3.4分式方程（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程，涵盖概念、解法（去分母、解整式方程、检验）及实际应用。通过智能机器人搬运材料、荒坡种树等实际问题导入，引导学生从情境中抽象等量关系列方程，观察特点引出概念，再用转化思想讲解解法，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，用实际情境培养数学眼光的抽象能力，如机器人问题抽象等量关系。通过转化思想发展数学思维的推理能力，将分式方程转化为整式方程。借助表格梳理数量关系强化数学语言的模型意识，如高速列车问题用表格呈现量的关系。练习分层且含易错点提示，学生能提升应用能力，教师可高效备课。

青岛版2024·八年级上册 3.4 分式方程 第3章 分式 学 习 目 标 1 2 3 掌握分式方程的概念及增根的概念。（重点） 掌握解分式方程的基本思路与解法（重点） 利用分式方程解决实际问题（重点） 新知探究 (1)智能机器人产业发展迅猛,某公司研制出 A,B两种搬运机器人,A 型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料,且 A型机器人搬运1000kg 材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同。A型机器人每小时搬运多少材料? 思考：上述问题中哪些是已知量， 哪些是未知量? 有哪些等量关系? 设A型机器人每小时搬运xkg材料 A 型机器人每小时搬运材料=B 型机器人每小时搬运材料+30kg x x-30 A搬运1000kg 材料所用的时间=B搬运800kg材料所用的时间 A型机器人搬运1000 kg 材料所用的时间是_______h， B型机器人搬运800 kg材料所用的时间是_______h 新知探究 (2)为防止水土流失,某村计划在荒坡上种树960棵。在某中学志愿团队的支援下,实际每天种树的棵数是原计划的2倍,结果提前4天完成任务。原计划每天植树多少棵? 思考：上述问题中哪些是已知量， 哪些是未知量? 有哪些等量关系? 实际每天种树的棵数=原计划的棵树 设原计划每天植树x棵 原计划的天数实际天数=4 原计划需要__________天， 实际种树________天 新知探究 思考：与一元一次方程比较，这两个方程有什么共同特点？ 分母中含有未知数 总结归纳 分式方程的概念: 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数) 怎么解分式方程呢？ 新知探究 如何解方程 ？ 数学有一个重要思想-----转化思想。 分式方程 整式方程 转化 转化 把分式方程中分母中的未知数化去。 去分母 方程两边同乘最简公分母 可知A型机器人每小时搬运150kg材料。 解分式方程的基本思路： 通过去分母,将分式方程转化为整式方程,借助整式方程可求得分式方程的解。 解：将方程两边都乘x(x-30),得 1000(x-30)=800x。 解方程,得 x=150。 检验:把x=150代入原方程,左边=右边。 所以,x=150是原方程的解。 为什么乘它？它怎么来的？ 新知探究 解分式方程 。 解：方程两边都乘(x -7) ， 得x -8+1=8(x -7) 。 解方程， 得 x =7 。 检验: 当x =7 时， 分母x -7=0。 因此x =7 不是原方程的解。 所以原方程没有解。 增根 在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程， 但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 为什么乘它？它怎么来的？ 新知探究 回顾方程和的求解过程， 请总结解分式方程的一般步骤。 解分式方程的一般步骤 分式方程 整式方程 x=a a不是分式 方程的解 a是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 检验 解整式方程 去分母 目标 方程两边都乘最简公分母 典例分析 例1 解方程。 解：方程两边都乘(x+2)(x -2) ， 得 整理，得 解方程，得 检验：当时， 0 所以原方程的解是 分式方程根的检验 ——必不可少的步骤 去分母 解一元一次方程 验根 写分式方程的解 新知探究 A， B 两市之间的公路里程约为240 km， 高速铁路里程约为320 km。 已知高速列车平均速度是汽车平均速度的4倍， 小亮从A市到B 市乘坐高速列车比乘坐汽车节省2 小时。求高速列车的平均速度。 设汽车的平均速度为x km/h， 可以得到: 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 乘坐汽车 x 乘坐高速列车 240 320 4x 高速列车平均速度=汽车平均速度4 乘坐高速列车的时间-乘坐汽车的时间=2 如何表达它们之间的等量关系? 解: 设汽车平均速度为x km/h。 根据题意， 得 ， 解方程， 得x =80。 经检验， x=80 是原分式方程的解。 因为4x =4×80=320， 所以， 高速列车的平均速度为320 km/h。 你还有什么其他解法吗？ 新知探究 解2：设汽车所用时间为x h， 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 乘坐汽车 x 乘坐高速列车 x-2 240 320 高速列车运行速度=汽车行驶速度的4倍。 4×， 解得，x=3，经检验， x=3是原分式方程的解， 所以=320， 所以高速列车的平均速度为320 km/h。 新知探究 思考：用分式方程解决实际问题有哪些步骤？ 分式方程解决实际问题的一般步骤 实际问题 分式方程 实际问题的解 分式方程的解 设未知数表示等量关系 解方程 解决 新知探究 13 典例分析 例2 某市为解决城市内涝的难题， 计划改造一段长3 600 m 的老街道地下管网。 施工过程中， 实际每天的施工效率比原定计划提高了20%， 按此进度可以比原计划提前10 天完成任务。 求实际施工时， 每天改造管网的长度。 分析: 设原计划每天改造管网x m。 工作量/m 工作效率/(m/天) 工作时间/天 计划 x 实际 3600 (1+20%)x 3600 如何表达它们之间的等量关系? 这个问题中的等量关系: 实际施工效率=(1+20%)×原计划施工效率，实际施工天数=原计划天数-10。 典例分析 ， ， 解方程，得x=60， 经检验， x=60是原分式方程的解， 因为60×（1+20%）=72， 所以，实际每天改造管网72 m。 解: 设原计划每天改造管网x m。 典例分析 例2 某市为解决城市内涝的难题， 计划改造一段长3 600 m 的老街道地下管网。 施工过程中， 实际每天的施工效率比原定计划提高了20%， 按此进度可以比原计划提前10 天完成任务。 求实际施工时， 每天改造管网的长度。 （1） 1.下列关于x的方程中，哪些是分式方程？ （2） （3） （4） √ √ （5） （6） √ 注意：分式方程必须满足： 1.是方程 2.含有分母；3.分母中含有未知数. 新知应用 基础巩固题 新知应用 基础巩固题 2.分式方程 的解是( ) . D A. B. C. D. 3.解分式方程 =8 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. 2(x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8 C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8 A 勿漏乘整式项！ 因式分解，注意符号 新知应用 基础巩固题 4.解分式方程 时,以下三个步骤中错误的一步是 。 ① 方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6; ② 解这个整式方程,得x=1; ③ 原分式方程的解为x=1。 ③ 分式方程根的检验 ——必不可少的步骤 新知应用 基础巩固题 5.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。 解：方程两边同乘2（x+1），得 2（x+1）x3＝6x． 第①步 解得x＝ 第②步 检验：当x＝ 时，有2（x+1）≠ 0 第③步 ∴原方程的解为x＝ 第④步 分子是多项式，去分母后要加括号 新知应用 基础巩固题 5.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。 解：方程两边同乘（x﹣3），得 2﹣x+3＝2 第①步 解得x＝3 第②步 ∴原方程的解为x＝3 第③步 漏乘 没有检验 新知应用 基础巩固题 6.某同学在解关于x的分式方程  -3= 时产生了增根，则增根为(　　) A.x=6　    B.x=5 C.x=4　    D.x=3 B 解析：增根使最简公分母x-5=0，所以增根是x=5. 新知应用 基础巩固题 7.某商店销售一批服装，每件售价为175元，可获利40%，求这种服装的价．设这种服装的进价为x元，则可得到的方程为 (　　). A．x＝175×40% B．40%x＝175 C. ×100%＝40% D．175×(1－40%)＝x C 销售利润=售价-讲价； 利润率=利润÷进价 新知应用 基础巩固题 8.为了迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．九年级1班啦啦队买了 两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元， 缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．设荧光棒的单 价为 元，根据题意可列方程( ) . B A. B. C. D. 新知应用 基础巩固题 9. 解下列方程： 解: 方程两边同乘最简公分母2x（x-3） 5（x-3）-2x=0 解得 x=5 检验：把x=5代入2x（x-3）， 因此x=5是原方程的解. 解得 x= 检验：把x= 代入最简公分母 2x-1， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： x+2=3（2x-1）， 两边同时乘以最简公分母 2x-1，得 新知应用 基础巩固题 解得 x=1 检验：把x= 1 代入最简公分母 x-1， 因此x=1不是原方程的解，原分式方程无解. 解: 原方程变形为： 1-x=x-1， 两边同时乘以最简公分母 x-1，得 解得 x= 检验：把x= 代入 x(x+1)(x-1)， 因此x= 是原方程的解. 解: 原方程变形为： 3(x+1)=x， 两边同时乘以最简公分母 x(x+1)(x-1)，得 新知应用 基础巩固题 10.某日,小亮前往图书馆,总路程为18km。他先步行了2km,然后乘公交车前往,共用1h到达。如果公交车的速度是小亮步行速度的8倍,求小亮步行的速度。 解：设小亮步行的速度为xkm/h. 1 解得 x= 4 经检验是原方程的根，且符合题意. 答： 小亮步行的速度为4km/h. 新知应用 基础巩固题 11.甲制作90个零件所用的时间和乙制作120个零件所用的时间相同。已知两人1h共制作35个零件,求甲、乙1h各制作多少个零件。 解：设甲1h制作x个零件,则乙1h制作（35-x）个零件。 解得 x= 15 经检验是原方程的根，且符合题意,35-x=20. 答：甲1h制作15个零件,则乙1h制作20个零件. 新知应用 基础巩固题 12.当m为何值时，解分式方程 会出现增根？ 解：分式两边同时乘以(xー2),得x-3=-m， 当分式方程出现增根时，有xー2=0,即x=2， 将x=2,代入x-3=-m， 解得m=1， 所以当m=1时，原分式方程出现增根. 解决增根问题，必须弄清楚两个问题： （1）什么叫增根？ （2）增根是哪个方程的解？ 新知应用 能力提升题 13.为了提高广大职工学习消防知识的热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动.本次活动拟设一、二等奖若干名，并对获奖者奖励相应奖品．工会现有经费1 275元用于购买奖品，经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为 ．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件． （1）求一、二等奖奖品的单价. （2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方案？ 新知应用 能力提升题 （1）求一、二等奖奖品的单价. 解：设一等奖奖品单价为 元，则二等奖奖品单价为 元. 根据题意，得 ，即 . 方程两边同乘最简公分母 ，得 . 解得 . 检验：把 代入最简公分母 ，它的值不等于0， 因此 是原方程的解，且符合题意. 所以 ， . 答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元. 新知应用 能力提升题 （2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方案？ 解：设购买一等奖奖品 件，二等奖奖品 件. 根据题意，得 ，即 . 因为 ， 均为正整数，且 ， 所以 或 或 因此共有三种购买方案， 方案一：购买一等奖奖品4件，二等奖奖品23件； 方案二：购买一等奖奖品7件，二等奖奖品19件； 方案三：购买一等奖奖品10件，二等奖奖品15件. 新知应用 能力提升题 14.已知关于x的方程 无解，求a的取值范围． 解：去分母得：ax+2=3x-3， 移项合并得：(a-3)x=-5， 当a-3=0，即a=3时，方程无解； 则a=-2或3时，分式方程无解． 当a-3≠0，即a≠3时，解得： 由分式方程无解，得到 即a=-2， 两种情况： 一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,要添括号．(因分数线有括号的作用） (3)不要忘记检验 分式方程的解 实际问题的解 检验 检验 目标 目标 重要的数学思想方法：建模和转化 一元一次方程的解 实际问题 分式方程 建模 去分母 解方程 一元一次方程 课堂小结 感谢聆听! $