6.3平面向量线性运算的应用同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.3平面向量线性运算的应用 1.在四边形ABCD中，=a十2b,=-4a-b,=-Sa-3b,则四边形ABCD的 形状是() A.长方形B.平行四边形 C.菱形D.梯形 2.已知两个力F,F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N,合力与F的夹角为60°， 那么F的大小为() A.53N B.5N C.10ND.52N 3.已知三个力F=(一2，一1)，F2=(-3,2),F=(4,一3)同时作用于某物体上的一 点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4,则F4等于() A.(-1,-2)B.(1,-2) C.(-1,2)D.(1,2) 4.一航船用5kh的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30 °角，求水流速度与船的实际速度。 5.在△4BC中，已知=23，一=23用平面向量证明：AMN∥BC且MN=23BC 6.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点 E,M为CE的中点，用向量的方法证明： (I)DE∥BC; (2)D,M,B三点共线 D 7.若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是() A.++ B.++ C.“++ D.3+ 8.(多选)在水流速度为43kmh的河水中，一艘船以I2kmh的实际航行速度垂直于对 岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中正确的是() A.这艘船航行速度的大小为123kmh B.这艘船航行速度的大小为83kmh C.这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150 D. 这瘦船航行的方向与水流方向的夹角为120 9.已知△ABC满足AB一)AB→)-AC一)AC→)=k(其中k是非零常数).则△ABC的形 状一定是() A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 10.(多选)点P是△4BC所在平面内一点，满足--+-2=0，则△4BC 的形状不可能是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 11.已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°，若点M在线段AC 上，则十的取值范围为 12,如图所示，已知△ABC中，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，AF与CE相交 于点O (1)求AO:OF与CO:OE的值： (2)证明AF,BD,CE交于一点O B 核心素养升级练 进阶训练第三层 13.四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E,F分别在边BC, DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF 14.如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分 别交AB,AC于M,N两点，若=x,=y,试问：x十1y是否为定值？ 参考答案与解析 1,答案：D 解析：=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,∴.=++=a+2b-4a b-5a-3b=2(-4a-b)=2,AD∥BC,且AD≠BC,∴.四边形ABCD为梯形. 2.答案：B 解析：设合力为F,由题意可知，Fl=Fcos60°=5N. 3.答案：D 解析：F4=-(F+F2十F3)=-[(-2,一1)+(-3,2)+(4，-3]=(1,2) 4.解析：如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速 度，∠AOC=30°，1|=5kmh 0 ,四边形OACB为矩形，||=AC→)tan30°=OB一)tan30°=53kmh =OB→)sin30°=10kmh .水流速度为53kmh,船实际速度为10kmh. 5.证明：=23，“=23，=-“=23-23=23-)=25 MN∥BC,且MN=23BC 6.证明：以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标 系，如图， E(O)B 令1=1，则1=1,1=2 CE⊥AB,AD=DC, .四边形AECD为正方形， .各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0) 0):=(-1,)-(0,0)=(-1,1). =(0,1)-(1,0)=(-1,1) DE//BC. (2)M为EC的中点，M(0,12), =(-1,10-0,12)=(-1,12), =(1,0)-(0,12)=(1,-12) =-, 又与有公共点M,D,M,B三点共线. 7.答案：C 解析：A中，一++=2，与不共线： B中，++=，与不共线： c中，一+“+=0，与共线： D中，=23=23X12(+) 3+=+2,与不共线 8.答案：BD 解析：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边， 一为一对角线作。ABCD,则就是船的航行速度。 :11=43,||=12,.1=||=83,tan∠ACB=3)12=33,.∠CAD=∠ACB=30°， ∠B4D=120°.即这艘船航行速度的大小为83kmh,方向与水流方向的夹角为120° 9,答案：C 解析：如图，取=AB→)AB→)，=4C一)AC→)， ==1 又：AB→)AB→)-AC→)AC→)=k ∴.=k,EF∥BC, ∴AEAB=AFAC, ∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. 10.答案：AD 解析：：P是△4BC所在平面内一点，--广+一-2=0， -(-)+(-=0 即+ -=+， 由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC为矩形， :⊥，÷∠A=90,则△4BC一定是直角三角形. 11.答案： 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A0,0),B2,0),C1,2),D0,2),设=元(0≤1≤1)， 则M(1,2), 故=(-1,2-20，=(2-元，-20. 则+=(2-2元，2-40， 广+=2-2)2+2-4)2 =345, 当=0时，1+取得最大值为22，当1=35时，1十1取得最小值为5)5， +∈ 12.解析：0)因为-+=一+ 又因为E,F都是中点，所以 一+=+=2+2=2 男外，一=+，所以+=2+2 设=5，=1， 则有s-t=2+2,即 (6-2)=(1-2) 从而由共线向量基本定理可知s==2, 因此AO:OF=CO:OE=2:1. (②)证明：要证明AF,BD,CE交于一点O,只需证明B,O,D三点共线即可. 由(1)可知，=12十， =+=+13=-13 =12-1312+)=15(+). 又=12+. ∥， 又与有公共点B, B,O,D三点共线， 故AF,BD,CE交于一点O 13.证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP=(0<1<2), 则A(0,1),P(2)21,2)2),E(1,22月，F(221,0), .=(-221,1-220,=(221-1,-220, =r(2r(22=2-r2A+1, =r(2r(22=2-2i+1, =P4=EF 14.解析：设=4，=b, 则=xa,=h, =12=14+)=14a十b) 所以=-一=14a十b-a =(14-x)a+14b. 一=_一=b-a=-xa十b 因为与共线，且a,b不共线， 所以有(14一xy=14(一x), 即14红十14y=y, 得1x+1y=4, 所以1x十1y为定值，