专题5.4 一次函数的应用（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题5.4一次函数的应用 教学目标 1.能从实际问题情境中识别出一次函数关系，掌握根据实际条件确定一次函数解析式（如通过两点式、待定系数法）的方法，明确自变量的取值范围（结合实际意义）。 2.会运用一次函数的性质（增减性、图象特征）及解析式，解决实际问题中的求值、比较、最值（如成本最低、利润最高、路程最短等）、方案选择等问题。 3.能结合一次函数图象分析实际问题中的数量关系，读懂图象所蕴含的信息（如横纵坐标含义、交点意义、增减趋势对应的实际场景），实现 “数” 与 “形” 的结合应用 教学重难点 1.重点 （1）从实际问题中抽象出一次函数关系，利用待定系数法或实际数量关系确定一次函数解析式（含自变量取值范围的确定）。 （2）运用一次函数的性质（增减性）、解析式或图象，解决实际问题中的核心问题（如求值计算、最值求解、不同方案的比较与选择）。 （3）理解一次函数图象与实际问题情境的对应关系，能通过图象提取有效信息并解决问题 2.难点 （1）从复杂的实际情境（如含多个变量、隐含限制条件的问题）中准确提取关键数量关系，将实际问题转化为一次函数模型（突破 “实际情境→数学关系” 的转化障碍）。 （2）结合实际问题的背景意义，合理确定自变量的取值范围，并根据取值范围分析函数的实际意义（如最值是否在取值范围内，解的合理性判断）。 （3）面对方案优化类问题（如多种收费方式、多种生产方案等），能通过建立多个一次函数模型，对比分析函数性质或图象，选择最优方案，清晰阐述决策依据。 知识点01 一次函数与行程问题 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 【即学即练】 1.甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至 B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）、（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． (1)A、B 两城相距 千米，乙车比甲车早到 小时； (2)分别求出甲乙两车离开A 城的距离和关于t的函数关系式； (3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距40千米时，求出乙车行驶的时间． 知识点02 一次函数与销售利润问题 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 【即学即练】 1．某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 题型01 一次函数与行程问题 【典例1】甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题： (1) ，甲车的速度是 ； (2)求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； (3)请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10． 【变式1】已知两地之间有一条千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时）之间的函数关系如图所示． (1)乙车的速度为 千米/小时， ， (2)求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式． (3)当甲车到达距地千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 【变式2】某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题． (1)机动车行驶________小时后加油，中途加油________升； (2)设汽车出发后的总耗油量为（升），写出与的函数解析式；（不必写出自变量t的取值范围）并判断函数类型； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【变式3】一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求出与x之间的函数表达式； (2)当两车相遇时，求客车行驶的时间； (3)两车相距时，求客车行驶的时间． 题型02 一次函数与销售问题 【典例2】2024年春节，重庆铜梁龙舞火爆全网，磁器口古镇成为山城文化打卡地．游客徐小客来渝游玩，计划购买甲、乙两种纪念品作为伴手礼馈赠亲友，已知3件甲种纪念品和2件乙种纪念品共需80元，2件甲种纪念品和3件乙种纪念品共需70元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)根据徐小客的亲友圈子，他需购买甲、乙两种纪念品共50件，乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的2倍，设购买两种纪念品总费用（w元），甲种纪念品t（件），请问如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式1】某服装店经销，两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名           进价元件           售价元件           (1)第一次进货时，服装店用元购进、两种恤衫共件，购进、两种恤衫各多少件？全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了元，种恤衫进价每件上涨了元，但两种恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种恤衫共件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的倍．设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次进货最多获利多少钱？ 【变式2】某桃厂组织20辆汽车装运完三种黄桃共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种黄桃且必须装满，根据下表的信息，解答下列问题． 黄桃品种 C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨黄桃获利（元） 1200 1600 1000 (1)设装运种黄桃的车辆数为，装运种黄桃的车辆数为，求与的函数表达式； (2)已知装运每种黄桃的车辆数都不少于6辆． （i）车辆的安排方案有几种？请说明理由； （ii）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【变式3】为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 题型03 一次函数的新情景应用 【典例3】数学项目化学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.8米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；是关于的一次函数吗？______．（填“是”或“不是”） (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【变式1】图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．小浩和小辰通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，且与成一次函数关系，下表给出了其中的部分数据： （cm） … 13 … （cm） … … (1)求与之间的关系式； (2)当凳面一端两个榫眼的内侧距离为时，求该板凳的凳面宽度． 【变式2】【主题】利用“浮力秤”测量物体浸入水的深度． 【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如下： 【实验数据】 物体质量/kg 0 浸入水中深度/m 【问题解决】设放进杯中的物体质量为，杯子浸入水中的深度为． (1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象； (2)求放入杯中物体质量在范围内时，杯子浸入水中的深度y与放入物体质量x之间的函数表达式； (3)若量杯的高度为，此“浮力秤”可以称质量为的物体吗? 【变式3】综合与实践 【实验操作】 为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组设计如下两组实验： 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间t（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）是一次函数关系，数据记录如表． 已行驶里程s（千米） 0 100 200 300 电量 100 75 50 25 【建立模型】 （1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）之间的函数关系式； 【解决问题】 （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶100千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 题型04 求直线围成的图象面积 【典例4】如图，直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标． 【变式1】如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【变式2】如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．另有一次函数的图象过点，与交于点D． (1)求点A、B、D的坐标． (2)若点E在的图象上，且点E的纵坐标为1，求四边形的面积． 题型05 一次函数与几何综合 【典例5】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，点，点M是线段上的任意一点，过点M作直线轴，直线l交直线于点P，交直线于点Q． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积； (3)连接，若，求点Q的坐标． 【变式1】如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点． (1)求点的坐标． (2)求折痕所在直线的函数表达式． (3)在坐标轴上是否存在一点P，使的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 【变式3】已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)在轴上存在一点，且的面积为3，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出结果；如果不存在，请说明理由． 一、单选题 1．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（    ） … 1 2 3 … … … A． B． C． D． 4．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 二、填空题 5．电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克． 6．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 7．如图，在空中，自地面算起，每升高千米，气温下降若干度（），某地空中气温（）与高度（千米）间的函数的图象如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（）    三、解答题 8．如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是关于的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 5 8 10 （斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．观察判断_____是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 9．一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比（在弹簧的弹性限度内），如果挂上的物体后，弹簧的总长为；如果挂上的物体后，弹簧的总长为． (1)求弹簧总长（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：kg）的函数解析式； (2)求弹簧不挂重物时的长度． 10．据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)填空：无人机上升时的速度是________，________； (2)求段的函数表达式； (3)无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 11．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题：    碗的数量（个） 高度 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式； (2)当碗的数量为个时，这摞碗的高度是多少？ 12．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 13．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 14．某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表： 商品类别 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 a 78 乙种商品 b 乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： 已知该超市购进甲种商品5千克和乙种商品10千克共需1100元；购进甲种商品20千克和乙种商品10千克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300千克，其中乙种商品购进x千克，乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克． (1)求a，b的值； (2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300千克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量． 15．新宁县某豆制品公司欲将n件产品从武冈运往A、B、C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地运费如图所示，设安排x件产品运往A地． (1)当时， ①根据信息填表： A地 B地 C地 合计 产品件数（件） x 2x 运费（元） 30x ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ (2)若总运费为5000元，求n的最小值． 16．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积； (3)点C在线段上，沿将翻折，O点恰好落在上的D点处，求直线的表达式． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点的面积为；直线与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，求点的坐标． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4一次函数的应用 教学目标 1.能从实际问题情境中识别出一次函数关系，掌握根据实际条件确定一次函数解析式（如通过两点式、待定系数法）的方法，明确自变量的取值范围（结合实际意义）。 2.会运用一次函数的性质（增减性、图象特征）及解析式，解决实际问题中的求值、比较、最值（如成本最低、利润最高、路程最短等）、方案选择等问题。 3.能结合一次函数图象分析实际问题中的数量关系，读懂图象所蕴含的信息（如横纵坐标含义、交点意义、增减趋势对应的实际场景），实现 “数” 与 “形” 的结合应用 教学重难点 1.重点 （1）从实际问题中抽象出一次函数关系，利用待定系数法或实际数量关系确定一次函数解析式（含自变量取值范围的确定）。 （2）运用一次函数的性质（增减性）、解析式或图象，解决实际问题中的核心问题（如求值计算、最值求解、不同方案的比较与选择）。 （3）理解一次函数图象与实际问题情境的对应关系，能通过图象提取有效信息并解决问题 2.难点 （1）从复杂的实际情境（如含多个变量、隐含限制条件的问题）中准确提取关键数量关系，将实际问题转化为一次函数模型（突破 “实际情境→数学关系” 的转化障碍）。 （2）结合实际问题的背景意义，合理确定自变量的取值范围，并根据取值范围分析函数的实际意义（如最值是否在取值范围内，解的合理性判断）。 （3）面对方案优化类问题（如多种收费方式、多种生产方案等），能通过建立多个一次函数模型，对比分析函数性质或图象，选择最优方案，清晰阐述决策依据。 知识点01 一次函数与行程问题 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 【即学即练】 1.甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至 B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）、（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． (1)A、B 两城相距 千米，乙车比甲车早到 小时； (2)分别求出甲乙两车离开A 城的距离和关于t的函数关系式； (3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距40千米时，求出乙车行驶的时间． 【答案】(1)300，1； (2)， (3)或． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键． （1）根据图象作答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据甲乙两车的位置分两种情况求解，结合（1）所得关系式，先求出甲车行驶的时间，再求出乙车行驶的时间即可． 【详解】（1）解：由图象可知，A、B 两城相距千米，乙车比甲车早到小时， 故答案为300，1； （2）解：设， 将点代入得：， 解得， 则； 设， 将点和代入得：， 解得， 则； （3）解：当甲车在前，且相距40千米时， 则， 解得， 此时乙车行驶的时间为； 当乙车在前，且相距40千米时， 则， 解得； 此时乙车行驶的时间为； 综上可知，当甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为或． 知识点02 一次函数与销售利润问题 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 【即学即练】 1．某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． (1)求甲、乙两种鲜花的进价； (2)根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束 (2)当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束，根据“进货10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；进货10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种鲜花m 束，则购进乙种鲜花束，根据购进甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束； （2）解：设购进甲种鲜花m束，则购进乙种鲜花束， 根据题意得：， 解得：． 设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，则， ∴． 当，即时，w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束； 当，即时，， ∴当时，销售利润为定值； 当，及时，w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束． 答：当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束． 题型01 一次函数与行程问题 【典例1】甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题： (1) ，甲车的速度是 ； (2)求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； (3)请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10． 【答案】(1)；80 (2) (3)甲车出发小时或小时或小时或小时，相距10千米 【分析】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，运用分类讨论思想解决问题． （1）由乙出现故障耗时10分钟易得；甲从佳市到哈市共用了小时，利用速度公式计算甲的速度即可； （2）求出A的坐标，用待定系数法可得甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）分四种情况：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米；乙车出发后，在甲车后面10千米；乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米处；乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，分别解得即可． 【详解】（1）解：， 甲车速度：， 故答案为：，80； （2）解：甲车先出发15分钟，乙出发时，甲距佳市（千米）， ， 设函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 函数表达式为； （3）解：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米； 设乙车开始的速度为，， 解得， 乙车出发后，在甲车后面10千米，设此时甲车已经出发m小时， 则， 解得； 乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米时， 设此时甲车已经出发n小时， ， 解得； 乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，设此时甲车已经出发p小时， ， 解得， 综上所述，甲车出发小时或小时或小时或小时，相距10千米． 【变式1】已知两地之间有一条千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时）之间的函数关系如图所示． (1)乙车的速度为 千米/小时， ， (2)求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式． (3)当甲车到达距地千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 【答案】(1)75，3.6 (2) (3)千米 【分析】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际，此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间路程． （）根据图象可知两车小时后相遇，根据路程和为千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定的值； （）相遇后，分两个阶段：乙车到达地前和乙车到达地后，甲车从地到地所用时间为小时，分别设函数关系式为，利用图象上的点坐标代入求解； （）求出甲车到达距地千米处时行驶的时间，代入（）的结论解答即可； 【详解】（1）解：（千米/小时）， （千米/小时）， 乙车从到地所用时间小时； 故答案为：； （2）（千米）； 当：时，设， 根据题意得：， 解得， ∴， 当：时，设同理可得， 综上，， （3）甲车到达距地千米处时行驶的时间为：(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：(千米)， 答：当甲车到达距地千米处时，求甲、乙两车之间的路程为千米． 【变式2】某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题． (1)机动车行驶________小时后加油，中途加油________升； (2)设汽车出发后的总耗油量为（升），写出与的函数解析式；（不必写出自变量t的取值范围）并判断函数类型； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)， (2)；正比例函数 (3)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）观察函数图象，图象上时，对应着两个点，油量一多一少，可知此时加油了，作差即可计算出中途加油量； （2）根据每小时耗油量总耗油量行驶时间，可求出机动车每小时的耗油量，再根据总耗油量每小时耗油量行驶时间，即可得到函数解析式，进而可判断函数类型； （3）根据可行驶时间油箱剩余油量每小时耗油量，即可求出续航时间，由路程速度时间，即可求出续航路程，将其与千米比较大小后即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象可知，机动车行驶小时后，在途中加油站，加油（升）．   故答案为：，； （2）解：行驶小时后共用去（升）， 每小时耗油量为（升）， ，函数类型为正比例函数； （3）解：由题意知，加油后可行驶（小时）， 可行驶路程为（千米）， ， 油箱中的油够用． 【变式3】一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求出与x之间的函数表达式； (2)当两车相遇时，求客车行驶的时间； (3)两车相距时，求客车行驶的时间． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意可知，，然后解方程即可得出答案； （3）分2种情况进行讨论，或分别解方程即可． 【详解】（1）解：（1）设，代入 得到：， 解得：， ∴， 设，代入，， 那么有，，解得 ∴； （2）解：两车相遇时，，那么有 解得： 故客车行驶的时间为； （3）解：两车相距时，那么有 或 解得或 故客车行驶的时间为或． 题型02 一次函数与销售问题 【典例2】2024年春节，重庆铜梁龙舞火爆全网，磁器口古镇成为山城文化打卡地．游客徐小客来渝游玩，计划购买甲、乙两种纪念品作为伴手礼馈赠亲友，已知3件甲种纪念品和2件乙种纪念品共需80元，2件甲种纪念品和3件乙种纪念品共需70元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)根据徐小客的亲友圈子，他需购买甲、乙两种纪念品共50件，乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的2倍，设购买两种纪念品总费用（w元），甲种纪念品t（件），请问如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为20元，10元 (2)购买甲、乙两种纪念品分别为17件，33件时能使总费用最少，最少费用为670元 【分析】本题考查了二元一次方程组，不等式，一次函数的应用； （1）设甲种纪念品的单价为元，乙种纪念品的单价为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，问题得解； （2）根据总费用等于甲乙两种纪念品费用之和得到与的函数关系式，化简即可；根据乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的倍，得到的取值范围，结合一次函数的性质和为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价为a元，乙种纪念品的单价为b元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种纪念品的单价为20元，乙种纪念品的单价为10元； （2）解：依题意，得 ， 由题意得 ， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∵是整数， ∴当时， （元），（件）， ∴当购买甲种纪念品17件，乙种纪念品33件时，所需费用最少，最少费用为670元． 【变式1】某服装店经销，两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名           进价元件           售价元件           (1)第一次进货时，服装店用元购进、两种恤衫共件，购进、两种恤衫各多少件？全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了元，种恤衫进价每件上涨了元，但两种恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种恤衫共件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的倍．设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次进货最多获利多少钱？ 【答案】(1)购进种恤衫件，购进种恤衫件，全部售完获利元 (2)；②服装店第二次进货最多获利元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的实际应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进种恤衫件，购进种恤衫件，根据服装店用元购进A，B两种T恤衫共件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数； （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍求出m的范围，再分别求出两种T恤衫的利润，求和即可求出W∶ ②由①可知，，W随m的增大而减小，当时，W取最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设购进种恤衫件，购进种恤衫件， 根据题意列出方程组为： 解得， 购进种恤衫件，购进种恤衫件， 全部售完获利 (元) 答：购进种恤衫件，购进种恤衫件，全部售完获利元； （2）解：设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件， 根据题意 解得， 由可知， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值， 元， 答：服装店第二次进货最多获利元． 【变式2】某桃厂组织20辆汽车装运完三种黄桃共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种黄桃且必须装满，根据下表的信息，解答下列问题． 黄桃品种 C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨黄桃获利（元） 1200 1600 1000 (1)设装运种黄桃的车辆数为，装运种黄桃的车辆数为，求与的函数表达式； (2)已知装运每种黄桃的车辆数都不少于6辆． （i）车辆的安排方案有几种？请说明理由； （ii）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】(1)（且为整数） (2)（i）安排方案共有2种，见解析；（ii）当装运种黄桃6车，种黄桃8车，种黄桃6车时，获利最大，最大利润为131200元 【分析】本题考查二元一次方程，一次函数的应用，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程，整理成，即可解答； （2）（i）根据题意，列出一元一次不等式组，解得，再由x为整数，得到x的值为6，7，分类求解即可； （ii）设利润为元，根据题意，列出一次函数，再由，得到w的值随的增大而减小，则要使利润最大，则，选方案一计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，装运种黄桃的车辆数为，装运种黄桃的车辆数为，则装运种黄桃的车辆数为，根据题意，得 ． 整理，得 （且为整数）． （2）（i）由（1）知，装运、、三种黄桃的车辆数分别为． 根据题意，得 解得 ． 又为整数， 的值为6，7，故安排方案共有2种： 方案一：装运种黄桃6车，种黄桃8车，种黄桃6车． 方案二：装运种黄桃7车，种黄桃6车，种黄桃7车． （ii）设利润为元． 根据题意，得． ， 的值随的增大而减小． 要使利润最大，则． 故选方案一，． 答：当装运种黄桃6车，种黄桃8车，种黄桃6车时，获利最大，最大利润为131200元． 【变式3】为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【答案】(1)甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2)共3种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组：， 解得， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； （2）解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； （3）解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 题型03 一次函数的新情景应用 【典例3】数学项目化学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.8米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是______；是关于的一次函数吗？______．（填“是”或“不是”） (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)；是 (2)最多可以运输18辆购物车 (3)共有4种运输方案：①扶手电梯运2次，直立电梯运3次；②扶手电梯运3次，直立电梯运2次；③扶手电梯运4次，直立电梯运1次；④扶手电梯运5次，直立电梯运0次 【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． （1）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （2）把代入解析式，求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输次，根据题意，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：车身总长L与购物车辆数n的表达式为， 是关于n的一次函数， 故答案为：；是； （2）当时，， 解得：，（辆）， 答：最多可以运输18辆购物车； （3）有3种，设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输次， 由（2）得：一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，3，4，5， ∴共有4种运输方案： ①扶手电梯运2次，直立电梯运3次； ②扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ③扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ④扶手电梯运5次，直立电梯运0次． 【变式1】图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．小浩和小辰通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，且与成一次函数关系，下表给出了其中的部分数据： （cm） … 13 … （cm） … … (1)求与之间的关系式； (2)当凳面一端两个榫眼的内侧距离为时，求该板凳的凳面宽度． 【答案】(1)； (2)该板凳的凳面宽度为． 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）先判断x与y之间的函数类型，再利用待定系数法求其函数关系式； （2）将代入，求出的值即可． 【详解】（1）解：设x与y之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与y之间的函数关系式为； （2）解：将代入， 得， 解得， 答：该板凳的凳面宽度为． 【变式2】【主题】利用“浮力秤”测量物体浸入水的深度． 【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如下： 【实验数据】 物体质量/kg 0 浸入水中深度/m 【问题解决】设放进杯中的物体质量为，杯子浸入水中的深度为． (1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象； (2)求放入杯中物体质量在范围内时，杯子浸入水中的深度y与放入物体质量x之间的函数表达式； (3)若量杯的高度为，此“浮力秤”可以称质量为的物体吗? 【答案】(1)见解析 (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，描点法画一次函数图象，待定系数法求解函数解析式等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察函数图象可知y与x为一次函数关系，设y关于x的函数表达式为，利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）当时，求出，根据，超过了此浮力称的最大量程，即可做出判断． 【详解】（1）解：描出相应点及画出函数图象如解图所示； （2）观察函数图象可知y与x为一次函数关系， 设y关于x的函数表达式为， 将；代入， ， 解得， 关于x的函数表达式为； （3）当时，， 解得， ，超过了此浮力称的最大量程， 若量杯的高度为，此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 【变式3】综合与实践 【实验操作】 为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组设计如下两组实验： 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间t（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）是一次函数关系，数据记录如表． 已行驶里程s（千米） 0 100 200 300 电量 100 75 50 25 【建立模型】 （1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）之间的函数关系式； 【解决问题】 （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶100千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）；（2）至少要在服务区充电小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出函数解析式即可； （2）假设充电充了小时，通过充完电以后得电量不低于走完300千米路程所需电量列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）之间的函数关系为一次函数， 设， 将，代入得， 解得， ∴仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）之间的函数解析式为； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了（千米），此时剩余电量，走完剩余路程（千米），由表格可得，行驶300千米耗电， 设充电充了小时，电池充电状态下汽车仪表盘显示电量， ∴， 解得， 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时． 题型04 求直线围成的图象面积 【典例4】如图，直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）令可求出A点的坐标，根据可得点B的坐标，利用待定系数法即可得直线的函数表达式； （2）设点，联立直线和直线求出，根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，令，则得，， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为：， 将、分别代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为：； （2）解：点C是直线和的交点， ， 解得， ， ，， . 的面积为：， ， ， 设， ， 或5， 点E的坐标为或. 【变式1】如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 【变式2】如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或． 【分析】本题主要考查了求一次函数的交点坐标，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两条直线的表达式构造方程组，解答即可； （2）先求出点C和点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）连接，首先求出，然后求出，然后根据得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴； （2）解：把代入得，， ∴点C的坐标为， 把代入得，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，如图所示： ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为． 综上可知，或． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．另有一次函数的图象过点，与交于点D． (1)求点A、B、D的坐标． (2)若点E在的图象上，且点E的纵坐标为1，求四边形的面积． 【答案】(1)，，； (2)18 【分析】（1）根据一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，分别令和，求出对应x，y值，即可得到点A、B的坐标，根据一次函数的图象过点，求出，再联立两个方程求解，即可求得交点D的坐标； （2）由点E在的图象上，且点E的纵坐标为1，可得E点坐标，由 ，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B， 令，则；令，则， ，， 一次函数的图象过点， ， ， 一次函数， 联立方程组， ， ； （2）解：点E在的图象上，且点E的纵坐标为1， 令，则， ， 如图， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 题型05 一次函数与几何综合 【典例5】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，点，点M是线段上的任意一点，过点M作直线轴，直线l交直线于点P，交直线于点Q． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积； (3)连接，若，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】对于（1），先求出直线的解析式，进而求出点，再根据待定系数法求出直线的解析式； 对于（2），先设，可表示，即可得，再求出m的值，分两种情况得出答案； 对于（3），作，作轴于K，作，先说明是等腰直角三角形，再根据“角角边”证明，可得，然后设，可求出，接下来求出直线的解析式，进而，即可求出答案； 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图： 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3）解：过A作于H，过H作轴于K，过B作于T，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 将点代入，得 ， 解得直线的解析式为， 令得， ∴； 在中，令得， ∴. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，一次函数与几何图形，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 【变式1】如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点． (1)求点的坐标． (2)求折痕所在直线的函数表达式． (3)在坐标轴上是否存在一点P，使的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在一点P，使的面积为12，点P的坐标为或或或． 【分析】（1）折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，即可得到点的坐标； （2）设，则，而，在中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，由的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵四边形为长方形， ∴，， ∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为； （2）设，则， 而， 在中，， 即， 解得， ∴M点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得，，解得， ∴直线的解析式为； （3）存在，理由： 当点P在x轴上时，设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， 故点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数和几何的综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的翻折、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式3】已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)在轴上存在一点，且的面积为3，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出结果；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点坐标为、、． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式的应用以及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法的步骤，能根据三角形面积公式建立方程，且会利用等腰三角形“两边相等”的性质分情况讨论点的坐标． （1）设一次函数解析式为，将点和代入解析式，列方程组求解和； （2）先令一次函数解析式中求点坐标，设，以为底、点横坐标绝对值为高，根据面积为3列方程求； （3）先计算的长度，分和两种情况，结合轴上点纵坐标为0的特征，利用两点间距离公式求点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为． ∵函数图象过， ∴代入得． 又∵函数过，将，，代入，得， 解得． ∴一次函数解析式为． （2）令中，得，解得， ∴． 设，∵， ∴． 的高为点横坐标绝对值，即，且面积为3， ∴，即，得， ∴或，解得或． ∴点的坐标为或． （3），，∴． 设（轴上点纵坐标为0）． ①当时，， ∴或，解得或， 即或； ②当时，，即，平方得，，解得（与重合，舍去）或，即． ∴存在，点坐标为、、． 一、单选题 1．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 2．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 3．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（    ） … 1 2 3 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，设，根据表格中的数据利用待定系数法可求出，再求出时，的值即可得到答案． 【详解】解：设， 把，代入中得， ∴， ∴， 当时，， ∴当时间为时，对应的水位为， 故选：B． 4．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴，， 解得， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得， 解得， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 二、填空题 5．电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克． 【答案】75 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解． 【详解】解：由图可知，与踏板上人的质量之间的关系为一次函数关系，设函数关系式为（其中，为常数，）， 把和代入得： ，解得， ∴， 当为90欧时，， 解得：， 故答案为：75． 6．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可． 【详解】解：， 所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为． 故答案为：． 7．如图，在空中，自地面算起，每升高千米，气温下降若干度（），某地空中气温（）与高度（千米）间的函数的图象如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（）    【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据图象求出函数关系式，再分析气温低于时的高度范围． 先设出气温与高度的一次函数关系式，利用图象上的点求出关系式，再令求出对应的，从而确定气温低于时的范围． 【详解】解：设气温与高度的函数关系式为（、为常数）， 由图象可知，当时，，即；当时，， 把代入中，可得，解得， 所以函数关系式为， 当时，即，移项可得， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 8．如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是关于的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 5 8 10 （斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．观察判断_____是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】(1)4 (2) (3)秤钩所挂物重是10斤 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数表达式，是解题的关键： （1）观察可知，距离每增加1厘米，物重增加0.5斤，即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格中的数据可知：距离每增加1厘米，物重增加0.5斤， 故从4到5时，应该从3增加到3.5， 故是错误的； （2）设， 把代入函数解析式得， 解得：， ∴； （3）∵， ∴当时，； 答：秤钩所挂物重是10斤． 9．一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比（在弹簧的弹性限度内），如果挂上的物体后，弹簧的总长为；如果挂上的物体后，弹簧的总长为． (1)求弹簧总长（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：kg）的函数解析式； (2)求弹簧不挂重物时的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设y关于x的函数解析式为，把和，代入解答即可． （2）计算当函数值为时，对应的函数值即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设弹簧总长（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：kg）的函数解析式为，依题意得： ，解得：， ∴弹簧总长（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：kg）的函数解析式为， （2）当时，， 答：弹簧不挂重物时的长度为， 10．据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)填空：无人机上升时的速度是________，________； (2)求段的函数表达式； (3)无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 【答案】(1)8；17 (2) (3)20.2 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的表达式，正确理解题意，从图中获取信息是解答本题的关键． （1）根据题意，结合图象即可得出答案； （2）用待定系数法，将点，代入求解即可； （3）令（2）中所求表达式，即可求解． 【详解】（1）解：无人机上升时的速度是_，， 故答案为：8；17； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； （3）解：令，即， ． 答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2． 11．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题：    碗的数量（个） 高度 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式； (2)当碗的数量为个时，这摞碗的高度是多少？ 【答案】(1) (2)高度是 【分析】（1）根据表格信息可知碗的数量与高度成正比例关系，设碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式，把表格中的数据代入计算即可求解； （2）把代入（1）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据表格中信息可知，碗的数量（个）增加，高度也在增加，即成正比例关系， ∴设碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式， 把，，，代入解析式得， ，解得，， ∴解析式为， 验证，当时，；当时，；与表格中数据一致， ∴碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式． （2）解：由（1）可知碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式， ∴当时，， ∴当碗的数量为个时，这摞碗的高度是． 【点睛】本题主要考查正比例函数在实际问题中的运用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 12．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 13．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【答案】(1)； (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 (3)当租车时间为小时时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于小时时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时时，选择甲公司合算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数解析式，只要一对x，y的值；而求一次函数解析式，则需要两组x，y的值． （1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得，关于x的函数表达式即可； （2）当时，求出x即可； （3）当时；当时；当时，分别求得x的取值范围即可得出方案． 【详解】（1）解：设，把点代入，可得， 解得， ∴； 设，把代入，可得，即， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 则当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； （3）解：当时，； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴当租车时间为小时时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于小时时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时时，选择甲公司合算． 14．某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表： 商品类别 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 a 78 乙种商品 b 乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： 已知该超市购进甲种商品5千克和乙种商品10千克共需1100元；购进甲种商品20千克和乙种商品10千克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300千克，其中乙种商品购进x千克，乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克． (1)求a，b的值； (2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300千克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量． 【答案】(1)a的值为60，b的值为80 (2)与的函数关系式为，当甲种商品购进200千克，乙种商品购进100千克时，取得最大值，的最大值为5600 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的图象以及一次函数的应用，其中理解题意列出正确的关系式是解题的关键． （1）根据题意列关于、的方程组即可得出结论． （2）根据题意列出与的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 答：a的值为60，b的值为80． （2）解：∵甲、乙两种商品共进货300千克，且乙种商品购进x千克， ∴甲种商品购进千克． ∵甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍， ∴， 解得． ∵乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克， ∴． ∴． 设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， 即， 此时利润． ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时． 答：与的函数关系式为，当甲种商品购进200千克，乙种商品购进100千克时，取得最大值，的最大值为5600． 15．新宁县某豆制品公司欲将n件产品从武冈运往A、B、C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地运费如图所示，设安排x件产品运往A地． (1)当时， ①根据信息填表： A地 B地 C地 合计 产品件数（件） x 2x 运费（元） 30x ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ (2)若总运费为5000元，求n的最小值． 【答案】(1)①表格见解析；②方案见解析 (2)191 【分析】本题考查列代数式、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值： （1）①根据数量关系即可求解；②列出不等式组并求解，根据x为整数即可求解； （2）求出n关于x的关系式，求出x的范围，根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：①运往A地的产品件数是x，运往C地的件数是运往A地的件数的2倍，即为， 则运往B地的产品件数为（件）， ∴运往A地的运费是元，运往B地的运费是元，运往C地的运费是（元）， 费用总和为（元）． 故表格为： A地 B地 C地 合计 产品件数（件） x 200 运费（元） ②由题意得，解得， ∵为整数， ∴或41或42，故共有3种运输方式： ①地40件，地80件，地80件； ②地41件，地77件，地82件； ③地42件，地74件，地84件． （2）解：由题意得，整理得， ∵， ∴，解得， ∵， 且为整数， ∵随的增大而减少， 16．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积； (3)点C在线段上，沿将翻折，O点恰好落在上的D点处，求直线的表达式． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)6 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，勾股定理解三角形，图形翻折的性质，解决本题的关键是图形在翻折时边长对应相等，角度对应相等． （1）分别令和求解即可． （2）根据（1）求解的点A与点B的坐标可得，，代入三角形面积公式求解即可． （3）设出C点坐标，根据翻折的性质可得，，，由勾股定理可求解c的值，可得C点的坐标，使用待定系数法即可求解表达式． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则， ∴点坐标为． 令，则，解得， ∴点坐标为． （2）解：由（1）知，点坐标为，点坐标为． ，， ∴． （3）解：因为在线段上，设点坐标为， 已知，，则， 由翻折可知，，， ∴， ∴， 在中，，，， 根据勾股定理， 即， 整理得，解得， ∴点坐标为， 设直线的表达式为， 将点坐标为和点坐标为代入函数解析式， 即，解得， ∴直线的表达式为． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点的面积为；直线与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，由的面积为，得到，得，即可得到答案； （2）联立，解得，即得； （3）当在上方时，在中，令得，故；当在下方时，设交轴于，由，知，设，有，即可解得，求出直线解析式为，联立，可解得． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点， 令得；令，即，解得； ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：联立， 解得， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，令得，解得， ∴； 当在下方时，设交轴于，如图所示： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线， 将代入得， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数图象与性质、直线与坐标轴围成的三角形面积问题、待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式及其应用、平行线性质、等腰三角形性质、解二元一次方程组等，掌握一次函数图象与性质，数形结合，由题意分类讨论求解是解决问题的关键． 时，有最小值为（件）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $