6.3平面向量线性运算的应用（题型专练）数学人教B版必修第二册

6.3平面向量线性运算的应用 题型一 平行与点共线问题 1．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】解法1应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出即可求解；解法2应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解. 【详解】解法1：根据题意可知，所以， 故 ，所以， 所以． 解法2：因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，所以． 故选：A． 2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    【答案】证明见解析 【分析】结合角平分线的向量表示和定比分点公式可证． 【详解】设， 根据定比分点公式有， 而利用单位向量和共线定理，可得， 所以， 可得，， 两式相除可得． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 题型二 线段长度问题 1．（2020高三·全国·专题练习）在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】根据B，D，C三点共线，得，从而可得，再过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，得，由四边形AMDN是菱形， 可得答案. 【详解】因为B，D，C三点共线，所以，解得，即 ， 所以，所以， 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则， 因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形， 因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝. 故答案为：.    2．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 【答案】 【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得的长. 【详解】根据题意，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得，，，，， 则所在的直线方程为，即； 所在的直线方程为，即； 联立所在的直线方程与所在的直线方程得，解得， 由中点坐标公式得，即. 由两点之间得距离公式得， 故答案为：. 3．（19-20高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得. 【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是， 所以. 题型三 图形面积问题 1．（18-19高三下·河北衡水·阶段练习）已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】画出,通过,标出满足题意的 位置,利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解:由题意可知,为的中点, ,可知为的一个三等分点,如图： 因为. 所以. 故选:B. 2．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    3．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知所在平面内点，且满足，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作出图像，求出两个三角形的高之比，即可求解. 【详解】    令，，根据向量的加法的平行四边形法则， 作出如图所示平行四边形，作于，于， 由，所以，为的高，等于的高， 所以. 故选：D 题型四 图形的特征问题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 2．（17-18高一·全国·课后作业）若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 【答案】C 【解析】由题意可知，且，而对角线，由此可知四边形为等腰梯形． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 故选：C． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 题型五 力的合成与分解 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，再根据向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】依题意，所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 【答案】答案见解析 【分析】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为，，，根据向量的加法求出，再研究是否为零向量即可得解. 【详解】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为， ，，如图所示，    若，则， 且，， 所以只要，， 即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止； 若，则与不在一条直线上，则小球不能静止. 题型六 速度、位移的合成问题 1．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【分析】根据速度的合成判断船速的方向与河岸垂直、船垂直到达对岸对应用时、航行距离情况，即可得. 【详解】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC 3．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【答案】 【分析】画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可. 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 【答案】 8 【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h. 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 故答案为： ；8. 5．（19-20高一下·全国·课后作业）轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了到达B处,再由B处沿正北方向行驶达到C处,求此时轮船相对于A港的位置. 【答案】距A港的C处 【解析】根据向量的坐标运算,结合三角形中的边长关系求解即可. 【详解】如图所示,,分别表示轮船的两次位移,则表示轮船的总位移,即,延长,与过A且垂直于的直线交于点D. 在中,,,,所以,. ,所以,又因为,所以. 因为,所以,所以轮船此时位于A港北偏东30°,且距A港的C处. 题型一 模的最值范围问题 1．（2018高三上·全国·专题练习）已知向量满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，满足题意，此时， 可知，，则，当且仅当时等号成立. 综上可得，的取值范围是. 本题选择B选项. 2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 3．（2018高三·全国·专题练习）在平面上，，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得的取值范围，也即求得的取值范围. 【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得 则 又由，得，则，即①. 又，得，则； 同理由，得，即有②. 由①②知，所以. 而，所以. 故选：D 4．（24-25高一上·北京·期末）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 题型二 参数的最值、范围问题 1．（22-23高一下·安徽·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 3．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 题型三 求某些函数的最值（值域） 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值． 【答案】当时，函数取得最小值为． 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的和的最大值问题，然后利用向量模的性质求解. 【详解】解：由题意得， 可设向量，，则， 故有，当且仅当、同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最小值为． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，函数取得最大值为． 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的差的最大值问题，然后利用向量模的性质求解即可. 【详解】， 可设向量，，则， 所以，当且仅当与同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最大值为． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的值域. 【答案】 【分析】设，，，则进行求解即可． 【详解】解：由题意，. 设，，， 则，. ∴. 显然，P、A、B三点能构成一个三角形，由三角形三边的关系（任意两边之差小于第三边）知. 又∵， ∴，即， 故函数的值域为. 1．（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设出边长，得到点的坐标，列出方程组，求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 过点作⊥轴于点O，则， 由勾股定理得：， 则，故， 又， 所以设， 即，解得：， 故选：C 2．（19-20高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ；此时 . 【答案】 【解析】以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设,,则，，即，所以，当,符合题意,即可解得所求. 【详解】如图所示，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，， 设，则，， 所以，所以， 此时，即，的最小值为5. 故答案为:;. 3．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出线段方程，由在线段上可得，利用二次函数值域计算即可得出结果. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 5．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）以为基底表示出，再利用求解即可； （2）由（1）得出和，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）依题意可得， 又，， 所以，解得． （2）由（1）可得，则，即． 因为，即， 所以，即，所以， 所以． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【详解】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 7．（20-21高一下·云南昆明·期中）若分别是平面四边形的边的中点. （1）求的值； （2）证明：四边形为平行四边形. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题知，，进而得，故； （2）结合向量共线证明线段平行且相等即可证明. 【详解】解：（1）因为是边的中点， 所以，， 又因为，， 所以， 所以 （2）连接， 因为分别是平面四边形的边的中点， 所以在和中， 由中位线定理得：，， 所以， 因为不共线， 所以， 所以四边形为平行四边形 8．（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）已知点，，及. (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出，利用点P在第一象限，列不等式求得的取值范围； （2）利用四边形是平行四边形时，只需要，列方程求出的值，即可判断四边形能否为平行四边形. 【详解】（1）， 由题意得，解得：，即的取值范围为. （2）若四边形是平行四边形，只需要，即， 由（1）知，，而， ，方程组无解，故四边形不能成为平行四边形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3平面向量线性运算的应用 题型一 平行与点共线问题 1．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    4．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 题型二 线段长度问题 1．（2020高三·全国·专题练习）在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且，则AD的长为 ． 2．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 3．（19-20高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 题型三 图形面积问题 1．（18-19高三下·河北衡水·阶段练习）已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知所在平面内点，且满足，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四 图形的特征问题 1．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（17-18高一·全国·课后作业）若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 题型五 力的合成与分解 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则 . 4．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 题型六 速度、位移的合成问题 1．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 2．（多选）（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 3．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 5．（19-20高一下·全国·课后作业）轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了到达B处,再由B处沿正北方向行驶达到C处,求此时轮船相对于A港的位置. 题型一 模的最值范围问题 1．（2018高三上·全国·专题练习）已知向量满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 3．（2018高三·全国·专题练习）在平面上，，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期末）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 题型二 参数的最值、范围问题 1．（22-23高一下·安徽·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 题型三 求某些函数的最值（值域） 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的值域. 1．（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ；此时 . 3．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 4．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 5．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 7．（20-21高一下·云南昆明·期中）若分别是平面四边形的边的中点. （1）求的值； （2）证明：四边形为平行四边形. 8．（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）已知点，，及. (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $