第5章 一次函数（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版2024八年级上册

第五章 一次函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的新函数图象经过点（    ） A． B． C． D． 3．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 4．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．正比例函数的函数值随的增大而增大，则直线经过象限为（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A．B．C． D． 8．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．图象必经过第一、二、三象限 C．当时， D．随的增大而增大 9．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 10．如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴和y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B．1 C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果生产某种产品的成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示，那么生产6吨这种产品所需的成本是 万元． 12．一次函数与的图象如图，则当自变量的范围为 时，有． 13．将直线向上平移3个单位长度后，所得直线经过点，则m的值为 ． 14．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 15．正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 16．如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度 ；的面积 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知一次函数的图象过点． (1)求的值； (2)试说明两点是否在函数图象上． 18．（8分）某产品试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． (1)求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； (2)当每件产品的销售价定为35元时，此时产品的日销售量是多少？ 19．（8分）某校在世界环境日举行“美丽中国，我是行动者”全民抗疫主题教育活动．为表彰在本次活动中表现优秀的学生，学校决定购买两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需元；若购买种奖品2件和种奖品3件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买、两种奖品共件，购买总费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，设购买种奖品件，购买总费用为元，写出（元）与（件）之间的函数关系式，并确定最少费用的值． 20．（8分）某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： (1)当时，y与x的函数解析式 (2)当时，y与x的函数解析式； (3)若某居民该月用水吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 21．（10分）小张根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 0 k 2 … (1)表中的______； (2)在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______； (3)已知直线与函数的图象相交，则当时，的取值范围是______； 22．（10分）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 23．（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，同时一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)求出点C的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 24．（10分）【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，则的面积为___________； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，，当时，图象过第一、三象限，当时，图象过第二、四象限，当时，图象交轴的正半轴，当时，图象交轴的负半轴，熟练掌握该知识点是解题的关键．据此作答即可得出答案． 【详解】解：一次函数，，， 那么其图象过第一、三、四象限， 故选：B． 2．将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的新函数图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的平移变换．求出平移后图象的函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：一次函数的图象向下平移4个单位的解析式为， 当时，，故A正确，B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误； 故选：A． 3．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据可知，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从表格数据可知，每增加，增加，所以，当时，，错误，符合题意； D：当时，总刹车距离，正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式成立．再把B点坐标代入可得m的值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故选：B． 6．正比例函数的函数值随的增大而增大，则直线经过象限为（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】此题考查了正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据正比例函数的增减性，可得，则，据此判断直线经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限． 故选：B． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数与正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三象限， 由得：， ∴一次函数的图象不经过原点，故A、D选项错误，不符合题意； 对于B选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相符合，故B选项符合题意； 对于C选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相矛盾，故C选项不符合题意； 故选：B 8．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．图象必经过第一、二、三象限 C．当时， D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质并熟练运用． 根据一次函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当时，图象与y轴的交点在x轴的上方，当时，图象与y轴的交点在x轴的下方，并对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．直线在轴上的截距为1，该选项错误，不符合题意； B．函数中，，，此函数图象经过第一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C．当时，，解得，该选项正确，符合题意； D．函数中，，随增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选C． 9．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴，， 解得， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得， 解得， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 10．如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴和y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键． 设轴于点；轴于点；于点，然后求出、各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 【详解】解：如图，设轴于点；轴于点；于点，    由题意可得： 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ∴， ， ∴图中阴影部分的面积和等于， 故选：A． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果生产某种产品的成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示，那么生产6吨这种产品所需的成本是 万元． 【答案】11 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意，确定函数关系式是解题关键． 设成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系式为，利用待定系数法确定函数关系式，然后代入求解即可． 【详解】解：由图可知，y与x成一次函数关系， 设成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系式为， 将点代入得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴生产6吨这种产品所需的成本是11万元． 故答案为：11． 12．一次函数与的图象如图，则当自变量的范围为 时，有． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特征是解题关键．表示的是一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：表示的是一次函数的图象位于一次函数的图象的下方， 则由函数图象可知，当时，有， 故答案为：． 13．将直线向上平移3个单位长度后，所得直线经过点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移规律：上加下减，左加右减．先求出平移后的直线解析式，再将点代入计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后，所得直线解析式为， 所得直线经过点， ， 解得：， 故答案为：． 14．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可． 【详解】解：， 所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为． 故答案为：． 15．正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的规律题，理解图示，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据点和点分别在直线和x轴上，分别求出点的坐标，并结合图形特点，找横纵坐标的规律，即可求解． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴当时，， ∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， 当时，， ∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， 当时，， ∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， …… ∴的横坐标是，的纵坐标是 ∴点的坐标是，即． 16．如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度 ；的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． 按照几个关键位置，如点，点，并结合函数图象，可得的值及的值，再根据长方形的对边相等，可得的值，最后按照三角形的面积公式计算，得出的面积． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止， 而当点运动到点，之间时，的面积不变， 而由图象可知，时，开始不变，说明， 时，接着变化，说明， 的面积为： 故答案为：；． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知一次函数的图象过点． (1)求的值； (2)试说明两点是否在函数图象上． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入一次函数解析式进行求解即可； （2）由（1）可知一次函数解析式为，然后分别令和1进行求解即可 【详解】（1）解：∵一次函数图象过点． ∴， 解得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为， ∴当时，；当时，． ∴点在函数图象上，点不在函数图象上． 18．（8分）某产品试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． (1)求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； (2)当每件产品的销售价定为35元时，此时产品的日销售量是多少？ 【答案】(1) (2)5件 【分析】本题考查了求一次函数的解析式以及一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据题意用待定系数法即可得解； （2）把代入（1）中的解析式，得到销量. 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 则， 解得，， 即一次函数表达式为． （2）解：把，代入得：， 答：当每件产品的销售价定为35元时，此时产品的日销售量是5件． 19．（8分）某校在世界环境日举行“美丽中国，我是行动者”全民抗疫主题教育活动．为表彰在本次活动中表现优秀的学生，学校决定购买两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需元；若购买种奖品2件和种奖品3件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买、两种奖品共件，购买总费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，设购买种奖品件，购买总费用为元，写出（元）与（件）之间的函数关系式，并确定最少费用的值． 【答案】(1)奖品的单价是元， 奖品的单价是元； (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定确定最少费用的值； 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 20．（8分）某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： (1)当时，y与x的函数解析式 (2)当时，y与x的函数解析式； (3)若某居民该月用水吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 【答案】(1)； (2) (3)居民该月用水吨，应交水费元；若该月交水费9元，则用水吨． 【分析】考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的易错点． （1）设出正比例函数，把代入计算即可； （2）设出一次函数，把，代入计算即可； （3）分别代入相应的函数，计算即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴； （2）设函数解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴； （3）当时，元； 当时，， 解得． 答：居民该月用水吨，应交水费元；若该月交水费9元，则用水吨． 21．（10分）小张根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 0 k 2 … (1)表中的______； (2)在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______； (3)已知直线与函数的图象相交，则当时，的取值范围是______； 【答案】(1) (2)见解析，函数的最小值为 (3)或 【分析】本题考查函数图象与性质，熟练掌握描点法作函数图象，数形结合是解决问题的关键． （1）把代入，得，即可得到答案； （2）利用描点法画出函数图象，由图象即可得到答案； （3）在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，由图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 故答案为：； （2）解：该函数的图象如图所示： 由图象可知，函数的最小值为， 故答案为：函数的最小值为； （3）解：在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 22．（10分）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 23．（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，同时一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)求出点C的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【答案】(1)80；120 (2) (3)当或时，两车之间的距离为 【分析】本题考查一次函数图象的应用，理解题意、从图象中获得必要的数学信息是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地相距，慢车从乙地匀速驶往甲地用了，可求慢车速度，结合出发后，两车相遇，可列方程求得快车速度； （2）点C表示快车刚到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点C的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点C的纵坐标，从而得解； （3）分相遇前相距和相遇后相距两种情况求解即可． 【详解】（1）由图知，甲乙两地相距，慢车从乙地匀速驶往甲地用了， 所以慢车的速度等于， 由图知，出发后，两车相遇，设快车的速度为， 则， 解得， 所以快车的速度为， 故答案为：80，120． （2）由图知，点B表示两车途中相遇，从B到C两车相距越来越远，点C表示快车刚到达乙地， ，． 点C的坐标为． （3）两车相遇前，由， 解得， 两车相遇后，由于点C的坐标为， ， ． 当或时，两车之间的距离为． 24．（10分）【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，则的面积为___________； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为；②点的坐标为或或 【分析】题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． （1）根据得到，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点作轴于．先求出点、点的坐标，再证明，得到，即可求出点的坐标． ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造一线三等角模型求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∴ ； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图2，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即； 当时，则 解得 点的坐标为，即． ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为． 情况1．如图3，当，时， 过点作轴，过点作轴，过点做轴，则，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ， ， 解得， 此时点的坐标为； 情况2．如图4，当时，过点作轴于点，过点作轴于点，则，则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ， ， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当时，过点作轴于点，过点作于点，则，则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ， ， 解得， 此时点的坐标为， 综上所述，满足题意的点的坐标为或或． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $