入， 得，解得， ∴， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：由（1）得该一次函数的表达式为， ∴令时，则， 解得， ∴图象与x轴交点坐标为． 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义，判断每个选项的函数形式是否符合． 【详解】解：A、，其中的次数是2，属于二次函数，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，所以是一次函数，符合题意； C、，是反比例函数，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 2．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，把各点代入即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴不在函数图象上，不符合题意； 、当时，， ∴在函数图象上，符合题意； 、当时，， ∴不在函数图象上，不符合题意； 、当时，， ∴不在函数图象上，不符合题意； 故选：． 3．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 4．当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，正确掌握求解方法是解题的关键． 把代入解析式进行计算即可得． 【详解】解：将代入得，． 故选：D． 5．点是直线上一点，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了求一次函数值，判断点所在的象限， 将代入得到点P的坐标为，再根据坐标符号确定所在象限． 【详解】解：∵点是直线上一点 ∴ ∴点P的坐标为 ∴点P在第四象限， 故选：D． 7．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，代数式求值．熟练掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键． 由点在函数的图象上，可得，将其代入代数式中计算即可． 【详解】∵点在函数的图象上，∴， ∴ ． 故选：A． 8．已知等腰三角形的周长为，若底边长为y，一腰长为x，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形周长的定义列出方程是解答本题的关键．再根据三角形三边的关系确定自变量的范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，若底边长为y，一腰长为x， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴ 解得． 故选B． 9．关于函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象与轴的交点为 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．将和分别代入解析式，即可判断A和B选项，根据一次函数图象与性质，即可判断C和D选项． 【详解】解：A、当时，， ∴一次函数的图象经过点，选项A不符合题意； B、当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点为，选项B不符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，选项C不符合题意； D、∵，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题 10．直线与x轴交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数与x轴的交点坐标，在x轴上的点，其纵坐标为0，据此求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线与x轴交点的坐标是， 故答案为：． 11．已知一次函数的图象经过点两点，且，则 ．（填“>”“=”“<”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．根据一次函数的解析式得出y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．已知与成正比例，且当时， (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式： （1）由与成正比例可设，再把时，代入求出的值即可． （2）把代入解析式解答即可． 【小题1】解：与成正比例， 设， 时，， ，解得， ，即； 【小题2】解：把代入． 13.如图，直线l上有一点，将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到像点，点恰好在直线l上．完成下列问题： (1)直接写出点的坐标； (2)求直线l所表示的一次函数的表达式； (3)若将点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到像点Q．请判断点Q是否在直线l上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q在直线l上，理由见详解 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律以及一次函数表达式的求解与应用，综合考查了点的平移与一次函数的相关知识，正确使用待定系数法求解出一次函数表达式是解决本题的关键． （1）根据点的平移规则求解即可； （2）根据待定系数法，将点和点的坐标代入求解即可； （3）先求解出点Q的坐标，再将点Q的坐标代入直线方程中验证即可． 【详解】（1）解：∵将点先向左平移2个单位， 此时坐标为， 再向下平移4个单位得到像点， 点的坐标为； （2）解：设直线l的解析表达式为, 将、代入得， 解得， ∴直线l的解析表达式为； （3）解：将点先向左平移1个单位， 此时坐标为， 再向下平移2个单位得到点， 把代入中，得， ∴点Q在直线l上. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $